Лекции по "Алгебре"

  Будем предполагать теперь, что не все элементы А равны нулю; назовем главным элементом матрицы один из наименьших среди ненулевых элементов матрицы. Докажем сперва, что если главный элемент матрицы А не делит всех элементов матрицы, лежащих в той же строке или в том же столбце, то посредством конечного количества элементарных преобразований матрицу А можно привести к матрице с меньшим главным элементом.

  Прежде  всего элементарными преобразованиями 5, 6 переведем главный элемент в левый верхний угол матрицы; будем считать, что а_и — главный элемент. Пусть а_п не делит, например, элемента первой строки а_1; (J > 1); деля a_xj на а_п неполным образом, получим а₁₁ = ра_пф d, причем d ф 0 и d меньше а_п.

  Если  теперь из /'-столбца вычесть первый столбец, помноженный на р, получим матрицу с элементом d. Главный элемент этой матрицы поэтому меньше а_и. Утверждение доказано.

  Заметим, что проведенное преобразование показывает, что если а_п делит a_lJ(d= 0), то тогда можно получить элементарным преобразованием нуль на месте элемента а_Х].

  Так же доказывается (с заменой столбцов строками) наше 
утверждение в случае, если а_п не делит какой-либо элемент первого столбца.

  Пусть теперь а_п делит все элементы первой строки и первого столбца, тогда, по сделанному замечанию, можно несколькими преобразованиями 1, 2 матрицу привести к виду

О.... о'

Ь22 • • • Ь_2п

  Если а_п не делит одного из элементов то полученную матрицу также можно привести к матрице с меньшим главным элементом. Действительно, прибавляя к первой строке г-строку (преобразование 1) предыдущую матрицу приводят к виду

 

а для  этого случая возможность уменьшения главного элемента доказана.

  Так как неограниченное уменьшение главного элемента невозможно, то на основании  сделанных замечаний, после конечного количества элементарных преобразований матрицу можно привести к виду

' 0 О

О с₂2 • • • с_2п

⁰ C_k2 ■ ■ • C_kn .

причем т₁фО делит все c_tj.

  Дальнейшее  преобразование ведется над строками и столбцами, начиная со вторых; при этом, очевидно, т₁ будет делить возникающие вместо с_у- элементы.

  Предполагая теорему справедливой для матриц меньшего

₍

С₂2 • • • С_2п \

       , непосредственно

с_к1.. . c_kn j

⁰ V ••»*«,

заключаем об общей справедливости теоремы *.

  Из  доказательства теоремы видно, что  приведение матрицы к простейшему виду возможно разными путями, тем 
не менее оказывается, что матрица А однозначно, с точностью до делителей единицы, определяет величины т_и. .. ,т_г. Чтобы выяснить этот важный вопрос с полной общностью, приведем элементарные преобразования к алгебраическим действиям над матрицами (именно к умножению матриц).

  Теорема 4, 2. Если матрица В эквивалентна матрице А, то существуют такие обратимые матрицы Р, Q, что

B = PAQ16.

  Сперва  утверждение теоремы будет доказано в предположении, что матрица В может быть получена из матрицы А посредством одного элементарного преобразования.

  Пусть, например, матрица В получается в результате сложения г-строки (столбца) матрицы А и произведения р на у-строку (столбец). Пусть

 

(диагональные  элементы равны единице, элемент  г-строки, j - столбца равен р; прочие элементы — нули). Эта матрица обратима, так как det Т^(р)= 1 (теорема 3,3)17; также обратима и матрица Тр\_}(р).

  Непосредственно проверяется, что

В = Т_Ь](р)А (В= A T'_tJ (Р) )18■

Пусть теперь матрица В получается из матрицы умножением элементов г-строки (столбца) на делителя единицы.

  Положим,

 

  Так как det Т^е) = s делит единицу, то T_t(s) — обратимая матрица 19. 

  Непосредственно проверяется, что

B = Tfc)A (В = ЛГДе)).

  Наконец, пусть В получается из А перестановкой и ] = = строк (столбцов). Пусть

_/.' и),...)....U

•«),; .. Ilj)

Ui UI

det S,j — — 1; следовательно, Sy — обратимая матрица20. Непосредственно проверяется, что

В = S^A (В = А Sy).

