Лекции по "Алгебре"

  По-предыдущему, такое выключение нуля в требовании обратимости необходимо. Более подробно это выражается следующими требованиями. Если а, Ь,сеМ, то a -f- ЬеМ, аЬеМ; при этом a -f- (b + с) — (а + Ь) + с, а(Ьс) = (аЬ)с, а-\-Ь = Ь-\-а (соотношение ab—ba необязательно); в М содержатся элементы 0,1—а и а~¹ (при аф 0) со свойствами О-f-a = a + 0=a, 1 а = al = а, (— a) -f-а = а + ( — а) =0, = = аа~¹ = 1, а(Ьфс)—аЬ-\-ас, (Ь + с)а = Ьа + са. Если ab = = ba для любых а, ЬеМ, то поле называется коммутативным.

  П р и м е р ы.1. Множества  рациональных, действительных, комплексных чисел (относительно обычных операций сложения и умножения) являются полями и притом коммутативными. Множество целых чисел является коммутативным кольцом и не является полем (почему?).

  •2. М— множество чисел 0, 1, 2. Суммой двух таких чисел а, Ь, по определению, называется наименший положи-' тельный остаток от деления суммы а и Ь в обычном смысле на 3; так же определяется произведение а, Ь. Проверить, что при таком определении операций М является полем. Доказать, что каждый элемент аеМ обладает свойством а + а-\-а = 0.

  3. М — множество полиномов аргумента  х с коэффициентами из некоторого поля, с обычными определениями сложения и умножения полиномов. М — коммутативное кольцо (не поле).

  Определение линейных операторов. Пусть М и N■—две

различные (аддитивно записанные) коммутативные  группы.

Элемент а будет называться линейным оператором группы М, если для всякого элемента группы а определено произведение a aeN, причем для любых а, ЬеМ, а (а + Ь) — a.a-\-ab.

  Два оператора группы М равны, если для всякого элемента аеМ их действия совпадают: а = (3, если аа = |3а.

  Теорем a 2, 5.

  Для всякого линейного оператора  а, а0 = 0, а( — а) = = —- а а; вообще, а(а  ± b) = a.a ± ab.

  Действительно, а 0 = а (0 + 0) = аО + аО; следовательно, а0 = 0. Далее, 0 = а0 = а [а-\- ( — а)) = аа + а(—а); следовательно, а ( — а) = — аа. Наконец, а (а — Ь) = а а + -(- а(— = аа — лЬ. Если аа = 0, то а называют аннулято- ром а.

  Оператор  а каждому элементу аеМ ставит в соответствие определенный элемент из N; а отображает М в N.

  Обратно, пусть задано отображение а, сопоставляющее каждому элементу аеМ определенный элемент a aeN, причем сумме элементов а-\-Ь ставится в соответствие аа-\-а.Ь\ такое отображение, очевидно, является линейным оператором (обычное „геометрическое" задание оператора).

  Примеры. 1. М — группа векторов трехмерного пространства (групповая операция — векторное сложение); а — оператор параллельного проектирования на определенную плоскость (для всякого а, аа обозначает его проекцию).

  Линейность  оператора а равнозначна известной теореме о проекции суммы векторов. В этом случае за N можно принять группу векторов на плоскости.

2. АН—та же группа векторов; а — действительное число (аа определяется обычным образом). Число а является линейным оператором векторного пространства — оператором растяжения (проверить!).
3. М — группа действительных дифференцируемых функций аргумента t, определенных, например, в интервале (0,1)

(групповая  операция—сложение функций), а —  ~ — оператор

дифференцирования; для функции f(t)eM a.f (t) ■ Ли-

d

неиность  оператора равносильна известной  теореме о производной суммы дифференцируемых функций.

  Можно рассмотреть дифференциальные операторы  более общего вида

Р = ^а07?г + --- + ^ап-^+^ап, где щ, - . - —

произвольные  действительные числа; при этом, по определению,

Pf(t)=a₀^ + ...A a_n^^dM _{+ a}J(t).

Оператор  p —линейный (проверить!), применимый ко всем п раз дифференцируемым функциям.

1

  Оператор  Yj определяемый формулой ~{f(t) — J f(t)dt,

о

есть  также линейный оператор, применимый ко всем интегрируемым функциям.

  Рассмотрим  особенно важный частный случай —  линейные операторы, отображающие М в М (N = M). Для таких операторов, естественно, вводятся понятия суммы и произведения операторов.

  Оператор  у называется суммой операторов а, р, если для всякого элемента аеМ, уа = ха-\-ра; в этом случае полагаем Y = a + P- Оператор S называется произведением операторов а, р (по обозначению, S = ap), если для всякого элемента аеМ, 5a = afpa).

  Таким образом, по определению, (a + р)а = аа-\-$а и (_ар)а = а(ра).

  Соответственно  этому определению суммы и  произведения операторов вводятся нулевой (обозначается через 0) и единичный (обозначается через 1) операторы. Оператор X называется нулевым оператором, если для всякого элемента аеМ, Ха = 0 (X аннулирует все элементы); оператор [х называется единичным, если для всякого аеМ, \ia = а. Таким образом, 0а = 0, 1 а = а. Очевидно, для всякого оператора а, а -)-0 = 0 -)- а = а, 1-а = а I — ос.

  Сумма и произведение линейных операторов, нулевой и единичный операторы  являются линейными операторами. Действительно, (а + р) (а + b) = а (а 4- b) + р (а + b) — аа-\- + ab + pa + рб = аа pa + ab + pb = (а + р)а + (а + р)Ь (здесь использована коммутативность группы М); следовательно, a + р есть линейный оператор.

