Лекции по "Алгебре"

/а_п-° • ..

рицы   ; не ограничивая общности, можно предал!- . .апп~°/

полагать, что старшие коэффициенты различных полиномов Pi(a),.. равны единице.

  Так как р^(о),.. .,р/г(а) попарно взаимно  просты, то по лемме 5,4, ф]) = (yj) 4-..., -j- (у_г), причем аннуляторами (у_х), ..., (у_г) являются соответственно p_x^ki (a),. /?Д(а) 39.

  Итак, вводя сплошную нумерацию подпространств (j_e) для всех (Ру), пространство Н может быть разложено в сумму

подпространств (у_/)(/=1, s), где у,—вектор со свойством

    */(<0Ту = 0. (5,18)

Здесь е,(о)—один  из элементарных делителей.

  Количество  таких подпространств (уД — s, равно количеству всех элементарных делителей (с учетом их кратности) матрицы

    <а_п-° . . , а_1П\

    an 1.. . а_Пп—^а

  Сделаем еще одно замечание. Пусть степень  элементарного делителя е_;(о) равна y.j. Очевидно, произведение всех элементарных делителей равно произведению всех инвариантных множителей и, следовательно, эквивалентно

    /а_п~".. . а_1П\ (let   = X (а) 40.

    \ащ . ■ ■ апп

  Таким образом, сумма степеней всех элементарных делителей равна степени Х(а):

    х_г+ ... + *, = л. (5,19)

  Теперь  предположим, что Н — комплексное векторное пространство. В этом случае, так как в кольце полиномов с комплексными коэффициентами простыми полиномами являются только полиномы первой степени, заключаем, что все элементарные делители имеют вид

    (₃) ₌ (а-X,)*/41•

  Выберем теперь систему образующих в пространстве (у_у). Каждый вектор т⁶(Ту) имеет вид у=ср(а)у_у.. Разлагая полином ®(о) по степеням а — Х_у, получим tp(o) = а₂ + а₂ (о — X_y-)-f- -f-. ■ . + а_х{<з ^— + ⁰ (³) (^а — где 6 (а) — также некоторый полином, а_ъ .. ., a.,j — комплексные числа. Следовательно, если' обозначить через .. ., векторы из (у_;), определяемые формулами

8/Л = (а - Х,)-1 _Ту (г = 1,..., У.,-), (5, 20)

Замечаем на основании (5, 18), что

  Т = <Р (³)"0 = ^аи, + «2 - + • • • + а_%. (а - л_у.)⁷7-1 _Ту =

= аДО') + а,8₂<Л + . . . + а_%. №.

j i-j

Таким образом, векторы 5_1Р..., 5%,, определенные формулами (5,20), составляют систему образующих подпространства (kj). Так как

+... + (?,). (5,21)

то объединение  всех векторов 8^/' для всех подпространств есть система образующих для пространства И. Длина этой системы образующих, очевидно, равна -j- .. . -j-x^ = ti (формула (5, 19). Так как Н я-мерно, то система образующих длины п состоит из независимых векторов и образует базис пространства Н. Это искомый базис 42.

  Определим теперь воздействие преобразования а на базисные векторы S</). По формулам (5, 20), имеем (при г < %,•)

  ₀5«^Л = Х,.5<^У) + (з- Х_у)8<^Л = Х_у Ь⁽Р + (а - X/ _Ъ = Х_у 5<^Л + 8&>

  Наконец, = Х_у. tf» (_а _ цЧ у_у- = Х_у. Ц -

  Таким образом, формулы, соответствующие  базисным векторам 8₁^(;),..., из подпространства (у_у), имеют вид

_о5(Л ₌ ) _bu) ₊ 5 (Л

1. J 1 ' 2

_о80)₌)*(л₊ ьф

2. J 2 ' 3 *

            (5, 22>

Л = ЛЛ<Л

v_v-l J 1 ху>

оЬ<Л= ХЛ^(Л. -'■j ¹ Ь-

Так как ф 0 (как вектор базиса), то отсюда следует, в частности, что — собственный вектор, Х_у. — собственное число преобразования43.

  Собирая формулы (5,22) для всех j— 1 s и составляя матрицу преобразования а, непосредственно приходим к доказательству теоремы.

  Однако  из теоремы 5,6 и приведенного доказательства ■следуют и дальнейшие важные результаты.

1. Количество ящиков, — S, — в канонической форме матрицы А равно количеству элементарных делителей мат-

/а_и-=>. . . а_1П\

рицы    или, что то же самое, матрицы А — XI,

\а_П1 ... а_Пп~^а1

элементы  которой являются полиномами аргумента X с комплексными коэффициентами. Размер каждого ящика 1, ..., S) совпадает со степенью соответствующего элементарного делителя. Числа, находящиеся на главных диагоналях ящиков Tj, являются собственными числами преобразования. Эти утверждения очевидны.

2. Для всякого вектора а из И, Х(а)а = 0. Таким образом, преобразование X (а) — нулевое: Х(а)=044 и, следовательно, Х(Л) = 0 (теорема Гамильтона-Кэли).

