Итерациональные методы решения нелинейных уравнений

      Понятие численного интегрирования, квадратурных формул. Построение квадратурной формулы Ньютона-Котеса с использованием интерполяционных формул, коэффициенты Котеса. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса (формула трапеций и формула Симпсона) и их геометрическая интерпретация. Погрешность построенных формул. Понятие несобственных интегралов. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Случаи бесконечного отрезка интегрирования с непрерывной подынтегральной функцией и разрывной на конечном отрезке интегрирования подынтегральной функцией, их геометрическая интерпретация.

      Приближенное  вычисление двойных интегралов: понятие кубатурных формул; вывод кубатурной и обобщенной кубатурной формул типа Симпсона для различных видов областей интегрирования.

      3.3. Метод наименьших  квадратов для  обработки результатов  экспериментов (3/5ч.).

    Задача  аппроксимирования функций по заданной системе точек. Общая идея метода наименьших квадратов. Понятие отклонения искомой функции от экспериментальной в узловых точках. Алгоритм метода наименьших квадратов и его теоретическое обоснование.

    Аппроксимация с помощью экспоненциальных функций.

4. Приближенное решение  обыкновенных дифференциальных  уравнений и систем, краевых задач для решения дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. (6/10ч.).

      4.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (3/5ч.).

    Классификация методов решения и численных  методов интегрирования дифференциальных уравнений. Понятия задачи Коши и шага интегрирования. Метод последовательных приближений (метод Пиккара). Метод Эйлера: общая идея метода, его графическая интерпретация и рабочая формула. Достоинства и недостатки метода. Рабочие формулы метода Эйлера для решения системы второго порядка дифференциальных уравнений.

    Метод Рунге-Кутта. Общая идея методов  Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, их рабочие формулы. Достоинства и недостатки методов. Решение задачи Коши для системы второго порядка методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

    Метод Адамса. Достоинства и недостатки метода Адамса. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса для решения дифференциальных уравнений.

    Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений, условие их применения. Дифференциальное уравнение в отклонениях, его решение. Достоинства и недостатки непрерывных схем. Дифференциальное уравнение с малым параметром, его решение. Достоинства и недостатки методов решения нелинейных уравнений с использованием дифференциальных уравнений с малым параметром.

    4.2. Приближенное решение  краевых задач  для дифференциальных  уравнений второго  порядка (1/2ч.).

     Метод конечных разностей. Понятие краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка и ее геометрическая интерпретация при различных краевых условиях. Понятие двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка и ее форма записи. Метод конечных разностей для решения двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

     Метод прогонки. Конечно-разностная и каноническая формы записи двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Алгоритм метода прогонки прямым и обратным ходом вычислений.

     4.3. Приближенное решение  краевых задач  для дифференциальных  уравнений в частных производных второго порядка (2/3ч.).

     Понятие дифференциального уравнения в частных производных второго порядка эллиптического типа. Понятие краевых задач для уравнений эллиптического типа. Задача Дирихле. Решение задачи Дирихле методом сеток.

     Понятие дифференциального уравнения в  частных производных второго порядка параболического типа. Метод сеток для решения уравнений параболического типа.

     Понятие дифференциального уравнения в  частных производных второго порядка гиперболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. 

3. Лабораторный практикум

 
      

4. Курсовой  проект (работа) и  его содержание

      Курсовой  проект и курсовая работа не предусмотрены.

5. Контрольная работа.

      Контрольная работа не предусмотрена.

6. Подготовка реферата.

      Реферат не предусмотрен. 

5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

5.1 Рекомендуемая литература

      а) основная литература:

      б) дополнительная литература:

     1. Иванов В.С., Ляшев А.С. Лабораторный практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 1984.

     2. Вахонина Г.С. Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982.

     3. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Лабораторный практикум, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002, 44с.

     4. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Методические указания для студентов заочной формы обучения, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с.

     5. «Журнал вычислительной математики».

     6. «Математическое моделирование».

     7. «Программирование».

     8. «Математика. Реферативный журнал».

     9. http://meth.ras.ru («Журналы Отделения Математики  РАН»).

     10. http://www.exponenta.ru («Образовательный математический  сайт»). 

      5.2 Средства обеспечения освоения дисциплины

      Программное обеспечение для выполнения лабораторных работ и самостоятельной работы студентов:

1. Windows 98 или более поздних версий.
2. Автоматизированная вычислительная система «MathCad».
3. Автоматизированная вычислительная система «MathLab».
4. MS Excel 97 или более поздних версий.
5. MS Word 97 или более поздних версий.
6. Системы программирования Turbo C V6.0 или 7.0, Borland C++ V6.0 или 7.0.
7. Системы программирования Turbo Pascal V6.0 или 7.0, Borland Pascal V6.0 или 7.0.

 

6. Материально-техническое обеспечение дисциплины 

      Для проведения лабораторных работ и  организации самостоятельной работы студентов необходимо иметь учебный  класс оснащенный ПЭВМ со стандартной комплектацией. 

7. Методические рекомендации  по организации  изучения дисциплины

7.1. Организация изучения дисциплины при очной форме обучения 

      Обучение  проводится в течение одного семестра. Темы 1-4 и все указанные лабораторные работы рассматриваются в семестре № 3.

      При проведении лабораторных работ используются программные комплексы, поддерживающие языки программирования Pascal и C, как в учебных лабораториях кафедры, оснащенных компьютерами, так и в ВЦ.

      При изучении дисциплины используется балльно - рейтинговая система оценки знаний. Контрольные тестирования организуются на 6, 12 и 17 неделях каждого семестра. Каждое тестирование включает задания, предусматривающие  ответы на теоретические и практические вопросы (см. приложение № 5).

 

Программу составили:

Горбунов Д.А., к.т.н., доцент каф. ПМИ КГТУ им. А.Н. Туполева

_____________________      

Программа обсуждена  и одобрена на заседании кафедры  ПМИ 

«____» ______________2007г., протокол № __. 
 

Зав. кафедрой ПМИ                                                                  Н.Е. Роднищев

д.т.н., профессор 

Председатель  Учебно-методической                                      В.А. Суздальцев

комиссии факультета, доцент 
 

Декан факультета                                                                      Л.Ю.Емалетдинова

д.т.н., профессор 

Согласовано: В.И.Глова

зав.кафедрой СИБ

д.т.н., профессор

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ  МАТЕМАТИКА» 

Вопрос 1. Сделайте вывод о сходимости итерационного процесса , построенного для решения нелинейного уравнения методом простых итераций на отрезке .

1. сходится для любой точки из отрезка;
2. сходится только из определенной точки отрезка;
3. сходится только для одной из граничных точек отрезка;
4. расходится на всем отрезке;
5. расходится на всей числовой оси.

Вопрос 2. Чему равно значение , вычисленное по итерационной формуле при ?

1. 0.5;
2. 0.875;
3. 0.4;
4. 0.8;
5. 0.9.

Вопрос 3. Если итерационный процесс, построенный по методу простых итераций для решения нелинейного уравнения на отрезке сходится, то в качестве начальной точки может быть выбрана:

1. одна из граничных точек отрезка;
2. обе граничные точки отрезка;
3. середина отрезка;
4. любая точка отрезка;
5. все ответы правильные.

Вопрос 4. По какой из итерационных формул осуществляется решение нелинейных уравнений вида методом Ньютона?