Лекции по "Алгебре"

f(alr_i)=f(Z,ar_l) = af(Z, i,).

Функция/(?, т]), удовлетворяющая этим условиям, называется билинейной формой пространства И. В частном случае, если/(■»), =/(tq, %) для любых векторов £,.■») е Н, билинейная форма называется симметрической. 

   Очевидно, для билинейной формы /(?, т]) справедливо следующее общее соотношение:

k i

f(a_x l_x +... + a_h , b_xi\_x + • • • + М») = Jj S ^a<

/ = 1 y=l

   Если /(£, -г)) — симметрическая билинейная форма, то функция /(5, 5), определенная для  всех векторов назы

вается  соответствующей квадратичной формой.

   Найдем теперь координатное выражение билинейных и

квадратичных  форм. Пусть а_х а_п— произвольный базис

пространства

§ = + . . . + Х_па_п, ■п=у₁а₁ + ...+_У_па„.

Тогда для  произвольной билинейной формы/(?, у\) имеем: /(£ -п) =/(JCi«i + • • • + Х„ ^лп> Уг «1 + • • • =

= 2 зд/(«/.«> (в, i;

>.j=i

   Обозначим действительные числа / (а_г, а^} через /_у, тогда, как легко проверить, формулу (6, 1) можно записать в следующей матричной форме:

                 ( /п  • • • /м  \ ( У\ \ f{l,-4) = (x_u...,x_n)[. • • • • • (6,2)

                 V /й1 • • • fnn) \ Уп 1

//ll • • -/l_B\

Матрица F — ( I называется матрицей формы

V /л1  • • • fnn )

/ Tj) относительно базиса а._х, ..., х_п .

   В дальнейшем будут применяться обозначения  х =

\^лп !

   (ул

у = у J и т. д. В этих обозначениях формула (6,2) может быть короче представлена так:

/(?, Tj)

По формуле (6,2), матрица F однозначно определяется формой /(£, Т|).

Действительно, если

(x_x,...,x_n)\J■ ■  x_n)l^gn-". или

\fnx ■ ■ • fnn/ \Уп/ \gnl ■ ■ ■ gnnl \Уп)

       = S SijXJj ' j i.)

при произвольных действительных x₁,...,x_n, У\,...,У_П> ^то полагая х₁ = у₁ = \ и прочие координаты нулями, найдем

Л = &v (^l'J= ¹ »)•

  Обратно, задавая произвольную действительную квадратную матрицу порядка п — F — формулой (6,2),определяем в данном базисе билинейную форму (проверить!), с матрицей F (в рассматриваемом базисе).

  Пусть теперь форма/(£, tj) симметрична. Тогда имеем: /l?-⁷)) —/{'пЛ), или x'Fy — y'Fx\ так как у'Fx есть матрица первого порядка (число), то у'Fx = [у'Fx)' — x'F'y (см. параграф 2) и, следовательно, x'Fy = x'F'y, или F = F' {fij—fjt). Матрица, не меняющаяся при транспонировании, называется симметрической. Таким образом, симметрические билинейные формы во всяком базисе представляются симметрическими матрицами.

  Если/(£, т)) — симметрическая билинейная форма, то ее матрица называется также матрицей соответствующей квадратичной формы /(£, =x'Fx.

  Подобно предыдущему легко доказать, что  квадратичная форма /(?, £) однозначно определяет симметрическую матрицу и, следовательно, и соответствующую билинейную •форму. Впрочем, это следует также и из тождества

  Отметим следующие операции над билинейными формами. Пусть /(£, •*)), g у) — билинейные формы, a, b— произвольные числа, о — произвольное линейное преобразование пространства, тогда

                 af{S,4)+bg{t, -п), /(05,7!),/(?, 07,) являются также билинейными формами (проверить!).

  Если F, G, А — суть матрицы в некотором базисе форм /(5, I), т)) и преобразования а, соответственно, то матрица формы af(l, т]), 4-^(5,71) (в этом же базисе) равна aF + bG (это очевидно), матрицы форм и/(£,<п))

равны, соответственно, A'F и FA.

  Докажем последнее замечание.

  Обозначим столбцы координат векторов <п] через

- (*Л  - (у'Л

J, ,У= j, тогда, по формуле (5, 10) имеем х = Ах, у — Ау.

  Так как

         /(a?, n) = x'Fy = (.Ax)'Fy = jCA'Fy, f{l,ori) = x'Fy = x'FAy, то последнее утверждение доказано.

  Рассмотрим теперь преобразование матрицы билинейной формы/(£, ■/)) при преобразовании базиса.

  Пусть в базисе а_иа_п матрица формы равна F, в базисе а_1г..., л_n—F. Пусть формулы преобразования координат при преобразовании базиса имеют вид (см. 5,5)

х = Рх, у = Ру.

