Сопромат

.

      Наибольшее напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке наиболее удаленной от нейтральной линии. При внецентренном растяжении (сжатии) в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. Расстояние от начала координат x0y до прямой a y + b x + c = 0, как известно из курса аналитической геометрии, определяется по формуле:

.

      Следовательно, в данном случае (рис. 5.32):

Рис. 5.32

 (5.37)

      Тогда, как это следует из (5.37), по мере того, как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.

      При x_A ® 0, y_A ® 0, получаем 0 C ® Ґ. Сила в данном случае становится центральной, а напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно. В тех случаях, когда нейтральная линия пересекает сечение, в нем возникают напряжения разного знака. В противном случае в сечении во всех точках возникают напряжения одного знака. Следовательно, в окрестности центра тяжести всегда существует некая область, называемая ядром сечения, такая, что если точка приложения силы Р расположена в пределах указанной области, то в поперечном сечении возникают напряжения лишь одного знака. При этом если сила приложена по границе ядра сечения, то нейтральная линия касается контура сечения.

      Данный факт имеет большое значение при проектировании колонн из хрупких материалов, (например, бетона, кирпича и т.д.), которые, как правило, имеют существенно меньшую прочность на растяжение, нежели на сжатие. Поэтому при проектировании таких конструкций необходимо предусмотреть, чтобы равнодействующая сжимающая сила была расположена в пределах ядра сечения.

5.12. Пример расчета (задача № 12)

      На брус заданного поперечного сечения (a = 1,05 м, b = 1 м, с = 0,15 м, d = 0,2 м) в точке D верхнего торца действует продольная сила Р = 150 кН (рис. 5.33). Требуется:  

      1. Найти положение нулевой линии;

      2. Определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения;

      3. Построить ядро сечения.

      Решение

      1. Найти положение нулевой линии.

      1.1. Нахождение положения главных центральных осей. Так как поперечное сечение бруса (рис. 5.33) имеет две оси симметрии x_С и y_С , то они и будут главными центральными осями инерции. Площадь поперечного сечения бруса равна:

                  

м². 

      1.2. Определение главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции. Моменты инерции определяем по формулам:

= 521,6Ч10^-4 м;

м⁴ .

      Вычисляем квадраты главных радиусов инерции:

м² ;

м² .

      1.3. Определение положения нулевой линии. Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции, определяем по формулам:

м;

м,

где x_P = 0,525 м и y_P = 0,5 м - координаты точки приложения силы Р (точка D на рис. 5.33). Отложив отрезки и , соответственно, на осях x_C и y_C , и проведя через их концы прямую, получим нулевую линию сечения, т.е. геометрическое место точек, где  нормальные напряжения равны нулю (s = 0). На рис. 5.33 эта линия обозначена n-n.

      2. Определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения. Точка D, координаты которой x_D =  = 0,525 м и y_D = 0,5 м , наиболее удалена от нулевой линии в сжатой зоне сечения, поэтому наибольшие сжимающие напряжения возникают в ней и определяются по формуле:

=

-1,436 кН/м² .

      Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке К, имеющей координаты x_K = -0,525 м и y_K = -0,5 м :

=

0,996 кН/м².

      По полученным значениям s_D и s_К строим эпюру нормальных напряжений (рис. 5.33).

      3. Построить ядро сечения. Для построения ядра симметричного сечения рассмотрим два положения касательной к контуру сечения I-I и II-II (рис. 5.33). Отрезки, отсекаемые касательной I-I на осях координат, равны:

= Ґ;      = 0,5 м.

      Координаты граничной точки I ядра сечения определяются по формулам:

м.

      Касательная II-II отсекает отрезки = 0,525 м, = Ґ.

      Соответственно, координаты граничной точки 2:

.

      Координаты граничных точек второй половины ядра сечения можно не определять, т.к. сечение бруса симметричное. Учитывая это, для касательных III-III, IV-IV координаты граничных точек 3 и 4 будут:

 м;   .

      Соединив последовательно точки 1, 2, 3 и 4 прямыми, получим ядро рассматриваемого сечения (рис. 5.33).

5.13. Теории прочности

      Как показывают экспериментальные исследования, прочность материалов существенно зависит от вида напряженного состояния. В общем случае нагруженного тела напряженное состояние в какой-либо точке вполне может быть определено величиной напряжений в трех координатных плоскостях, проходящих через эту точку. При произвольном выборе положения координатных плоскостей, в каждой из них, вообще говоря, имеются и нормальные, и касательные напряжения. Для них вводятся соответствующие обозначения в плоскости xy: s_zz , t_zx , t_zy ; в плоскости xz: s_yy , t_yx , t_yz; в плоскости yz: s_xx , t_xy , t_xz . Здесь первый индекс показывает ориентацию площадки, в которой действует напряжение, т.е. какой из координатных осей она перпендикулярна. Второй индекс указывает направление напряжения по координатной оси.

      В каждой точке тела существуют три взаимно перпендикулярные плоскости, свободные от касательных напряжений, носящие название главных площадок. Нормальные напряжения в этих площадках называются главными напряжениями и обозначаются s₁, s₂, s₃. При этом всегда s₁ > s₂ > s₃. Заметим, что более подробно вопросы теории напряженного состояния в точке обсуждены в десятом разделе настоящей книги, и по данному вопросу имеется обширная литература.

      Напряженные состояния разделяются на три группы. Напряженное состояние называется: а) объемным или трехосным, если все главные напряжения s₁, s₂, s₃ не равны нулю; б) плоским или двухосным, если одно из трех главных напряжений равно нулю; в) одномерным или одноосным, если два из трех главных напряжений равны нулю.

      Основной задачей теории прочности является установление критерия прочности, позволяющего сравнить между собой опасность различных напряженных состояний материала.

      Выбранный критерий прочности должен быть обоснован на основе экспериментальных данных путем проведения испытаний различных материалов в зависимости от вида напряженного состояния, как функция от соотношений между значениями главных напряжений.

      Заметим, что, так как в настоящее время строгой единой теории прочности материалов, в зависимости от вида напряженного состояния, не существует, поэтому при выполнении практических расчетов применяются упрощенные критерии.

      Как отмечалось в п. 2.8, наиболее распространенным и наглядным критерием проверки конструкций на прочность, при простейших случаях напряженного состояния (сжатие-растяжение, кручение, чистый изгиб), является выполнение условия:

s_max Ј [s],    (5.38)

где s_max - максимальное расчетное значение напряжения, возникающее в наиболее опасной точке конструкции; [s] - допускаемое значение напряжения для материала конструкции.

      В настоящее время при выполнении расчетов конструкций на прочность, при произвольных напряженных состояниях, широко используются три теории прочности.

      Согласно первой теории критерием прочности является ограничение главного максимального напряжения:

s_max = s₁ Ј [s],    (5.39)

где [s] - предельное напряжение, полученное из опытов на одноосное растяжение.

      Основным недостатком этой теории является не учет двух других главных напряжений.

      В основу второй теории прочности заложена гипотеза о том, что критерием оценки работы конструкции является ограничение наибольшего удлинения. В формулировке данного положения через главные напряжения (s₁ и s₂ ) это условие для плоского напряженного состояния записывается следующим образом: