Лекции по "Алгебре"

При ортогональном  преобразовании длина векторов и  углы между ними не меняются.

  Действительно, из формулы (6,10) при ^ — -ц получаем, что = С другой стороны, из формулы (6, 10) получаем, что

К, <"l) _ 5, 1 KIЫ 15! hi '

и, следовательно, угол между векторами 5, 1 сохраняется.

  Таким образом, ортогональное преобразование соответствует вращению пространства около точки (представляя себе векторы, исходящими из этой точки).

  Для матрицы U ортогонального преобразования а из формулы (6, 10) непосредственно получаем

U'GU = G; (6,11)

здесь О — матрица скалярного произведения в рассматриваемом базисе.

  Рассмотрим  теперь матрицы самосопряженного и  ортогонального преобразований в ортонормированном базисе. 

  Замечая, что в этом случае О = I (единичная  матрица) из формул (6,9) (6, 11) находим

А=А', (6,12)

U'U= I. (6,13)54

  Таким образом, в ортонормированном базисе матрица А самосопряженного оператора симметрична; матрица U ортогонального преобразования обратима, причем обратная матрица равна транспонированной: == U'. Таким образом, также UU'= \.

/и_п...и_1п\

  Если  U = I ) , то таким образом, и_аи_п-\~.. .-f-

—j— Uin Ujn  

\ Uni ■ . . Unn J

1 {l = J).

.0 (1ФЛ, Из (6,13) аналогично получаем

(1 0 = Jh lo (l Ф j).

  Изучим  теперь канонический вид самосопряженного преобразования.

  Лемма 6,4. Собственные числа самосопряженного преобразования действительны.

  Действительно, пусть А — матрица самосопряженного преобразования а в ортонормированном базисе; тогда матрица А симметрична. Собственное число X и координаты

собственного  вектора с_х с_п определяются из уравнений

(5,13), (5, 12)

det(A-\ I) =0, (5,13)

Ас = \с (<=(*))■ (5,12)

При комплексном X, с ( ф 0) оказывается столбцом комплексных чисел.

  Транспонируя (5,12) и переходя к комплексносопряженным  числам, получим с' А = X с'. Приведем левые части этого уравнения и уравнения (5,12) к с Ас, тогда X с' с = X с' с. Но с'с = = с₁с₁ . .-f с~„с_л = |с|³ + ... +|с„|² > 0 (с ф 0!), следовательно, X — X есть действительное число. 

  Таким образом, формула (5, 12) позволит определить действительные собственные векторы  преобразования а; каноническая форма матрицы самосопряженного преобразования будет, по теореме 5, 9, состоять из ящиков вида

 

  Докажем теперь, что каждый такой ящик состоит  из одного элемента X.

  Лемма 6,5. Характеристическая матрица самосопряженного преобразования имеет элементарные делители только первой степени.

  

x »

  Пусть степень х одного из элементарных делителей больше единицы, тогда из формул (5, 22) следует существование двух ненулевых векторов 5_x_i, 555 (в обозначениях этой формулы *) таких, что

a S_x 1-Х S_x_! -}- S_:

    ^a 8_X — X 5„.

Помножая  первую формулу скалярно на8_Х, вторую — на §_x_t получаем

    i, 8_X) = X (8,_i, S_x) + (8_X, 8_X), (S_x_i, aS_x) = X(5_x_i, S_x).

Так как  а — самосопряженное преобразование, то (o5_x_i, §_х)= = (8*, а §_х). Сравнивая первые части предыдущих формул, получаем невозможное (§_х ф 0!) равенство (5„, 5_Х) = 0. Лемма доказана.

  Лемма 6,6. Собственные векторы самосопряженного преобразования, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

  Действительно, пусть о^ — Х^ , а£₂ = Х₂£₂, тогда (а£₁₅ £,)= = (Х^, У = Х_х (§!, У; (£„ og₂) = Х₂?₂) = Х₂(?_ь ?₂). Так как Q = aQ, то Х_х £₂) = Х₂(^, £,) и, следовательно, при Xj ф Х₂, ?₂)—О-

  

  Теорема 6,2. Для каждого самосопряженного преобразования можно выбрать такой ортонормированный базис, в котором матрица преобразования диагональна

    (6, 17) 
 

  Доказательство. Выберем базис а_ь ..а„ пространства так, чтобы матрица преобразования приобрела каноническую форму (теорема 5,9). По лемме 6,5, выражение (6, 17) представляет каноническую форму матрицы самосопряженного преобразования.

  Таким образом, аа, = Х_;а_; (j—l,...,n). По лемме 6,6, векторы a.j, a_k, соответствующие разным собственным числам Х_;, X_k, ортогональны. Таким образом, если все собственные числа Х_х, ..Х„ различны, то базис T~Taj, ..., г а„

111 I Л 1

ортонормирован  и теорема доказана.

  Пусть теперь среди чисел Х^..., Х„ встречаются равные, например, Х₁ = ... = Х_Я; рассмотрим подпространство И', состоящее из векторов вида х^-}- ... -\-x_ra._r (x_lt..., х_г — произвольные действительные числа).

