Лекции по "Алгебре"

Ортонормированная система векторов независима.

  Действительно, если с_х в_х 4-... -\-с_кг_к — 0, то помножая скалярно на s_l5 получим

  О (c_l£l + ... 4. c_ke_k , _£l) = (е_х, sj 4- ... 4- c_k[z_k, _£l) = так же докажем, что с₂ — О —

  Тем же методом доказывается, что координаты вектора £ в ортонормированном  базисе е₁₍ ...,е„ соответственно равны (5,e₁),...,(ie_B):?=(§_iei)e₁ + ... + (5, е_я) £„.

  Так как пространство Н я-мерно, то длина k ортогональной системы векторов не больше п.

  Лемма 6,2. Эвклидово пространство обладает ортогональным базисом.

  Докажем сначала, что в эвклидовом пространстве существует ортонормированная система векторов длиною п53.

  Пусть а — произвольный ненулевой вектор из Н. Тогда

е_г — - а есть вектор единичной длины; вектор представляет ортогональную систему длины единицы. Пусть уже построена ортогональная система s₁,...,s_k длины k < п, тогда существует вектор Ре//, не зависящий от векторов е_ъ ..., s_k. Построим ненулевой вектор у, ортогональный к векторам s_lt...,e_k. Будем подбирать вектор у ^в виде

У = p-ffl₁e₁4-... + a_fte_fc. Условия (у,е_г)=0 (г = 1 k)

приводят  тогда к уравнениям (р, £_г-) 4" ^ai ~ 0 (i — \,...,k), откуда и определяются коэффициенты а_ъ...,а_к.

  Вектор  у Ф 0, так как Р не зависит от векторов £j e_ft.

Полагая t_k+i = -jyj-y, получим тогда единичный вектор такой, что система £j s_ft, ортонормирована. Продолжая

этот  „процесс ортогонолизации", получим  ортонормирован- ную систему векторов е_1;...,е_п; так как эти векторы независимы, то они образуют базис пространства Н. Лемма доказана.

  В ортонормированном базисе скалярное  произведение выражается простейшим образом  через координаты векторов. Если

5 = + ... -f х_п е_п, tj = у₁ sj + . . . + у_пв_п, то [1^,п)=х₁у₁ + ... + х_ау_п, \l\ = +Vxs + ... 4-

получаем  хорошо известное выражение скалярного произведения в прямоугольной системе координат. В этом случае матрица скалярного произведения оказывается единичной матрицей.

  Основываясь на этом, можно доказать следующую  важную теорему. *

  Теорема 6, 1. Пустя Н, Н суть n-мерные эвклидовы пространства со скалярными произведениями, соответственно,

/(5, l) (5,1 е//), /(5, l) (5, ie#). Тогда можно установить такое взаимно-однозначное соответствие между векторами пространств Н, Н \ Е,<—что

5 + 1 = 5 + 1, а I == а I, /15,i) =/(С 1).

  Таким образом, все предложения, справедливые в одном пространстве и выраженные посредством основных векторных действий и скалярного произведения, переносятся в этом соответствии на другое пространство. Эти пространства изоморфны.

  Действительно, выберем в пространствах Н и Н орто- нормированные базисы г₁,...,г_п и e_lt...,e_n. Каждому вектору § = x_le₁ -j- ... -j- x_ns_neH поставим в соответствие вектор из Н с теми же координатами: £ = ^£1+ ... + х_п$_п ■ Непосредственно проверяется тогда справедливость теоремы 6, 1 (провести эту проверку).

  Основным  вопросом, который нас будет интересовать в дальнейшем, является изучение важных классов линейных.

преобразований  эвклидова пространства: проекций, вращения, самосопряженного преобразования.

  Пусть Н' есть подпространство пространства И, £ — произвольный вектор. Проекцией вектора 5 на подпространство Н' естественно назвать такой вектор который наименее

отличается  от вектора под этим будем понимать следующее: —< —для всякого вектора цеН'. Докажем прежде всего существование и единственность такого вектора

  Если  Н' содержит только нулевой вектор, то и

утверждение очевидно; пусть теперь Н' имеет положительную размерность. Выберем в Н' ортонормированный базис

£j e_m; произвольный вектор т\ из Н' можно представить

в виде

т] = -f . . . +у_те_т.

  Таким образом,

т

= (1--ПЛ--Ц) =(i §)-2 (I е_г) +

(-1

т

+ 2 У О) (^£i. ^е;).

'■J

Так как  система векторов г_1;..., г_т ортонормирована, то

т т

i =1 i=\

(6. 7)

i = l i = 1

  Последнее слагаемое здесь не отрицательно; следовательно, — т) |² принимает наименьшее значение только при

т

У1 = (5, ь) (t= 1,..., т), для вектора ч\ = 2 (5.

»=i

  Таким образом, не только доказано существование  единственной проекции, но и указан метод нахождения такой проекции.