  Таким образом, элементарное преобразование строк сводится к помножению матрицы А слева на некоторую обратимую матрицу Р; Q равно единичной матрице. При элементарных преобразованиях столбцов Р можно положить равным единичной матрице. Пусть теперь В получается из А следующей цепью элементарных преобразований: А=А ! ->• ...-»- В = Л₅ (каждая последующая) мат

рица  получается из предыдущей посредством  одного элементарного преобразования. По доказанному, Л₍ = P_iA_i^_lQ_i

(i = 2 S); здесь P_lt Q_t — обратимые матрицы, одна из

которых равна  единичной. Тогда очевидно

A_s = P_sPs-i .. .P₂A_lQ₂. . .Qs-i Q_s-

Полагая P = P_SP_S-₁... P₂, Q — Q₂... Q_s, окончательно получим

В = PAQ-,

при этом (см. теорему 2, 4) Р, Q — обратимые матрицы. Теорема доказана.

  Теперь  будет исследована связь между  свойствами произведения матриц и свойствами множителей.

  Теорема 4,3. Ранг произведения матриц не превышает рангов множителей. Общий наибольший делитель миноров какого-либо порядка" одного из матричных множителей делит общий наибольший делитель миноров того же порядка 
произведения матриц. Теорема эта будет доказана сначала для произведения двух матриц.

  Обозначим через г(Л) ранг матрицы А, через d_s(A) — общий наибольший делитель миноров порядка s матрицы А. Сначала будет доказано, что г(АВ) < г(Л), d_s(A)\d_s(AB) {А, В — произвольные матрицы с элементами из R).

  Рассмотрим  произвольный минор Д порядка s матрицы С = АВ. Для простоты будем предполагать, что минор Д составлен из элементов первых s- строк и первых «-столбцов матрицы С (благодаря возможности перенумерации это не ограничивает общности рассуждения). Таким образом, полагая ширину матрицы Л и высоту В равными п,

Д

 

 

^aV\^bJ\ 1

bjbjf

-s

b,

"j, 1 ■

Л ••-'S

 

 

Но определитель

 

матрицы Л, либо отличается от него знаком (при разных !,. . . ,j_s (либо равен нулю) среди J_x, . . .,j₅ встречаются

одинаковые  числа).

  

Д

  Таким образом, справедлива формула вида

(4, 4)

(Д1 Ai суть миноры порядка s матрицы Л, с_и . . .с_к,—

элементы  из /?)21. Аналогичные формулы справедливы для каждого минора матрицы АВ.

  При s > г(Л) все миноры порядка s матрицы Л равны нулю; следовательно, на основании (4, 4) также и все миноры порядка s матрицы АВ равны нулю; итак, г(АВ) < < г (Л).

либо есть минор  порядка s

  Так как d_s(A) делит все миноры матрицы Л, то на основании той же формулы (4,4) d_s(A) делит все миноры порядка s матрицы АВ и, следовательно, d_s(A)\d_s(AB).

  

33

  Соотношения r(AB)<r(A), d_s(A)\d_s(AB), доказаны для 
первого матричного множителя. Заметим, что, например, г(Л) = г(Л¹), d_s{A) = d_s{A') (почему?).

  Таким образом, г (В¹ А¹) < г {В¹), d/B¹) \d_s(B^lA¹)-, так как (АВ)¹ = В^А¹, то r(AB) < r{B), d_s(B) I d_s{AB).

  Распространение теоремы на случай произвольного  количества множителей легко приводится индукцией (по числу множителей).

  Следствие. Если матрицы А, В эквивалентны, то их ранги равны и общие наибольшие делители миноров одинакового порядка матриц А и В совпадают.

  На  основании теоремы 4, 2 B = PAQ, А= P~^lBQ~^l (матрицы Р, Q обратимы).

  На  основании теоремы 4, 3 из этих формул соответственно следует

г(В) < г (А), г (А) < г {В) d_s{A) | d_s(B), d_s(B) | d_s(A)-

  Таким образом, r(A) = r(B); d_s(A) и d_s(B) эквивалентны. Так как общий наибольший делитель определяется только с точностью до эквивалентности, то d_s(B) является также общим наибольшим делителем миноров порядка s матрицы А (и наоборот). Утверждение доказано.

  На  основании теоремы 4, 1, произвольная матрица А