Итерациональные методы решения нелинейных уравнений

1. Windows 98 или более поздних версий.
2. Автоматизированная вычислительная система  «MathCad».
3. Автоматизированная вычислительная система  «MathLab».
4. MS Excel 97 или более поздних версий.
5. MS Word 97 или более поздних версий.
6. Системы программирования Turbo C V6.0 или 7.0, Borland C++ V6.0 или 7.0.
7. Системы программирования Turbo Pascal V6.0 или 7.0, Borland Pascal V6.0 или 7.0.

 

6. Материально-техническое  обеспечение дисциплины 

      Для проведения лабораторных работ и  организации самостоятельной работы студентов необходимо иметь учебный  класс оснащенный ПЭВМ со стандартной  комплектацией. 

7. Методические рекомендации  по организации  изучения дисциплины

7.1. Организация изучения  дисциплины при  очной форме обучения 

      Обучение  проводится в течение одного семестра. Темы 1-4 и все указанные лабораторные работы рассматриваются в семестре № 3.

      При проведении лабораторных работ используются программные комплексы, поддерживающие языки программирования Pascal и C, как в учебных лабораториях кафедры, оснащенных компьютерами, так и в ВЦ.

      При изучении дисциплины используется балльно - рейтинговая система оценки знаний. Контрольные тестирования организуются на 6, 12 и 17 неделях каждого семестра. Каждое тестирование включает задания, предусматривающие  ответы на теоретические и практические вопросы (см. приложение № 5).

 

Программу составили:

Горбунов Д.А., к.т.н., доцент каф. ПМИ КГТУ им. А.Н. Туполева

_____________________      

Программа обсуждена  и одобрена на заседании кафедры  ПМИ 

«____» ______________2007г., протокол № __. 
 

Зав. кафедрой ПМИ                                                                  Н.Е. Роднищев

д.т.н., профессор 

Председатель  Учебно-методической                                      В.А. Суздальцев

комиссии факультета, доцент 
 

Декан факультета                                                                      Л.Ю.Емалетдинова

д.т.н., профессор 

Согласовано: В.А.Песошин

зав.кафедрой КС

д.т.н., профессор

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ  МАТЕМАТИКА» 

Вопрос 1. Сделайте вывод о сходимости итерационного процесса , построенного для решения нелинейного уравнения методом простых итераций на отрезке .

1. сходится для любой точки из отрезка;
2. сходится только из определенной точки отрезка;
3. сходится только для одной из граничных точек отрезка;
4. расходится на всем отрезке;
5. расходится на всей числовой оси.

Вопрос 2. Чему равно значение , вычисленное по итерационной формуле при ?

1. 0.5;
2. 0.875;
3. 0.4;
4. 0.8;
5. 0.9.

Вопрос 3. Если итерационный процесс, построенный по методу простых итераций для решения нелинейного уравнения на отрезке сходится, то в качестве начальной точки может быть выбрана:

1. одна из граничных точек отрезка;
2. обе граничные точки отрезка;
3. середина отрезка;
4. любая точка отрезка;
5. все ответы правильные.

Вопрос 4. По какой из итерационных формул осуществляется решение нелинейных уравнений вида методом Ньютона?

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Вопрос 5. Сформулируйте теорему о существовании хотя бы одного корня нелинейного уравнения на отрезке где - произвольная нелинейная функция.

1. Если функция непрерывна на отрезке , то на отрезке содержится хотя бы один корень.
2. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка не меняет знак ( ), то на отрезке содержится хотя бы один корень.
3. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка меняет знак ( ), то на отрезке содержится хотя бы один корень.
4. Если функция на концах отрезка не меняет знак ( ), то на отрезке содержится хотя бы один корень.
5. Если функция на концах отрезка меняет знак ( ), то на отрезке содержится хотя бы один корень.

Вопрос 6. Какое условие является достаточным для сходимости итерационного процесса решения нелинейного уравнения на отрезке ?