  Отображение 0, сопоставляющее каждому вектору  £ его проекцию I' на подпространство И', называется проекцией.

  В произвольном ортонормированном базисе е_ь ..., г_т подпространства Н'

т

(6.8)

1=1 
 

  Из  формулы (6, 7) следует, кроме того, справедливость неравенства

                      т

12

                      1=1

равенство здесь достигается только в случае £ = если

вектор  § линейно зависит от векторов e_If ..., t_m.

  Из  формулы (6, 8) следует, что проекция есть линейное преобразование пространства Н (проверить!).

  Если, в частности, то очевидно, = Пусть те

перь I — произвольный вектор из Н: так  как в£еЯ', то в(@£) = в£. Это означает, что

в² = в. (6,10)

  Пример. Пусть Н — множество действительных интегрируемых на отрезке [0, 2 л] функций аргумента t со скалярным

2 х

произведением (/, g) — j f[t)g(t) dt.

о

  Пусть H^r — подпространство Н, состоящее из тригонометрических полиномов порядка «, вида

S_n{t) = a₀-\- cos^-f- bjsin t-\~... -\~а_п cos nt-\- b_n sin «£(6,11)

(a₀, flj, ...,&„ — произвольные действительные числа). Определим проекцию какой-либо интегрируемой функции f(t) на Н'\ предыдущие рассуждения здесь применимы, так как при определении проекций функций f[t) достаточно рассмотреть конечно-мерное пространство с образующими f(t), 1, cos t, sin t, . . ., cos nt, sin nt. 

2%

bk = j" /(0 ^{sin ktdt} (£ = !.• • ■> »)•

0

(6,9)

Эти коэффициенты называются коэффициентами Фурье функ- 78 
ции fit). Для этого значения коэффициентов величина

йт

\f-Sn\² =§[f(t)-s_n(t)]*dt

о

достигает минимума; S_n(t) для указанного значения коэффициентов представляет наилучшее приближение f(t) при таком способе определения отклонения S„(t) от f(t).

  Для дальнейшего изучения преобразований в эвклидовом пространстве введем понятие  сопряженного преобразования.

  Лемма 6,3. Пусть /(?, -q) — произвольная билинейная форма в эвклидовом пространстве Н. Тогда можно, и притом единственным образом, подобрать два преобразования о, -с так, что для любых векторов ■»]еН

  Доказательство. Пусть в некотором базисе форма / (I, т]) имеет матрицу F, форма т]) — матрицу G; напомним, что матрица G обратима. Пусть х, у — столбцы координат векторов I в выбранном базисе, тогда /(£, т\) = — x'Fy. Пусть А, В — матрицы произвольных пока преобразований а и х, тогда т]) = xA'Gy, тт,) = x'GBy.

  Для выполнения равенства /(£, т]) = (о£, т) ) необходимо и достаточно, чтобы F = A'G или F' — GA (G' = G); отсюда A = G~^lE'\ эта формула однозначно определяет матрицу А преобразования о и, следовательно, однозначно определяет преобразование о.

  Точно так же преобразование т однозначно определяется своей матрицей В из условия /(£, 7j) == (£, T7j), или F = GB, B = G~^lF.

  Следствие. Для каждого линейного преобразования о можно однозначно определить такое преобразование о*, что

(а?, т)) = (5,0*4). (6,7)

  Действительно (а^, т]) — некоторая билинейная форма, по которой, по-предыдущему, определяется преобразование z = а^х. Из доказательства леммы 6, 3 легко следует, что матрицы А и А^х преобразований о и о* связаны соотношением

= (6,8)

  Действительно, матрица F формы (о£,tj), по-предыдущему, равна A'G и GA^X. Из A'G — G.A* и следует формула (6, 8). Преобразование о^х называется сопряженным (относительно преобразования о).

  Докажем, что преобразование о сопряжено  с а^х:(а^х)^х = а.

Действительно, из

(<X»g,T|) = (5, 0**11)

следует (симметрия скалярного произведения}: (о^ххц, g) = = (rj,a^x%) и следовательно, {о^хх-ц,В,) = (<^,5). Так как форма (^а71,5) однозначно определяет преобразование а, то а = <з^хх, что и требовалось доказать.

  Преобразование  о, называется самосопряженным, если о = 0^х. Для матрицы А такого преобразования имеет место соотношение (см. 6, 8)

A = G~^lA'G. (6,9)

  Если  а — самосопряженное преобразование, то (a?, tj) = = (5, <л|); в этом случае форма=("5. l) симметрическая. Действительно,

Обратно, пусть /(5, i) — произвольная симметрическая форма, тогда преобразование о, определяемое формулой/(5, т))= =(^а5, l).— самосопряженное. Действительно, (§, ) = (okj, §) = = /(¹i, 5) =/(5,l) = и, следовательно, о* = о.

  Преобразование  а называется ортогональным, если для  любых двух векторов 1

(°e,cnj) = (s,Tj). (б,ю)