  Здесь х{х), у (у) — столбцы координат векторов Е, т/ в базисе а_и ..., а_п (в базисе а_1>..., а_п), Р — обратимая матрица преобразования координат. Имеем:

f&ri) = x'Fу = х' F у

и, следовательно,

         ~х'  F у — x'Fy =[Р~х)' FPy = x'P'FPy.

Таким образом,

F — P'F Р. (6,3)

  Симметрическую  билинейную форму /(?, т\) и соответствующую квадратичную форму /(€,£), обладающую дополнительным свойством /(5,?) > 0 для всякого ненулевого вектора Е, (конечно, /(0,0) = 0), называют положительной формой. Заметим, что матрица такой формы (в произвольном базисе) обратима. Действительно, если detF = 0, то можно, как известно, подобрать такие ненулевые в совокупности числа а_ъ ..., а_п, что =

  Пусть a — вектор с координатами а_и ..а_п\ а. ф 0, так как а ф 0.

  Но/(а, я) = a'Fа = 0, что противоречит предположению положительности формы f{l,^ri).

  Докажем, наконец, неравенство Буняковского для положительных форм.

  Лемма 6, 1. Если /(£, — положительная билинейная форма, то   

1/(5^)1 < Vf&l) 1{-п,ъ), (⁶-⁴)

причем  равенство достижимо только в  том случае, если векторы т) зависимы.

  Если  векторы -tj зависимы (например, = то справедливость равенства в формуле (6,4) проверяется простым вычислением. Будем предполагать теперь, что ц независимы. Пусть X, (j, — произвольные числа.

  Тогда

/(X? + Х54- R) = 5) + 2 ч) + ч) > О,

причем  равенство здесь достигается  только при Х£ -j- jr») = 0_r иначе говоря, при Х = 0, ц = 0. Но тогда дискриминант формы переменных X, ц, Х²/(£, £) -(- 2 Хц/(£, -q) -j- ц²/(т), -rj) отрицателен

  Отсюда  легко получается справедливость неравенства в формуле (6,4). Лемма доказана.

  я-мерное действительное векторное пространство, в котором скалярное произведение двух векторов определяется произвольно выбранной симметрической положительной билинейной формой /(£, т₍), называется я-мерным эвклидовым пространством. Это означает, что длина вектора £ (обозначается через |5|) определяется числом -f- У/(5, угол ср — между векторами -ц — по формуле

| hi cos Ф =/( %,->]).

  Выбранную в эвклидовом пространстве Н положительную билинейную форму /(£, т;) в дальнейшем будем обозначать кратко (5,т|) и называть скалярным произведением51.

  Итак,

iei=+i/TOJ,

151 hi cos _? = (?, щ) . (⁶'⁵)

  Если (?, 7]) = 0, векторы -ц называются ортогональными. В случае ненулевых векторов -ц,

coscp=-|^-; (6,6)

по неравенству  Буняковского (6,4), j ^ | < 1 и, следовательно, угол ср, определяемый по формуле (6, 6) будет действительным.

  Примеры 1. //—множество столбцов действительных чисел высоты я; как известно, И образует «-мерное действительное векторное пространство. Скалярное произведение двух 
столбцов х = (jj , У= (jj определяется формулой

2j *иУк

fc-1

(х^х) =a:₁Vi + . • • -\~^хпУп Длина вектора определяется формулой \х\ = -f- V^xi²~h ■ ■ - -h^xn² ■ При таком определении скалярного произведения Н является я-мерным эвклидовым пространством (проверить свойства формы (х^у)!).

Векторы 1_г = I {   /„ = [ образуют базис Я; эти

векторы имеют длину, равную единице, и попарно  ортогональны. Неравенство Буняковского имеет вид

< 1

к-1 fc=l

для любых  действительных чисел х_г х_п, у_ъ...,у_п.

  2. //—множество действительных интегрируемых на отрезке [а_хЬ\ функций (аргумента t)\ Н есть бесконечно-мер- ное векторное пространство.

  Скалярное произведение функций f(t), g(t) определяется

ь

формулой (f,g) = j f(t) g(t)dt. При таком выборе ска-

а

лярного произведения Н можно рассматривать как бесконечно-мерное эвклидово пространство.

  Неравенство Буняковского справедливо и здесь. В этом можно убедиться, заметив, что доказательство его не использует размерности пространства. Это доказательство для данных двух функций f(t), g(t) проводится в конечно-мерном пространстве функций вида a f(t) -\-bg(t) (a, b — произвольные постоянные). Имеем

\f(t)g(t)dt < у $[f(i)]52dt$[g(t)]*dt-

а а а

важное  неравенство, часто применяемое  в анализе. Оно спра 
ведливо и для бесконечного интервала интегрирования, если сходятся, интегралы

ь

J [/(OP dt, J [g{f)Ydt.

a

  Будем называть систему векторов е_ь ..., e_k пространства ортонормированной, если длины этих векторов равны единице и они попарно ортогональны:

( 1 (i = j нормированность) \^£i<^sj) — | о (г Ф j ортогональность)