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Вопрос 7. При нахождении корня нелинейного уравнения на отрезке методом Ньютона в качестве начального приближения нужно выбрать равное:

1. 0.5;
2. 2;
3. 1;
4. любой из концов отрезка;
5. любое значение из отрезка.

Вопрос 8. К какому виду, допускающему сходящиеся итерации, нужно привести систему нелинейных уравнений второго порядка ?

1. ;
2. ;
3. , где константа выбирается из достаточных условий сходимости итерационного процесса;
4. , где константы выбираются из достаточных условий сходимости итерационного процесса;
5. , где константы выбираются из достаточных условий сходимости итерационного процесса.

Вопрос 9. При решении какого класса задач достаточные условия сходимости итерационного процесса имеют вид: или ?

1. решение нелинейных уравнений;
2. решение систем нелинейных уравнений;
3. решение систем линейных алгебраических уравнений;
4. решение линейных уравнений;
5. все ответы правильные.

Вопрос 10. При численном решении СЛАУ ее необходимо привести к виду, допускающему сходящиеся итерации . Чему равно значение коэффициента для СЛАУ вида ?

1. 1. ;
2. 2. ;
3. 3. ;
4. 4. ;
5. 1.

Вопрос  11. Чему равно следующее приближение , вычисленное по итерационной формуле метода простых итераций для решения СЛАУ вида при ?

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Вопрос 12. Задача интерполяции функций возникает в тех случаях, когда:

1. необходимо знать значения функции для промежуточных значений аргументов между узловыми точками;
2. необходимо знать значения функции для точек, расположенных в начале или в конце таблицы;
3. необходимо представить в аналитическом виде функцию, заданную таблично;
4. необходимо представить в более простом виде сложную аналитически заданную функцию;
5. все ответы правильные.

Вопрос 13. По таблице из трех узловых точек

можно построить интерполяционный полином Лагранжа второго порядка вида:

. Чему будет  равен коэффициент  ?

1. 0;
2. 0.5;
3. 1;
4. 0.4;
5. 0.35.

Вопрос 14. По таблице из трех узловых точек

найти табличную разность второго порядка .

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Вопрос 15. В каком пункте алгоритма метода наименьших квадратов допущена ошибка?

1. Задается таблица чисел .
2. Вводится функция , где - отклонение функции от экспериментальной в узлах .
3. Находятся необходимые условия экстремума функции : .
4. Строится и решается СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов ;
5. Записывается искомый многочлен в виде

.

Вопрос 16. Как называется следующая квадратурная формула: ?

1. формула Ньютона-Котеса;
2. формула трапеций;
3. формула Симпсона;
4. формула Ньютона;
5. формула Котеса.

Вопрос 17. Как называется следующая интерполяционная формула, построенная для неравноотстоящих узлов:

?

1. интерполяционная формула Лагранжа;
2. первая интерполяционная формула Ньютона;
3. вторая интерполяционная формула Ньютона;
4. формула квадратичной интерполяции;
5. формула линейной интерполяции.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 8.

СПИСОК  ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА 

     1. Источники и классификация погрешностей.

     2. Основные понятия и определения  теории погрешностей.

     3. Значащая и верная цифра приближенной  величины. Округление чисел.

     4. Погрешность алгебраической суммы.

     5. Погрешность произведения и частного.

     6. Погрешность степени и корня.

     7. Погрешность функции.

     8. Обратная задача теории погрешностей.

     9. Основные этапы решения нелинейных  уравнений.

     10. Метод половинного деления.

     11. Метод простых итераций для  решения нелинейных уравнений.

     12. Метод Ньютона (метод касательных)  для решения нелинейных уравнений.

     13. Модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

     14. Метод простых итераций для  решения систем нелинейных уравнений.

     15. Метод Ньютона для решения  систем нелинейных уравнений.

     16. Модифицированный метод Ньютона  для решения систем нелинейных уравнений.