Сопромат

      Графики e_s, e_t изображены на рис. 9.6, где кривая 1 относится к углеродистой стали, 2 - к полированной стали, 3 - к полированной стали с наличием концентрации напряжений, 4 - к сталям, имеющим высокую степень концентраций напряжений.

Рис. 9.6

9.3. Запас усталостной прочности и его определение

      Сначала построим диаграмму усталостной прочности (часто, для простоты рассуждений предельную линию представляют в виде прямой) и покажем на ней рабочую точку М цикла (с координатами s_m и s_а ) в случае, если рассматриваемый элемент испытывает только простое растяжение и сжатие (рис. 9.7).

      Рассмотрим все те циклы, рабочие точки которых лежат на одной прямой (рис. 9.7) и для которых справедливо выражение s_а = = s_m tga. С учетом (9.1) и после несложных преобразований можно получить, что:

.

где R - коэффициент асимметрии цикла.

      Значит, можно сделать вывод о том, что все подобные циклы лежат на одной прямой. Тогда, под запасом усталостной прочности будем понимать отношение отрезка ON к отрезку OM (рис. 9.7):

,    (9.6)

где точка M соответствует действующему циклу, а точка N получается вследствие пересечения предельной прямой и продолжения отрезка OM (рис. 9.7).

      Это отношение характеризует степень близости рабочих условий к предельным для данного материала. В частном случае при постоянных статических нагрузках s_а = 0, данное определение запаса прочности совпадает с обычным.

Рис. 9.7

Для определения (т.е. в ситуации когда действуют лишь нормальные напряжения) в инженерной практике применяется как графический, так и аналитический способ. При графическом способе строго по масштабу строится диаграмма предельных напряжений в системе координат s_а и s_m . Далее, на этой диаграмме наносится рабочая точка и определяется отношение величин отрезка ON и OM. Для определения расчетных зависимостей для воспользуемся условием подобия треугольников OND и OMK и получим:

.  (9.7)

      Полученный коэффициент запаса соответствует идеальному образцу. Реальная же его величина зависит, как отмечалось выше, от геометрии, размеров и состояния поверхности образца, учитываемых коэффициентами К_-1, e_s и b, соответственно. Для этого необходимо предел усталости при симметричном нагружении уменьшить в раз, или, что тоже самое, амплитудное напряжение цикла увеличить в раз. И тогда (9.7) принимает вид:

,   (9.8)

где

.     (9.9)

      Аналогичным образом могут быть получены соотношения усталостной прочности и при чистом сдвиге. Эксперименты показывают, что диаграмма усталостной прочности для сдвига заметно отличается от прямой линии, свойственной простому растяжению-сжатию, и имеет вид кривой. В первом приближении эту кривую в координатных осях t_a , t_m  можно представить в виде двух наклонных, как это изображено на рис. 9.8. Причем, если одна из них (ближняя к оси ординат) соответствует разрушению образца вследствие усталостных явлений, то другая - по причине наступления пластического состояния.

Рис. 9.8

В данном случае расчетная формула для записывается в виде

,   (9.10)

где - эмпирическая величина, определенная на основе обработки экспериментальных данных.

      При сложном напряженном состоянии, т.е. если в рабочей точке при действии внешних нагрузок одновременно возникают как нормальные, так и касательные напряжения, для вычисления n_R применяется следующая приближенная формула:

,   (9.11)

где n_R - искомый коэффициент запаса усталостной прочности; - коэффициент запаса усталостной прочности в предположении, что касательные напряжения в рабочей точке отсутствуют; - коэффициент запаса прочности по усталости при предположении, что в рабочей точке нормальные напряжения отсутствуют.

      Резюмируя заметим, как это было показано в настоящем разделе книги, в настоящее время в связи с тем, что физические основы теории твердого деформируемого тела недостаточно развиты, многие предпосылки современной теории усталостной прочности базируются на эмпирической основе. Отсутствие твердых предпосылок в теории выносливости, в современном виде лишает ее нужной строгости. Так как полученные эмпирические зависимости не являются универсальными, сами результаты расчетов являются достаточно приближенными. Однако указанные приближения оказываются допустимыми для решения инженерных задач.

