Лекции по "Алгебре"

  Пусть в эвклидовом пространстве Н выбран ортонормированный базис е_1;... ,е„. Длина вектора ? = лг₁е₁ + ...-)- х_пг_п в этом случае определяется, как известно, по формуле I 51² = ^х\ + - • • + Как указывалось в параграфе 5, переход от действительного пространства Н к комплексному пространству Н сводится к рассмотрению векторов с комплексными координатами х_г х_п (относительно действительного базиса e₁,...,s„). Естественно в этом случае положить | £ |² = | х_г |² -(- ... 4- J х_п |² = х_гх! + ...-(- х_пх_п\ но это соответствует рассмотрению билинейной формы вида (£, •»]) = = ХгУг +••• + х_пу_п (ц =у,г j -f ... -f y_nej, со свойствами I •»]) = h. («5, ^Ti) = a (£, -rj), (£, ал\) ==a (?, Tj). Дадим теперь, следуя этому замечанию, определение комплексного эвклидова пространства, не зависимое от выбора определенного базиса. Будем называть билинейной формой в произвольном комплексном векторном пространстве функцию /(£, Tj), относящую последовательности векторов 1 комплексное число и обладающую свойствами: для любых векторов 1 С и произвольного комплексного числа а

/(5 + ч,с)=/(с, с)+/(11, с), /М + Т1)=/(_С, 5)+/М),

/(flS, 7])=fl/(?, 7]), (6,15)

/(5, ayi) = af(с, vj).

Билинейную  форму /(£, tj) будем называть симметрической, если  

ЖчУ=/(ч,?). (еде)

Таким образом, /(§, §)=/(?, 5) и в этом случае /(£, с) есть действительное число. /(5, 5) будем называть квадратичной формой, соответствующей симметрической билинейной форме /(?, -п).

  Симметрическую  билинейную форму /(£, i) и квадрати- ческую форму /(£, будем называть положительными, если, кроме того, /(£,£)> О для всякого ненулевого вектора. Комплексное векторное пространство, в котором скалярное произведение определяется какой-либо симметрической положительной билинейной формой /(£, tj), называется комплексным эвклидовым пространством56.

  Пример. Множество интегрируемых на отрезке [a, b} функций (действительного аргумента t), принимающих комплексные значения, со скалярным произведением

ь

[f,g) = \f[t)W)dt

а

можно рассматривать как бесконечно-мерное комплексное эвклидово пространство57.

  Так же, как и в действительном случае, для комплексных эвклидовых пространств доказывается справедливость неравенства Буняковского и существование ортонормиро- ванного базиса. Отсюда следует также, что комплексные эвклидовы пространства одинаковой размерности изоморфны (в смысле теоремы 6,1).

  Лемма 6,3 также справедлива для комплексного эвклидова пространства58. Это позволяет сохранить определение сопряженного преобразования и самосопряженного преобразования; определение ортогонального преобразования 59 также остается прежним.

  Пусть в л-мерном комплексном эвклидовом пространстве выбран базис е_1;..., е„; если I —х_хг_х-\-...х_пг_п,

- (уЛ

у = I j_ , то для билинейной формы /(5, l) получается следующее координатное выражение:

п

f{l 1) = S fki ^хкУь fki =/(^£*> к,

матрица F — ( {^п. . "f^3п! ) называется матрицей билинейной

\ /л1 • •  • fnn /

формы. В матричной записи

Если  форма /(§, i) симметрична, то

fki=fi^sk> b) =/(^£z> ^£а) =fik,

короче  это можно выразить формулой F¹ = F.

  Матрица самосопряженного преобразования в  ортонормированном базисе обладает подобным же свойством (проверить!).

  Таким образом, квадратичная форма в комплексном

п

пространстве  имеет вид ^ а_ы x_k х₁ (а_ы = а_ш).

к, г=1

  Леммы 6,4; 6,5; 6,6 и теорема 6,2 переносятся  без изменения на случай самосопряженного преобразования в комплексном пространстве (метод доказательства при этом также сохраняется). Приведем формулировку теоремы, соответствующей теореме 6,3.

п п

  Теорема 6,4. Пусть ^аы^хь^хь S ^bki^xk^xi суть квад-

k. i=i i

ратичные  формы с комплексными коэффициентами. Если первая форма положительна, то существует такое линейное обратимое преобразование аргументов (с комплексными коэффициентами), с помощью которого эти формы приводятся к виду

У1У\ + ---+УпУп> \У1У1 + ---+КУпУп-,

действительные  числа Х₁,...,Х_п являются корнями уравнения det (В — ХА) — О (А, В — матрицы данных форм).

  Метод доказательства этой теоремы тот  же, что и теоремы 6,3.

  Пусть теперь действительное эвклидово пространство Н расширено (по схеме параграфа 5) до комплексного эвклидова пространства Н. Скалярное произведение в Н определим так, чтобы, в частности, для действительных векторов оно совпадало со скалярным произведением, заданным в Н.