  Действительно, как уже отмечалось, т_х{а) . . . т_п(<з) = = + Х(о)« Так как •■•+(?«) (см. (5,18)), где

каждое (|3у) есть множество всех векторов вида <р(о)|3. то

а=ср₁(а)[3₁4-... + (_?„(з)^;

<?i(a),..., <р„(а) — некоторые полиномы; по формулам (5,17),

У.(а)

/я_;-(а)р„ = 0 и, следовательно, X (а)р_у. = myja) ^mj(^a)Pj— О Д^ля всех j = 1, ..., п. Поэтому

X (а)а = X (а) _?1 (а) ^ + .. . -f X (а) _?я (а) р_я = 0 45.

3. Если А — произвольная квадратная матрица с комплексными элементами, то можно подобрать такую обратимую комплексную матрицу Q, что

 

где матрицы  Т_Х,...,Т_$ имеют вид, указанный в формули ровке теоремы 5, 6.

  Действительно, произвольной квадратной комплексной  матрице А порядка п соответствует (в произвольно выбранном базисе а₁₅..., а„) определенное преобразование а /t-мерного комплексного векторного пространства. Выбирая тогда „канонический" базис, указанный в теореме, приведем матрицу преобразования к виду ^ ' V / ' ^^{огда из} Ф⁰Р^МУ^ЛЫ

(5, 11), связывающей  матрицы одного и того же  преобразования а в разных базисах, непосредственно следует справедливость высказанного утверждения.

Пример. Пусть dx_x

(It = Д1Л + • • • + Я\пХп,

dx_n

-fi-f = an\X_x + . . . + annXn,

ИЛИ

~ai x = Ax [x = : , a =  

\XnJ \an\-..ann1

есть линейная однородная система дифференциальных уравнений первого порядка с комплексными коэффициентами. Пусть Q — обратимая матрица, подобранная так, что

\0 7",

/У1

  Полагая x — Qy {у = '

\Уп

приведем  предыдущую систему к виду

d (^T> ⁰

или к  виду

dy 1

• = А1У1.
• ₌у_{1 +} \₁ у₂,

dy*, , ,

= -У'1-i + ^{и т}- ч-

Здесь выписана только одна группа формул.

  Эти уравнения легко последовательно  решается. Легко также заметить, что у_ъ . „., у„, а следовательно, к х_ъ ..., х_п, определяемые по формуле х = Qy, будут определяться в виде сумм слагаемых вида Ct^re^x^ (С — произвольная постоянная, 0,1,.. — 1; X,- — корень характеристического полинома X (X) — det(A — XI)).

  Рассмотрим  теперь линейное преобразование в действительном векторном пространстве. Уже указывалось, что этот случай сложнее случая комплексного векторного пространства, так как среди элементарных делителей характеристической матрицы могут встречаться полиномы второй степени, а не первой (см. стр. 70). Это связано с тем, что полином с действительными коэффициентами может не иметь действительных корней и приводит к необходимости расширения поля действительных чисел до поля комплексных чисел. При рассмотрении линейных преобразований в действительном векторном пространстве мы поступим подобным же образом, расширяя действительное векторное пространство до комплексного векторного пространства. Пусть И есть n-мерное действительное векторное про-

странство. Рассмотрим множество Н элементов  вида а-|-гр> где а, р—векторы из Н46.

  Равенство a -f- = y -f- i8 означает равенства а = у, Р = 8;

a -j- f 0 = а. Действия над элементами из //определяются

естественным  образом? если a-f-^P, у-f- i еН, то (а-)- /р) -[- -(- + ib) = (а + у) -j- i (Р-|- 8); если а + ib произвольное комплексное число, то (а -j- ib) (ос. —j— /р) = (аа — bp) -f- -f- i {b& ар). Следовательно, при таком определении дей-

Cs»

ствий Н является комплексным векторным пространством,

со

содержащим  действительное пространство Н. Векторы  из п будем называть далее комплексными, векторы из Н — Действительными векторами. Если a -f- г'Р есть комплексный вектор (а,р — действительные векторы), то, как обычно, будем называть а действительной частью вектора а —(- г р, р — мнимой частью: а = /?е(а + г'Р), р = Itn (а-f- г'Р); комплексные векторы a -j- f'p, а — г'Р будем называть комплексно-сопряженными: (а гр) = а — гр. Непосредственно проверяются следующие утверждения (теперь а, р,. .. будут обозначать вообще комплексные векторы, a, b — комплексные числа):

Rex — I (a a), Im a = \_t(x — a);47 (ax) — a a, (a-j-P)

= a -)- P и, вообще, (ал -)-...-)- bp) =a<*-\-.. .-\-Ър (проверить!).

  Теорема 5, Всякий базис пространства Н является базисом пространства Н. Таким образом, пространства Н и

ГО ^

Н имеют  одинаковые размерности ■"**.• 

   Пусть a_lf ..а — базис пространства Я, а — произвольный вектор Я. Тогда а = а' + г'а" fa', а"—действительные векторы); следовательно, а' = а/ а_х ... -)- а_п' а„, а" = a/'aj-j~ +... + а_п" я-п (а/ ,..а/, а/' ,..., а/ — действительные числа).

   Итак, a = (а/ + га/') а_х + ... -f- (а/ + ia_n")ci._n. Таким образом, х₁, ...,а„ есть система образующих Я. Так как из (а,' -f- m/'K +...-(- («л' -Н^а/)^а" = 0 следует а/а_х + ... + -fa/ а„=0, а/' _а1+... + а„" а„=0 и а/ = 0,..., а/ = 0, а/'=0, ..., а_п" = 0, то векторы а_ь ..., а„ независимы в Я. Таким обра-