Сопромат

. (5.6)

      Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения - сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям s можно осуществить посредством закона Гука:           (5.7) 

Рис. 5.7

      Установим положение нейтральной оси x, от которой происходит отсчет координаты у (рис. 5.7). Учитывая, что сумма элементарных сил sdF по площади поперечного сечения F дает нормальную силу N_z . Но при чистом изгибе N_z = 0, следовательно: 

.

      Как известно, последний интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

      Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси M_x через s. Очевидно, что

.    (5.8)

      C учетом выражения (5.7) получим:

.   

Откуда

             ,    (5.9)

где - кривизна нейтрального волокна; EI_x - жесткость бруса.

      Из формулы (5.7), исключая 1/r, окончательно получим:

.     (5.10)

Откуда следует, что нормальные напряжения s в поперечном сечении бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y = y_max):

,

где  - момент сопротивления сечения.

      Энергия упругих деформаций бруса при изгибе V определяется работой момента M_x на соответствующем угловом перемещении d Q:

, с учетом и ,

окончательно получим

.     (5.11)

5.4. Примеры расчетов

      Для статически определимых систем: схемы I (консольная балка, рис. 5.8, а), схемы II (двухопорная балка с консолями, рис. 5.13) и схемы III (плоской рамы в виде ломаного бруса, рис. 5.17) при последовательном их рассмотрении требуется:

      1. Построить эпюры M_x и Q_y для всех схем и эпюру N_z  для схемы III;

      2. Руководствуясь эпюрой M_x , показать на схемах I и II приблизительный вид изогнутой оси балки. По опасному сечению подобрать размеры поперечного сечения:

      а) для схемы I - прямоугольное hґb при расчетном сопротивлении R_H = 16Ч10³ кН/м² (клееная древесина); h:b = 1,5;

      б) для схемы II - двутавровое (ГОСТ 8239-72) при расчетном сопротивлении R_H = 200Ч10³ кН/м² (сталь);

      Решение

5.4.1. Схема I. Консольная балка (задача №6)

      Учитывая особенности рассматриваемой системы (рис. 5.8, а), чтобы исключить необходимость определения опорных реакций, достаточно применяя метод сечений, последовательно рассмотреть те отсеченные части системы от заданного сечения, в котором отсутствует опорное сечение.

1. Построить эпюры Q_y и M_x . Для построения эпюр Q_y и M_x определяем количество участков, затем, используя метод сечений, составляем аналитические выражения изменения Q_y и M_x в зависимости от текущей абсциссы z для каждого участка.

 

Рис. 5.8

Определение количества участков балки 

      Границами между двумя смежными участками, как правило, являются места расположения тех сечений, где происходит скачкообразное изменение: физико-механических характеристик материала конструкций; геометрических характеристик поперечных сечений (формы и/или размеров), а также внешних нагрузок. В данном случае, рассматриваемая балка, имеющая постоянное поперечное сечение (рис. 5.8, б) имеет три участка: участок I - DС, участок II - СВ, участок III - ВА. 

Составление аналитических выражений Q_y и M_x и определение значений в характерных сечениях

      Проведя сечение I-I, рассмотрим равновесие правой отсеченной части балки длиной z₁, приложив к ней все действующие справа от сечения заданные нагрузки и внутренние силовые факторы Q_y и M_x , возникающие в сечении, которые заменяют действие отброшенной части балки (рис. 5.9). При этом, предполагаем, что изображенные на рисунке внутренние силовые факторы положительны.

      Составив уравнения равновесия Sy = 0 и = 0 для этой части балки и решив их, найдем выражения для и в зависимости от z₁ на участке I (0 Ј z₁ Ј 1 м):

Sy = 0,    = 0;

,  + m = 0, = -m = -10 кНЧм.

      Полученные выражения показывают, что на участке I и - const. Знак “минус” у говорит о том, что момент в сечении I-I вызывает растяжение верхних, а не нижних волокон, как это показано на рис. 5.9.

 

Участок II (1 м Ј z₂ Ј 2 м).

      Составим уравнения Sy = 0 и для отсеченной сечением II-II правой части балки (рис. 5.10) и определим из них и :

Sy = 0,   кН;

, + m - P (z₂ - 1) = 0, = -m + P (z₂ - 1) .

      Из полученных выражений для и видно, что на участке II величина постоянна, а величина изменяется в зависимости от z₂ по закону прямой линии. Знак “минус” у показывает, что в сечении II-II возникает поперечная сила, действующая в направлении, обратном показанному на рис. 5.10.

      Теперь, подставляя значения z₂ для характерных сечений участка II в полученные аналитические выражения, определим величины и , возникающие в этих сечениях, т.е. ординаты эпюр M_x и Q_y в точках С и В (рис. 5.8, б).

при z₂ = 1 м;   = -30 кН;     = -10 + 30 (1 - 1) = -10 кНЧм;

при z₂ = 2 м;   = -30 кН;     = -10 + 30 (2 - 1) = 20 кНЧм.

      Участок III (2 м Ј z₂ Ј 4 м).

      Составим уравнения равновесия Sy = 0 и для отсеченной сечением III-III правой части балки (рис. 5.11) и, решив их, получим,

Sy = 0,  ;

,   + m - P (z₃ - 1) + 0,5 q (z₂ - 2)² = 0,

= -m + P (z₃ - 1) - 0,5 q (z₂ - 2)² .

            Таким образом, величина на участке III изменяется по закону прямой линии, а величина - по закону квадратной параболы.

Рис. 5.11

Подставив значения z₃ , соответствующие характерным сечениям участка, в аналитические выражения изменения и , определим координаты эпюр для сечений В и А (рис. 5.8, б). 

При z₃ = 2 м   = -30 + 20Ч(2 - 2) = - 30 кН;

                   = -10 + 30 (2 - 1) - 0,5Ч20Ч(2 - 2)² = 20 кНЧм.