  Далее, (оф) (а + Ь) = a(p(a + Ь)) = a(pa + pb) = a(pa) +

  a(p^) = (ap) a 4- (^aP)^; следовательно, ap — линейный оператор.

  Линейность  нулевого и единичного операторов очевидна.

  Теорема 2,5. Множество всех линейных операторов, отображающих Жв/И, образует кольцо относительно введенных сложения и умножения операторов.

  Для доказательства следует проверить  выполнение всех свойств, характеризующих  кольцо, опираясь на определения суммы  и произведения операторов и равенства  двух операторов.

  Проведем  для примера проверку равенства (ар)у = «(Рт) (а,р_;у — операторы). Для любого элемента аеМ имеем [ («Р)_Т] а = (ар) (уа) = а [р(_Та) ] И [а(Рт) ]а = а[ (р_Т)а]=а[р(_Та)]; таким образом, [ (ар)у] а = [а(Ру)]а для всякого элемента а и, следовательно, (ар)у = а(Ру). Следует провести подобную же проверку остальных свойств, характеризующих кольцо.

  Примеры. 1. М — группа действительных функций аргумента t, определенных, например, в интервале (0,1) (групповая операция — сложение функций) н имеющих производные любого порядка.

  Рассматривая  дифференциальные операторы вида a =

    dⁿ , d = a₀ ^ + .. . + й„ как полиномы аргумента ^ определим

сумму и произведение этих операторов так  же, как сумму и произведение полиномов.

  Доказать, что определенные таким образом  сумма и произведение этих операторов согласуются с данным ранее общим определением суммы и произведения линейных операторов. Проверить, что полученное множество операторов образует кольцо относительно введенных операций и притом изоморфное кольцу полиномов одного аргумента с действительными коэффициентами.

  2. Пусть М — кольцо. Будем рассматривать  М как группу относительно  операции сложения, определенной  в кольце. Каждый элемент агМ можно рассматривать как оператор, действующий на группу М, если понимать аа(аеМ) как произведение элементов а, а из кольца М. Линейность оператора а равносильна закону дистрибутивности для операций кольца. Таким образом, кольцо М является кольцом линейных операторов для своей группы.

  Определение линейного уравнения. Уравнение вида ах — Ь называется линейным; здесь a — линейный оператор, определенный в коммутативной группе ^ (со значением в группе N), b есть элемент N. Решением этого уравнения (в р.) называется всякий элемент аец, для которого аа = Ь. В случае Ь — 0, уравнение называется однородным.

  Например, уравнение ^х =f(t) имеет бесчисленное множество решений в группе функций (см. пример 3, стр. 14), если f(t) непрерывная функция. Справедлива следующая общая теорема.

  Теорема 2,6. Сумма всякого решения неоднородного уравнения « = й и решения соответствующего однородного уравнения ах—0 есть решение неоднородного уравнения ах= = Ь. Всякое решение уравнения ах — Ь может быть представлено в виде суммы произвольного частного решения этого уравнения и некоторого решения соответствующего однородного. Вообще, если х_г — решение уравнения ах — Ь_ъ х₂ — ре 
шение уравнения ax—b₂, то х_х ± х₂— решение уравнения ах = b_x ± Ь,. Докажем сначала последнее утверждение.

  Действительно, а.(х_х ± х₂) = ах_х ± ах₂ ~ Ь_х ± Ь₂, если ах_г — Ь_х. ах₂ = Ь₂ (линейность оператора а!). Следовательно, в частности, если х_х— решение ах — Ь, и — "решение ах = 0, то х_х -f- и — решение уравнения ах = Ь. Обратно, если ^xi> ^х2 — решения уравнения ах^=Ь, то х₂— х_х = и — решение уравнения ах — 0 и, следовательно, всякое решение х₂ уравнения ах = Ь можно представить в виде ^-f-ы, где х_х — решение ах — Ь, и —решение ах = 0.

  Таким образом, если х_х — одно из решений неоднородного уравнения ах = Ь, и пробегает множество решений соответствующего однородного уравнения ах = 0, то х_х-\-и. пробегает множество решений неоднородного уравнения.

  Примеры. 1. Пусть М — трехмерное векторное пространство, а — оператор ортогонального проектирования на плоскость Р, Ь — вектор из М.

  Уравнение ах — Ь не разрешимо, если вектор Ь не параллелен плоскости Р. Пусть теперь Ь — вектор, лежащий на плоскости Р, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений вида х_х + и, где х_х — один из векторов с проекцией Ь, и — произвольный вектор, ортогональной плоскости Р (ли = 0).

  2. Пусть f\t)—непрерывная функция.

  Линейное  дифференциальное уравнение

^aoS-+ ■ ■ -+^a«* *=/{*)

имеет множество решений вида х_х + где х_х — одно из решений данного уравнения, и — произвольное решение соответствующего однородного уравнения.

Ш. МАТРИЦЫ

  Прямоугольная таблица, составленная из элементов  некоторого множества М, называется матрицей. Записывается матрица в одной из следующих форм:

аы

п

I ^ап ■ ■ ■ ^а1п

а_п . , . а_1п

Ю 1-й

\^aki ■ ■ ■ ^акп

  Две матрицы называются равными, если они  тождественны. Матрица из одного элемента отождествляется с этим элементом. Суммой двух матриц одинакового размера А — (а_{/), В = (Ь_и) называется матрица С — (a_tj + С = А + В.

Лопатинский. Основы линейной алгебры - 2 ₁₇

. аь„ 

элементы которой  оп-

называется матрица

Таким образом, для возможности сложения двух матриц необходимо, чтобы эти  матрицы имели одинаковый размер и чтобы для одинаково расположенных элементов этих матриц было определено сложение. Произведением матриц.