9.4. Пример расчета (задача № 18)

      Для цилиндрической клапанной пружины (рис. 9.9) двигателя внутреннего сгорания определить коэффициент запаса прочности аналитически и проверить его графически по диаграмме предельных амплитуд, построенной строго в масштабе.

      Диаметр пружины D = 0,04 м, диаметр проволоки пружины d = = 0,004 м. Сила, сжимающая пружину в момент открытия клапана, Р_max = 0,240 кН, в момент закрытия клапана - Р_min = 0,096 кН. Материал проволоки пружины - хромованадиевая сталь с механическими характеристиками, предел текучести t_T = 900 МПа, предел выносливости при симметричном цикле t_-1 = 480 МПа, предел выносливости при нулевом (пульсирующем) цикле t₀ = 720 МПа. Для проволоки пружины эффективный коэффициент концентрации напряжений k_t = 1,05, коэффициент влияния качества обработки поверхности b = 0,84, коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения e_t = 0,96.

Рис. 9.9

      Решение

1. Определение максимального t_max и минимального t_min напряжений в проволоке пружины и вычисление коэффициента асимметрии цикла R. Для вычисления напряжений используем формулу:

,

где k - коэфф., учитывающий поперечную силу и неравномерность распределения напряжений от ее воздействия, а также влияние деформации изгиба вследствие кривизны витков пружины.

      Этот коэффициент можно определить по приближенной формуле:

,

где  - характеристика геометрии пружины. В данном примере , тогда .

      Определим величины напряжений:

435,4Ч10³ кН/м²,

174,210³ кН/м².

      Коэффициент асимметрии цикла:

.

      2. Нахождение среднего t_m и амплитудного t_a напряжений цикла. Найдем величину среднего и амплитудного напряжений цикла в зависимости от t_max и t_min:

кН/м²,

кН/м².

      3. Определение коэффициента запаса прочности. Деталь (пружина) может перейти в предельное состояние по усталости и по причине развития пластических деформаций. Коэффициент запаса прочности по усталости определяются по формулам (9.10):

,

где t_-1 - предел выносливости при симметричном цикле; величины К_P и y определяются по зависимостям, приведенным в п.9.3:

.

      Коэффициент запаса усталостной прочности:

.

      Коэффициент запаса по пределу текучести можно получить аналогичными рассуждениями, как и коэффициент запаса усталостной прочности, учитывая, что предельная прямая по текучести проходит под углом 45° к горизонту (рис. 9.8). В итоге:

.

      Так как, 1,77 < 2,07, то коэффициент запаса прочности для пружины определяется усталостью и равен 1,77.

      Для анализа рассмотрим ситуацию, когда в момент закрытия клапана на него действует сжимающая сила Р_min = 0,18 кН. Тогда имеем:

минимальное значение напряжения:

326,6Ч10³ кН/м²;

среднее напряжение

кН/м²;

амплитудное напряжение

кН/м²;

коэффициент запаса прочности по усталости

;

коэффициент запаса прочности по пределу текучести

.

      Так как 2,07 < 2,43, то коэффициент запаса выбирается по пределу текучести и принимается равным 2,07.

10. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ

10.1. Напряженное состояние в точке. 
Уравнения равновесия

      Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в произвольной точке тела, находящегося в равновесном состоянии в общем случае нагружения, выделим в ее окрестности некоторый объем в виде элементарного параллелепипеда, грани которого перпендикулярны координатным осям (рис. 10.1).

      Если размеры параллелепипеда уменьшать, он будет стягиваться в эту точку. В пределе (dx, dy, dz ® 0) все грани параллелепипеда пройдут через рассматриваемую точку и напряжения на соответствующих плоскостях параллелепипеда могут рассматриваться как напряжения в исследуемой точке.

      Полное напряжение, возникающее на площадке параллелепипеда может быть разложено на три составляющие, одну по нормали к площадке и две в ее плоскости.