  Так как a[x_ia,₁ -(- . . . -\-x_ra_r) — Х_г a aj -(- . . . -)- X_r<sx_r = = Х_г (Xj a_t ... -|-л;,«_г), то каждый вектор этого подпространства (кроме нулевого) — собственный, соответствующий одному и тому же собственному числу Х_х. Выберем в И' ортонормированный базис (лемма 6,2); по-преды

дущему, a Ej = Xj Ej,..о e_r = Xj е_г.

  Заменяя в базисе я₁,...,а_п пространства Н, a₁₍...,a_r через е_ь ...,е_г и производя также подобные замены среди остальных векторов а_г+и ..., а_я получим ортонормированный базис £j,.. , е„ пространства; при этом аЕ_г = X_ta_t (i = l,...,n).

  Таким образом, матрица преобразования а  в этом ортонормированном базисе имеет вид (6,17). Теорема доказана.

  Из  этой теоремы вытекает следующее  важное следствие.

п п

  Теорема 6,3. Пусть 2 ^аи^хЛ> 2 bjx^j (a_tJ =

I ] \ l y-l

= a_Jt, — две квадратичные формы с действительными коэффициентами.

  Если  первая форма положительна, то существует такое действительное линейное обратимое преобразование аргументов, при котором формы принимают соответственно вид yi^2Jr ■ ■ -+Уп², XjjV + ••• + 'ЬпУп². При этом, если А = — {^aij)ⁿi > В={Ь_и)^п_П]^и то Х_1} ...,Х„ являются корнями (с учетом их кратности) уравнения det(B — XA)= 0.

  Доказательство. Пусть Н— множество столбцов

(^ХА

действительных  чисел вида ; Н есть п-мерное дей-

\Хп) 

ствительное векторное пространство. Формы / (х, х)

= £ а_их,х_;, g (х, х) = J b_jXlXj (х = | 1.1-1

ляются  симметрическими (a_u=a_}l, b_u=b_n\) билинейными формами в этом пространстве. Выберем положительную форму /(х, х) в качестве скалярного произведения: /(х, х) = = (х, х). По лемме 6, 3, тогда существует такое линейное преобразование а, что g (х, х) = (х, ах).

  Как отмечалось ранее, из симметричности билинейной формы g(x, х) следует, что преобразование о самосопряженное.

  Тогда, на основании теоремы 6, 2, в пространстве можно выбрать ортонормированный  базис так, что матрица преобразования а в этом базисе примет вид (6, 17).

  Обозначим через у_г у_п и у_ъ...~у_п координаты векторов х и х в новом базисе. Связь между координатами вектора в разных базисах определяется формулами преобразования координат (5, 6)

    

.Vi =р_пХ1 + ---Л-РтХп,

 

  Уп  —Рп\ Х_х Ри ... Pin

Рп 1 • . .Рпп

Ф 0 и, следовательно, это преоб-

При этом

разование обратимо. Но в ортонормированном базисе

 

= (х,ох)=(у₁ у_а) | У ] = Х^ +... + Х_пу_пу_п]

в частности, при х = х заключаем, что данные квадратичные формы принимают вид у\... -^[-yl, X_xyl —J—... —J— Х_пу

  При доказательстве леммы 6, 3, было установлено, что матрица преобразования а в первоначальном базисе имеет вид Л^-15; Х_ъ ..., Х„ — собственные числа преобразования а являются поэтому корнями уравнения det(A~¹B — XI) = О, или, так как det (А~¹В — X I) = det {А'¹ (В — ХА)} = = detA~^x-det(B-XA), уравнения det{B — \A) = 0. Теорема доказана.

    

  

/(хх) = (хх) = (>>!,.. ;Уп) * )=;УО>1. • • .,y_nyn,g(x, X)

Уп/

  Примеры. 1. На основании формулы (6,8) можно лег 
ко доказать, что проекция в есть самосопряженное преобразование; из формулы (6, 10) получается, что собственные числа преобразования в равны 1 или 0. Таким образом, в некотором ортонормированном базисе е_1г.. ., е„ матрица преобразования В имеет вид

Векторы е₁₍ ...,е_я, соответствующие собственному числу 1, образуют ортонормированный базис того подпространства И', на которое проектируется пространство Н и при проектировании не меняются; векторы s_r+i,..г_п, соответствующие собственному числу 0, ортогональны подпространству И' (проектируются в нулевой вектор).

  2. Пусть

Ах² + 2Вху+ Су²+2Дк + 2еу + F= 0

есть  уравнение кривой второго порядка  в декартовых координатах. Из теоремы 6, 3 следует, что можно выбрать такую прямоугольную систему координат, что старшие члены уравнения примут вид Xji² -)- Х₃_у² (положительно определенной формой, о которой упоминается в теореме 6, 3, является здесь форма, выражающая квадрат расстояния точки (х,у) от начала координат). Аналогичный результат справедлив и для поверхностей второго порядка.

  Перейдем  теперь к исследованию ортогонального преобразования.

  Это исследование значительно упростится, если предварительно расширить эвклидово пространство до комплексного эвклидова пространства. Метод такого расширения для векторного пространства рассмотрен в параграфе 5. Укажем теперь метод переноса метрики на комплексное эвклидово пространство.