Лекции по "Алгебре"

fsj

зом, aj a„ — базис пространства Я.

   Итак, в комплексном пространстве Я  можно выбрать базис, состоящий  из действительных векторов (действительный базис).

   Два комплексных вектора, имеющие попарно  комплексно- сопряженные координаты в каком-либо действительном ба-

to

зисе  пространства Я, комплексно сопряжены. Обратно, комплексносопряженные векторы  имеют попарно комплекс- носопряженные координаты во всяком действительном базисе.

   Действительно, если a = а₁л₁ -)- ... -)- a„a„, (а_ь . ..,а„ — действительные векторы, то a -f~ ^ai ^ai + ... -)- а_п а„ = а_х а_х + + ...-}-а„ а„ 48.

   Пусть теперь о—линейное преобразование в  действительном векторном пространстве Я. Распространим преобразование о на комплексное пространство Я, полагая a (a -)- г'Р) = = aa -j- iop (ajP — действительны).

   Очевидно, что, в частности, для действительного  вектора а (? = 0), аа = аа49.

   a — линейное преобразование пространства Я.

   Действительно, если а, р, у, 5 — действительные векторы, a, b — действительные числа, то

a (_{(a +} /р) ₊ (_{Т +} /3)) = a" ( (а + _Т) + / (р + §)) = == а(а + у) + И(Р + S) = (aa + ay) -f г'(ар -f 08) =

   = (^за + WP) + К+ и8) = 5(а + /р) + 5(_Т + й); 

a ((a -f ib) (а + гр)) = а((аа - ftp) + i(pa + ар)) = = а(аа — Ьф) 4" i°(ba. ар) = (ааос — btf) 4- i(b<3а 4" азР) = = (а 4- ib) (аа 4- wp) = (а4- г'&) а~(а 4- г'Р).

   Матрица преобразований а и а в каком-либо действительном базисе пространства Й, являющемся также и базисом Н, совпадают. Действительно, если а., а„ — действительный баЗИС Н, ТО с Xj — aa,j (j = 1,..., п).

   Поэтому в действительном базисе матрица  а также действительна. Таким образом, для преобразований а и а получаются одинаковые инвариантные множители характеристической матрицы, одинаковые характеристические многочлены, одипаковые (вообще, комплексные) собственные числа.

   

   Теорема 5, 9. Матрица линейного преобразования действительного векторного пространства может быть приведена к следующему каноническому виду

 

(места  вне „ящиков" А_г A_s заполнены нулями), причем

каждый  ящик A_k имеет или

ответствует делителю характеристической матрицы  вида (а — X_k — действительное собственное число а, %_k ука

зывает  размер ящика), или вид

 

(места  вне В_к, I заполнены нулями; такой ящик соответствует элементарному делителю вида

степень этого делителя 2%_k снова указывает размер ящика, Х'_к 4- i X"_k — недействительное собственное число преобразования о).

   

65

   Общее количество ящиков s равно количеству действительных элементарных делителей характеристической матрицы а (с учетом их повторяемости).

Лопатинский. Основы линейной алгебры — 5 

  Доказательство. Пусть а линейное преобразование действительного ве<торного пространства Н. Пусть ^(о),..., е₃(а) — элементарные делители характеристической матрицы преобразования о (учитывая их повторяемость); в действительном случае эти элементарные делители имеют вид (о—X)50 (X действительно) или вид (а² -)- аа -j- b)^x (a, b действительны, многочлен а² + а<з-\- b имеет недействительные, комплексно сопряженные корни) *.

  Тогда на основании доказательства теоремы 5, 7 получается разложение пространства Н в сумму подпространств

я = (_Т1) + ... + Ы;

при этом (у_;) — множество векторов вида <p(o)Y/, где <р(а) — произвольный полином с действительными коэффициентами и <?»т, = 0 (J = 1 s) (см. (5,18)).

  Если  еДо) = (о — X)*, то в пространстве (у_у) выбирается система образующих так же, как и при доказательстве теоремы 5, 7.

  Пусть теперь е_}(а) = (а² -|- аа + by (корни а² -j- аа -f- b, — X, X, — недействительны и сопряжены).

  Так как (у_у), есть инвариантное подпрсстранство преобразования а, то можно рассматривать а как преобразование в пространстве (у_;). Пополним (у_;) до комплексного пространства (y,); легко видеть, что (у_;) есть множество

всех  векторов вида <р(о)у_у-, где ср(о) — произвольный полином с комплексными коэффициентами (почему?). Расширим, по- предыдущему, преобразование а до преобразования ав(у_;). Введем векторы у/ = (° — и у_у" = (а — Х)^ху_у-(X, X—корни а²-J- аа-)-6); так как Y_y— действительный вектор, то векторы Y/ и y/ комплексно сопряжены, Так как X Ф X, то (а — X)¹ и (а—X)* взаимно просты. По лемме 5, 4, получим разложение (Г,) = (т/) + (т/); при ЭТОМ ("а - А)*_Т/ = (а —X)" (а - Л)'Т₇= — е₇(а) Y_y = 0 и, соответственно, (а — X)^xy/' = 0.

