Лекции по "Алгебре"

  Докажем, что векторы а_и ..., а_п независимы и, следовательно, образуют базис.

  Допустим  противное: пусть векторы a₁,...,a_k (&<п)

независимы, а_х a_k, зависимы, тогда a,_k+i = j-p

-}-... -\-c_ka_k и, так как a-k+i Ф 0, то не все с_ъ ..., c_k нули.

  Далее, аа_й+1 = ^ao^-f-. . . + c_kca._k, X_ft+i a_ft+1 = ^X^-l-. .-f- c_ftX_ft%_k, или, исключая a._k+г, получим: ^(Xj — Х^ц)^ -j-

-f- .. . + c_k(l_k — X_ft+1) a_k — 0 и, так как a₁₍   a_k независимы

и Х_ъ ..., X_k, Ik+i различны, — c_x — 0, . . ., c_k = 0, чт^ невозможно.

  В базисе л₁,...,л_п матрица такого преобразования имеет особенно простой „диагональный" вид

 

  Собственные числа преобразования, по самому своему определению, не зависят от выбора базиса, между тем, они определяются уравнением (5, 13), в выражении которого содержится матрица преобразования А, зависящая от выбора базиса.

  Теорема 5,6. Полином det(A — XE), соответствующий преобразованию о, не зависит от выбора базиса.

  Пусть В — матрица преобразования о относительно другого базиса: по формуле (5, 11) тогда, В = Q~¹AQ-, следовательно,

det (В — XI) — det (Q^_1 Л Q - XI) = det{Q-\A - XI) Q} = = det Q-¹ det {A-XI) det Q = det (A-XI) det (Q-^lQ)31 = = det (A-XI).

Теорема доказана.

  Полином X (X) = det (A — XI) = ( — 1)"X"4-..однозначно определяемый преобразованием а, называется характеристическим полиномом преобразования о; уравнение (5,13) называется характеристическим (иногда вековым уравнением). Матрицу Л — XI будем называть характеристической матрицей преобразования.

  Характеристическая  матрица меняется с изменением базиса. Именно, В — XI = Q¹ (Л — XI) Q. Рассматривая, однако, характеристическую матрицу как матрицу с элементами из кольца полиномов аргумента X, с коэффициентами из поля скаляров Р, на основании второго утверждения теоремы 4, 5 из равенства В — XI = Q^-1 (Л — XI) Q заключаем, что инвариантные множители и элементарные делители матриц В — XI и Л—XI попарно эквивалентны. Таким образом, инвариантные множители и элементарные делители характеристической матрицы преобразования не зависят от выбора базиса.

  В общем случае, как было указано, может и не быть собственных' векторов, во всяком случае, может не быть п независимых собственных векторов.

  Для исследования общего случая требуется  некоторое усложнение метода. Чтобы  наметить пути обобщения метода, заметим, что если a — собственный вектор, то все векторы вида са под действием преобразования а переходят в векторь! того же типа. Это приводит к важному понятию инвариантного подпространства. Подпространство G пространства Н называется инвариантным (относительно преобразования а), если о отображает G в G: для всякого вектора а е G, aaeG .

  Очевидно, собственные векторы порождают  одномерные собственные подпространства. В общем случае придется рассматривать и многомерные подпространства. Разложения пространства по базису, состоящему из собственных векторов, будут заменены разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств32.

  Если, например, Н = Н_х-\-Н₂ есть такое разложение в прямую сумму двух инвариантных подпространств, а_ь ..., a_k — •базис Н_ъ р_ь   Pfo — базис Я₂, то, как легко видеть, векторы а_и .. р₁₍ .,.,Ра₂ независимы и, следовательно, образуют базис Н. Так как Н_ъ Н₂ — инвариантные подпространства, то формулы (5, 7) будут иметь следующий вид:

а^ = а_п -(-... + ^lfc, ak_lt

aaft, = ДА,!«! + ... + eft.fci «ft,, "Pi = &11Э1 + • • • + hk,

= Ьк_й1P1 + ... + bkJh Pfts

и матрица  преобразования примет, так называемую, „ящичную" или квази-диагональную форму.

 
 

В общем  случае, если Н= Н_г + //₂ + ■■•^Jr^s ^есть разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств, вид матрицы преобразования при соответствующем выборе базиса будет следующий:

 

вне очерченных вдоль главной диагонали ящиков элементы матрицы равны нулю.

  Простейшие  инвариантные подпространства преобразования о можно строить следующим- образом. Пусть а—произвольный вектор; рассматриваем множество N¹ всех векторов вида <p(a)a, где f (a )= а₀а^к-\- ...-)- a_k есть произвольный полином преобразования а с коэффициентами из поля скаляров Р33. Легко видеть, что множество Н¹ есть инвариантное подпространство, содержащее вектор а (проверить!34). Такое подпространство будем называть элементарным подпространством, порожденным вектором «, и обозначать символом (а).

  Так как векторы а, аа, .. . о^па. зависимы (пространство И п-мерно!), то можно подобрать такие ненулевые в совокупности скаляры а₀, а_х, ..., а_п, что а₀% -f- а_хъa -(- .. a„a"a = 0.

Таким образом, существует полином с ненулевыми коэффициентами а₀ 4- fljo-)- ... + а_по^п — tp(o), удовлетворяющий условию tp(a)a = 0; такое полиномиальное преобразование ф(о) будем называть аннулятором подпространства (а).