  Чтобы доказать возможность (притом единственную) выполнения этого условия, заметим, что оно, на основании (6,15), (6,16) приводит к следующей формуле: если г/, т)" действительные векторы, то

{Ъ' + К", = + V)+ *'((?", л)

(6,17)

Скалярные произведения в правой части этой формулы определены в Н.

  Непосредственно проверяется, что формула (6,17) определяет билинейную симметрическую положительную форму в пространстве Н (проверить выполнение условий (6,14), (6,15) и положительность выражения в правой части формулы (6,16).

  При I" — 0, 1 = 0 правая часть формулы (6,17) обращается в (£' i'); таким образом, скалярное произведение, определенное в Н по формуле (6,7), в частности, для действительных векторов, совпадает со скалярным произведением, заданным в Н.

  Заметим, что (5, i) = (5, l) (следует из (6,17). Пусть теперь а — некоторое линейное преобразование пространства Н. Следуя параграфу 5, продолжим а до преобразования а, действующего в Н, по формуле

+ = + (6,18)

Очевидно, а5 = о£. Докажем прежде всего, что при таком продолжении ортогонального преобразования о пространства Н преобразование а пространства Н также оказывается ортогональным.

  Пусть а — ортогональное преобразование. Из формул (6,17), (6,18) получаем

(а (5' + Ц"), а (т)' + щ") ) = (аГ, + +

= (Г, Y) + [Г, V) + i ((Г, V) - (Г, Л) = = + V + »Y).

Ортогональность преобразования а доказана.

  Как было доказано в параграфе 5, преобразования о, а имеют одинаковые собственные числа. Поэтому следующая лемма справедлива и для комплексного и для действительного эвклидова пространства; доказывать ее будем для комплексного пространства.

  Лемма 6,7. Модуль собственного числа ортогонального преобразования равен единице.

  Пусть a — ортогональное преобразование комплексного эвклидова пространства, Е, — собственный вектор, X — соответствующее собственное число

Из (о£, а£) = (£, 5) (ортогональность преобразования о) и = Х?) = |Х|² (5, 5), замечаем, что |Х|²=1. Лемма 6,8. Степень элементарного делителя ортогонального преобразования комплексного пространства равна единице.

  Если  степень элементарного делителя преобразования a больше единицы, то существуют ненулевые векторы 8_x_i, S^ (в обозначениях формул (5,22)) такие, что

aS_x_i = X8_x_i -)- 5_Х,

aS_x = Х8_х.

Но тогда  (5_x_i, 8_I) = (o5_x_i, а8_х) =

= (X8_x_i -)- 8_Х, XS_x) = | X |² (§_х_ь 8_х) + Х(8_х, 8_Х).

Так как, по лемме 6,7, ]Х| = 1, то (8_Х, 8_Х) = 0, что невозможно (8_Х=£0!).

  Лемма 6,9. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам ортогонального преобразования комплексного пространства, ортогональны. 

  Пусть о5_х = )■!?!, а?₂ = Х₂?₂ (1X^ = 1, |Х₂|= 1), тогда ?₂)== = (а?_1; ag₂) = (X₁?₁, Х₂?₂)=Х₁Х₂(5₁, =t₂(?i, Если XJ^X,,

то (?₁₍ ?,)=0.

  Теорема 6,5. В комплексном эвклидовом пространстве можно выбором ортонормированного базиса матрицу ортогонального преобразования привести к виду

/V ⁰

\о  ""•••-.х_я/

  ,... ,Х_п — собственные числа преобразования а. Это теорема доказывается совершенно так же, как теорема 6,2, но вместо лемм 6,4; 6,5; 6,6 следует использовать леммы 6,7; 6,8; 6,9 {провести это доказательство).

  В случае ортогонального преобразования а, являющегося продолжением ортогонального преобразования а действительного пространства, лемму 6,9 можно дополнить.

  Лемма 6,10. Пусть являются собственными векто

рами  ортогонального преобразования а пространства Н, Х_г, X, — соответствующие собственные числа. Если Х_х Ф X,, то

  Ъ) =0.

  Действительно, из а£₂ = Х₂£₂ следует а£₂ = Х₂£₂. Если Х_х ф Х₂, то, по лемме 6,9, £₂) = 0.

  Теорема 6,6. Пусть с — ортогональное преобразование действительного эвклидова пространства. Тогда можно выбрать такой ортонормированный базис, в котором матрица

преобразования  а принимает вид д

—

— 1  

cos <fj — sin sin Cf j cos

'' I

здесь места вне ящиков, расположенных по главной диагонали, заполнены нулями. При этом 1,..., 1,-1 — 1,

cos -t sin ср,... суть собственные числа преобразования а.

  На  основании теоремы 5,9 и леммы 6,8 можно  легко доказать, что (6,19) является канонической формой матрицы линейного преобразования а. Однако мы повторим частично рассуждения, примененные при доказательстве теоремы 5,9, чтобы одновременно показать, что форма (6,19) достигается относительно ортонормированного базиса.

  

(6,19)

  Перейдем  к преобразованию а в пространстве Н. По 
теореме 6.5, можно выбрать ортонормированный базис «1,..., г„ в Н так, чтобы матрица а приняла вид