Лекции по "Алгебре"

ределяются по правилу c_tJ = a_nb_y -(-... -\-a_lnb_n]\ 7 С = АВ.

  Таким образом, для возможности умножения  двух матриц, необходимо, чтобы ширина первого матричного множителя (Л) совпадала с высотой второго матричного множителя (В) и, далее, чтобы были определены произведения элементов матрицы А на элементы матрицы В, а также были определены суммы получившихся произведений; при этом высота произведения матриц (С) совпадает с высотой первого множителя (Л), а ширина произведения (С) совпадает с шириной второго множителя (В).

  Легко устанавливаются условия применимости основных алгебраических соотношений  для введенных операций над. матрицами. Именно, для справедливости закона А + (В+С)= =(Л+В)+С для матриц достаточно (и необходимо) выполнение закона ассоциативности при сложении элементов матриц А, В, С8 для справедливости закона А + В = В-\-А достаточно предполагать коммутативность сложения элементов матриц Л, В; для справедливости законов А(ВС) = {АВ)С, А {В + С) == АВ + АС, {В + С)А = ВА + СА достаточно предположить справедливость для элементов матриц А, В, С законов ассоциативности и для сложения, и для умножения, закона коммутативности для сложения и левого, и правого законов дистрибутивности.

  Часто применяется сокращенное обозначение  через X квадратной матрицы вида

 

  Таким образом,

'X 0\ [а_п . . , я,„ \ Аа,, . .. Хя,

ХЛ =

^ка^г ■ . -Xaftn/,

. . . a_kn х/ .

  Условия справедливости соотношений вида

(Х^)Л=Х(^Л), Х(Л+£)=ХЛ-f Х£, ХЛ=ЛХ

вытекают из предыдущих соображений.

  Примеры. 1. Если — дифференцируемые функции, то по предыдущему,

\fkAt) . ..f_kn[t)) \ d/ftiU) df_k„(t) \ dt ' ' ' dt

  2. Система линейных уравнений

^а\\^х\ + • • • + а_1пх_п = b_t,

                  ащхх + . . . -f a_knx_n — b_k может быть заменена одним матричным уравнением

Vi • • • <hn\ I*"Д /

_к^ак\ • • ■ ^akn)

  Например, система линейных дифференциальных уравнений

dx_x

dt

  * Следует  заметить, что в этих двух формулах X обозначает квадратные матрицы разного размера.

²* 19

может быть записана в виде

^dt U

~dt ^{= 2x1} ~ ^3x2' dx₂

= Xi + 2*2 
 

   Теперь  будут подробнее исследованы  операции сложения и умножения матриц.

   При изучении сложения будем рассматривать матрицы, элементы которых принадлежат аддитивно записанной коммутативной группе. В этом случае, как указывалось,

Л + (В + С) = (Л + В) +С, А+В=В +Л.

Далее очевидно, что для выполнения соотношения В + Л = Л+5 = Л необходимо и достаточно, чтобы все элементы матрицы В (того же размера, что и матрица Л) были равны нулю. Матрица, все элементы которой равны нулю, нейтральна при сложени 1 матриц (того же размера); она называется нулевой матрицей и обозначается 0". По общей схеме параграфа 2 можно всегда определить обратную относительно сложения матрицу. Именно, если Л = (a_tJj, то — А = (—а_у)\ действительно, Л -J- ( — Л) = ( — А)-\-А =0.

   Единственность  обратной матрицы очевидна (следует  также из теоремы 2, 2); формулой Л — В=А +( — 5) определяется вычитание матриц (одинакового размера).

   Таким образом, множество всех матриц одинакового  какого-нибудь размера с элементами из аддитивной коммутативной группы образует также коммутативную группу относительно операции сложения матриц.

   Это замечание позволяет привести случай системы линейных уравнений к рассмотрению одного линейного уравнения.

   Действительно, пусть М, N — суть аддитивные коммутативные группы, a_tJ (i— 1 k\ / = 1, . . ., n) — линейные

операторы группы М со значениями в группе N.

   Системой  линейных уравнений называется система  вида

^ai А + . . . + Чп^хп = К

^ak\^xi f • • • + <Чгп^хп = b_k.

Решением  этой системы в группе М называется последовательность элементов группы М: а_и . . ., а„, которая при подстановке вместо соответствующих элементов последовательности х_ъ . . . , х_п обращает все уравнения в тождество.