  Как видно из предыдущего, для получения простейшего вида матрицы линейного преобразования пространство Н следовало бы представить в виде суммы инвариантных подпространств возможно малых размерностей. В этом отношении полезна следующая лемма.

  Лемма 5, 4. Пусть (а)—элементарное подпространство с аннулятором ср(о). Если аннулятор ®(а) разлагается в произведение попарно взаимно простых полиномов35 ср₁(а),... <р_т(а), <р(о)= ср_х(о) ... ср_т(о), то подпространство (а) разлагается в сумму элементарных подпространств

               (aj = («i) + ... + («»).

причем  аннулятором подпространства (а₍) является <p_f (о)

  Обозначим произведение всех полиномов (^a),..?_m(^a), кроме ср_;-(о), через <pj(a): 9(0) = cp_y.(a) • <pj(a). Пусть a_y. = cpj(o)a, тогда cp_/-(aja_y- = cp)(o)a = cp(o)a = 0: tp_y(o) есть аннулятор (aj) [i= 1 ,...,m).

  Докажем теперь, что (a) = (04) + ...+(a_OT). Заметим

что а_и   Л_т е (а) и, следовательно, (а^),. . ., (а_от) < (а) и

наконец, (04) + ... + (a_m) < (а). Далее, так как «р-Да) 

cp_m(a) попарно взаимно просты, то cpj(a),..cpJ,(o) взаимно просты; действительно, какой-либо простой делитель ®m(°) должен быть делителем только одного из <Pi(a),..., <p_m_j(a), например ^(a), и не может быть тогда делителем <pj(a). Таким образом, можно подобрать такие полиномы ф^о),..., Ф_от(°), что

Если  теперь ш(о)а—произвольный вектор из (а), то

ы(а)а = ю(а) [ф^а) ®i(a)+ ■ ■ ■ +Фт(^а) <Р«(^в)] а=ы(а) ф^о) <p}(o)a-j-

+ . .. + ш(о) ф_т(а) cpj,(e)a = ш(о) <M<>)«i + • • • + «(о) ф„(о)а_т. Отсюда следует, что

               («) С («,) + ... + (aj. Таким образом, (a) = (a_t) -f-... -(- (a_m).

Лемма доказана. Сформулируем теперь основную теорему.

  Теорема 5, 7. Матрицу линейного преобразования в комплексном векторном пространстве можно выбором базиса привести к следующему каноническому виду 

здесь T₁,...,T_S ~ квадратные матрицы -вообще различных порядков вида

7\ =

(элементы выше  диагонали и ниже прилегающей  к главной диагонали снизу  линии, равны нулю).

   Доказательство. Пусть в некотором базисе <х.₁,...,а._и преобразование а имеет матрицу

а_п .. . а_пЛ /otj \

       ; ф =A^f И

Эту формулу  можно представить в следующем  виде:

'а_п~" . . . а_гп\ (ч

= 0. (5, 14)

апх • ■ ■ Опп~" / \ ал /

Пусть R — кольцо полиномов аргумента о с коэффициентами из Р36. Так как

/а_п-« ... .а_1Л\

   det ( U_X(a)₌(-l)»a» + (-rⁱ(fl_u +

\ащ . . . апп-")

+ + • • • (5,15)

                                       Ли^-" • • ■ «1Л

есть ненулевой  полином, то ранг матрицы

                                       \ ап\ ■ ■ . апп равен п.

   По  теоремам 4, 1 и 4, 3, существуют такие  две обратимые матрицы S(a), 7\о), элементы которых являются полиномами от о, что

       =5(а) )Т(а);37

здесь (а),..., т„ (а) — инвариантные множители матрицы а_п-" ... fljn '

. Так как инвариантные множители определя-

йя1 ... апп-"/

ются с точностью  до делителей единицы, то полиномы m-fa), .. ., т_п (а) можно предполагать имеющими старшие коэффи 
циенты равными единице. Подставляя это вырджение в формулу (5, 14) и умножая слева на (а), получим

(?4i) Ш=°' Ш-'ЭД- <⁵'ⁱ⁶⁾

Следовательно,

«i(e) Pi =о.

            (5, 17)

>Пп(о) Рл = 0. '

  Часть инвариантных множителей может равняться единице. Пусть, например, m₁=... = m_t= 1; m_t+\ т_п —

непостоянные  полиномы. В этом случае формулы (5,17) показывают, что j3₁ = 0, ..., р, = 0. Обозначим, по-предыдущему, через (J3,) множество всех векторов вида <р(а)§_;. (ср(а)— произвольный полином из R). В случае, если = 0, (|З_у-)— нулевое пространство; таким образом, ..., (р,) — нулевые подпространства. Произвольный вектор из Н зависит от «1,..., а_я и на основании (5,16) зависит также от векторов вида <р(з) р_;. Таким образом, Н= (р_х) + • • • +

  Так как, по предположению, (РД. . ., (р,) — нулевые подпространства, то

Я=(Р,₊₁)+ ... + ((}„). (5,18)

Разложим  теперь, по лемме 5,4, каждое (Р_у) (j — t+1, ...,п), в свою очередь, в сумму элементарных подпространств.

  Рассмотрим  какой-либо индекс _/; пусть m_j(a)=p_l^ki(a) . . ,p_r^kr(a) — разложение полинома mj(a) на простые множители (в кольце R)_t Таким образом, р_хК (а),..., р38_Т (а) являются элементарными делителями характеристической мат-