Итерациональные методы решения нелинейных уравнений

    Метод Ньютона, его геометрическая интерпретация, рабочая формула, выбор начального приближения. Достаточное условие сходимости. Критерий останова итерационного процесса. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона, его геометрическая интерпретация и рабочая формула.

     2.2. Приближенные методы  решения систем  нелинейных уравнений  (очное: 3/8ч.; очно-заочное: 2/12ч.; заочное: 2/15ч.).

    Понятие системы нелинейных уравнений (СНУ). Проблема отделения корней СНУ. Приближенные методы решения СНУ. Метод простых итераций, понятия начального приближения, итерационного процесса. Достаточные условия сходимости итерационного процесса. Критерий останова итерационного процесса. Приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации на примере системы второго порядка. Достоинства и недостатки метода простых итераций для решения СНУ.

    Метод Ньютона для решения СНУ, его  рабочая формула и критерий останова итерационного процесса. Достаточное условие сходимости. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона.

     2.3. Приближенные методы  решения систем  линейных алгебраических  уравнений (очное: 3/10ч.; очно-заочное: 3/12ч.; заочное: 0/20ч.).

     Методы  решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций, его рабочие формулы и критерий останова; выбор начального приближения; достаточные условия и необходимые и достаточные условия сходимости итерационного процесса; приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации; достоинства и недостатки метода простых итераций.

      Рабочие формулы методы Зейделя, критерий останова, необходимые и достаточные условия сходимости метода. Достоинства и недостатки метода.

      Метод релаксации. Приведение исходной системы к виду, пригодному для релаксации. Понятие невязки. Рабочие формулы метода. Критерии останова процесса.

3. Задачи интерполяции, экстраполяции и  аппроксимации функций.  Основные приложения теории интерполяции. (очное: 10/20ч.; очно-заочное: 10/26ч.; заочное: 4/35ч.).

      3.1. Построение интерполяционных  формул Лагранжа, первой и второй  формул Ньютона  (очное: 3/7ч.; очно-заочное: 3/9ч.; заочное: 3/10ч.).

    Постановка  задачи интерполирования функций по заданной системе точек, понятие  равноотстоящих и неравноотстоящих узловых точек. Принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, первой и второй интерполяционной формулы Ньютона, их форма записи и погрешности вычислений по ним. Формулы линейной и квадратичной интерполяции. Понятие табличных разностей различных порядков.

      3.2. Основные приложения  теории интерполяции (очное: 4/6ч.; очно-заочное: 4/8ч.; заочное: 0/15ч.).

      Понятие численного дифференцирования. Основные принципы решения задачи численного дифференцирования на примере использования  таблицы узловых точек и интерполяционных полиномов. Погрешность построенных формул.

      Понятие численного интегрирования, квадратурных формул. Построение квадратурной формулы Ньютона-Котеса с использованием интерполяционных формул, коэффициенты Котеса. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса (формула трапеций и формула Симпсона) и их геометрическая интерпретация. Погрешность построенных формул. Понятие несобственных интегралов. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Случаи бесконечного отрезка интегрирования с непрерывной подынтегральной функцией и разрывной на конечном отрезке интегрирования подынтегральной функцией, их геометрическая интерпретация.

      Приближенное  вычисление двойных интегралов: понятие  кубатурных формул; вывод кубатурной и обобщенной кубатурной формул типа Симпсона для различных видов областей интегрирования.

      3.3. Метод наименьших  квадратов для  обработки результатов  экспериментов (очное: 3/7ч.; очно-заочное: 3/9ч.; заочное: 1/10ч.).

    Задача  аппроксимирования функций по заданной системе точек. Общая идея метода наименьших квадратов. Понятие отклонения искомой функции от экспериментальной в узловых точках. Алгоритм метода наименьших квадратов и его теоретическое обоснование.

    Аппроксимация с помощью экспоненциальных функций. 

4. Приближенное решение  обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, краевых задач для решения дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. (очное: 6/14ч.; очно-заочное: 6/16ч.; заочное: 2/22ч.).

      4.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (очное: 3/5ч.; очно-заочное: 3/4ч.; заочное: 1/6ч.).

    Классификация методов решения и численных  методов интегрирования дифференциальных уравнений. Понятия задачи Коши и  шага интегрирования. Метод последовательных приближений (метод Пиккара). Метод Эйлера: общая идея метода, его графическая интерпретация и рабочая формула. Достоинства и недостатки метода. Рабочие формулы метода Эйлера для решения системы второго порядка дифференциальных уравнений.

    Метод Рунге-Кутта. Общая идея методов Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, их рабочие формулы. Достоинства и недостатки методов. Решение задачи Коши для системы второго порядка методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

    Метод Адамса. Достоинства и недостатки метода Адамса. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса для решения дифференциальных уравнений.

    Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений, условие их применения. Дифференциальное уравнение в отклонениях, его решение. Достоинства и недостатки непрерывных схем. Дифференциальное уравнение с малым параметром, его решение. Достоинства и недостатки методов решения нелинейных уравнений с использованием дифференциальных уравнений с малым параметром.

    4.2. Приближенное решение  краевых задач  для дифференциальных уравнений второго порядка (очное: 1/4ч.; очно-заочное: 1/6ч.; заочное: 1/8ч.).

     Метод конечных разностей. Понятие краевой  задачи для дифференциального уравнения второго порядка и ее геометрическая интерпретация при различных краевых условиях. Понятие двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка и ее форма записи. Метод конечных разностей для решения двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

     Метод прогонки. Конечно-разностная и каноническая формы записи двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Алгоритм метода прогонки прямым и обратным ходом вычислений.

     4.3. Приближенное решение  краевых задач  для дифференциальных  уравнений в частных производных первого порядка (очное: 2/5ч.; очно-заочное: 2/6ч.; заочное: 1/8ч.).

     Методы  моделирования и Монте-Карло для  решения задачи Дирихле. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка эллиптического типа. Понятие краевых задач для уравнений эллиптического типа. Понятие задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле методом моделирования и Монте-Карло.

     Метод сеток и метод прогонки для  решения уравнений параболического  типа. Понятие дифференциального  уравнения в частных производных первого порядка параболического типа. Метод сеток и метод прогонки для решения уравнений параболического типа.

     Метод сеток для решения уравнений  гиперболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка гиперболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. 

3. Лабораторный  практикум

 
      

4. Курсовой  проект (работа) и  его содержание

      Курсовой  проект и курсовая работа не предусмотрены.

5. Контрольная работа.

      Контрольная работа предусмотрена для заочной  формы обучения. На выполнение контрольной работы отводится 30 часов самостоятельной работы студентов. Задания контрольной работы включает решение задач по темам 2 и 3 (см. приложение 6 и 7).

6. Подготовка реферата.

      Реферат не предусмотрен. 

5. Учебно-методическое  обеспечение дисциплины

5.1 Рекомендуемая литература

      а) основная литература:

      б) дополнительная литература:

     1. Иванов В.С., Ляшев А.С. Лабораторный практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 1984.

     2. Вахонина Г.С. Методическое руководство  к выполнению лабораторных работ  по дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982.

     3. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Лабораторный практикум, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002, 44с.

     4. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Методические указания для студентов заочной формы обучения, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с.

     5. «Журнал вычислительной математики».

     6. «Математическое моделирование».

     7. «Программирование».

     8. «Математика. Реферативный журнал».

     9. http://meth.ras.ru («Журналы Отделения Математики  РАН»).