   Пусть теперь М_п есть аддитивная группа одностолбцовых матриц высоты п с элементами из М (я-столбцы); N_k — аддитивная группа столбцов высоты k с элементами из N\

( ^aU ■ ■ ■ п \

а —    . Матрицу а можно рассматривать как опе-

V ^aki ■ ■ ^akn '

ратор, действующий на элементы М_п со значениями из N_k,

   ^х Каждом) размеру соответствует своя нулевая матрица

(а_х

если определить действие оператора а на столбец  а из М_п правилом

/ а_п . . . а_иг

а. а —  

Wi • ■ • ^акп

  Очевидно, а есть линейный оператор; полагая  х

  (h

b = I ), систему можно представить, по-предыдущему, в

виде a,x = b (be N_k).

Решение а_1; . . .,а„ системы в М можно тогда рассматривать

(аЛ

как столбец  из М_п (сформулировать, основываясь на

\а_п!

этом замечании, теорему 2, 6 для системы линейных уравнений).

  Теперь  будет изучено умножение матриц с элементами из коммутативного кольца М, содержащего единицу".

  Как следует из сделанных ранее замечаний, для таких матриц имеют место  законы

А(ВС) = (АВ)С,

А(В\-С)=АВ+АС, (В 4- С) А = В A -f С А.

  Кроме того, так как кольцо М относительно сложения образует коммутативную группу, то остаются в силе ранее указанные  свойства сложения матриц.

  Важно отметить, что умножение матриц некоммутативно. Например,

'О 1\ /1 о\ /о  о\ /1 0\ /о i\ /о г

о/ \0 0/ \0 0/, \0 0/ \0 0/ \0 О/

Пример  этот далее показывает, что ненулевые  матрицы

/о 1\ /1 0\

о о/, \о о

имеют нулевое  произведение; в этом случае они  называются соответственно левым и  правым делителями нуля'"9.

  Таким образом, множество всех квадратных матриц одинакового размера (с элементами из коммутативного кольца) образует некоммутативное (если размер матриц больше единицы) кольцо с делителями нуля.

  Теорема 3, 1. Пусть матрица А имеет высоту k, ши 
рину п и ранг г. Если г < п, то Л является левым делителем нуля; если г < k, то Л является правым делителем нуля.

  Действительно, как известно, ранг матрицы равен  количеству независимых строк и также количеству независимых столбцов матрицы. Поэтому, если, например, г < п, столбцы

             ( а_п . . . а_ш \ матрицы Л =   зависимы:

             \ ^akl • ■ ■ ^akn /

\ ) h + - • -+ (^й1'") b_n = 0 {b_x,...,b_n не нули в сово-

Wi / \a_k„}

купности).

  Но  это равносильно соотношению

 

Так же доказывается второе утверждение теоремы.

  Теорема 3,2. Если матрицы Л, В квадратные, одинакового размера, то det [AB) = det А ■ det В10.

  Доказательство  непосредственно следует из правила  умножения определителей одинакового порядка.

  Теорема эта распространяется очевидным  образом и на произведение более  чем двух матричных множителей.

  

  Непосредственно проверяется, что квадратная матрица

является  нейтральной относительно матричного ум

ножения (проверить!), (конечно, предполагается умножение слева или справа на матрицы подходящего размера).

  

  

ся только одна нейтральная матрица, именно ; эта

  Из  теоремы 2, 1 следует, что для каждого  размера имеет

матрица называется единичной и будет  обозначаться знаком 1.

  Теперь  будут исследованы условия обратимости (относительно умножения) матрицы.

  Теорема 3,3. Для того чтобы матрица Л (с элементами из коммутативного кольца с единицей) была обратима, необходимо и достаточно, чтобы матрица Л была квадратной матрицей, определитель которой является делителем единицы.

  Необходимость. Пусть матрица Л обратима, Л_х — обратная матрица (по теореме 2,2 — единственная и лево- 
и правообратная). Пусть высота Л равна k и ширина — «; если k < п, то, по теореме 3, 1, существует ненулевая матрица В такая, что АВ = 0; но тогда из А_ХА = 1 следует А₁АВ = В, 0 = 5, что приводит к противоречию.

  Если & > п, то существует матрица В Ф 0 такая, что ВА— 0, но тогда из АА_г = 1 следует ВАА_Х = В, 0 = 5, что также приводит к противоречию.

  Итак,/% = «; матрица А—квадратная, но тогда и матрица А_х — квадратная. Из 1 =Л₁Л следует 1 = det 1 = det(A_xA)~ = detA₁-det Л; таким образом, определитель Л делит единицу кольца.

  Достаточность. Пусть матрица А квадратная и определитель матрицы Л делит единицу; таким образом, (det А)"¹ содержится в кольце. Пусть, далее, а¹., есть алгебраическое дополнение элемента a_tj в матрице Л. Тогда, замечая, что сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов какой-либо строки (столбца) этого определителя равна определителю или нулю (в зависимости от совпадения или различия используемых строк или столбцов), непосредственной проверкой (проверить!) убеждаемся, что матрица

 

является обратной для матрицы