  В подпространствах (y/) и (y/) выбираются системы образующих по формулам (5, 20)

          5/ = (а" - Ту- > у', и §/' = (а - X)'-¹Y/ (г=1,...,ч), очевидно, 8/ и 8/' также попарно комплексно сопряжены. По формулам (5, 22), находим

          ~а 5/ =1 8/ -f В'₂, "а 8/' = ЛВ/' + 8₂".

          а~ В'₂ =~Х V + 8₃', "а 8₂" = А8₂" + 8₃",

          J В/ =1 8*' , 5 ь_х" = i 8*". 

Пусть 8/ = e/'-fiV. V — ^е/ ~ ^гД^{е г}/> ^e"r^— действительные векторы из (у,), г = 1,..., х. Так как о/,..., 8'_х, 5/',. . ..,8_Х" есть система образующих пространства (у/), то г/, ..е_хEj", ...,£*" есть также система образующих (у,-) и из-за действительности этих векторов также система образующих (у/). Полагая X = X' Л" ^и отделяя в формулах. (5,23) действительные и мнимые части, получим

V = XV + Х"_Ч" + V <V = — X"_El' + X/Et" + Е₂", ОЕ₂' = Х'Е₂' + X'V + Ез',

0£₂" = — X'V + Х'е₃" + Е₃", ^ 24)

ОЕ= — Х"Е ' + XV".

  Количество  образующих пространство (у_;-)-—2 х — равно степени соответствующего элементарного делителя (о²-)-аа -j- + на основании формулы (5, 19) заключаем, как и раньше, что совокупность образующих всех подпространств (Yi)> ■ • (тs) образует базис пространства И. Но по формулам (5, 24), образующим г/, г/',..., е/, г_х" в матрице преобразования о будет соответствовать ящик вида

 

-(it)

в-Г -ч . .

V х» X' / \

\

 

Теорема доказана.

  Пример. Пусть в некотором базисе л₁, а₂, а₃ действительного трехмерного пространства преобразование задана матрицей

     ' — 1 0—2 А == | - 2 1 - о о

  Таким образом, о = — л₁ — 2 а₂, а а₂ = а₂, аа₃ = — 2а_г — — 2a₃-j-a₃. Приведем матрицу преобразования к каноническому виду. Прежде всего приведем транспонированную характеристическую матрицу А' — ХЕ к каноническому виду элементарными преобразованиями (см. параграф 4). Как видно из доказательства теоремы 5, 7, элементарные преобразования строк матрицы А — XI можно при этом не учитывать (матрица S(a) на стр. 57, соответствующая преобразованию строк в доказательстве теоремы 5, 7, несущественна).

5* 67 
 

Поэтому следует прежде всего возможно упростить  матрицу А— XI путем преобразования строк.

Имеем

— 1 —X —2 О

 

"помножая  теперь первый столбец на —  \ и затем вычитая, после соответствующих  помножений из второго и третьего  получают

-2 —2 1-Х \ /1 О О

О 1-Х О ^ 0 1-Х о

О 0 1 —Х2/ V 0 О 1— X*

•заменяя элементарные преобразования умножением на соответствующие матрицы, получаем

 

Инвариантные  множители характеристической матрицы  равны: /ге₁(Х)=1, m₂(X)=l — X, /я₃(Х)=1 —X²; элементарные делители — X — 1, X—1, X-f-1. Поэтому каноническая форма матрицы преобразования есть

 

  Желая определить соответствующий базис, замечаем, что (в обозначениях стр. 57)

 

или = — 2 — 2 а₂ -f-(o—1)а₃ = 0, (3₂ = ^а2, ^аз = Рз- Так как аннулятор элементарного подпространства (а₃) равен ^тз(°) — (1 — О (1 + ^а)> ^т°. ^по лемме 5, 4,

                  Ы = (Тг) + (Тз), Тг = 0 + 0 ^аз — ^— — 2а₂ -(- 2а₃, у₃ = (1 — о)а₃ =2aj + 2а₂-

Итак, матрица  преобразования о принимает каноническую форму в базисе Yi — Рг — ^а2. Тг = ^— 2 х₁ — 2a₃ + 2 а₃, у₃= =2а₁-)-2а₃, или, упрощая, в базисе у/ = ^а2> Тг'—^ai + ^a2~ ^аз. ТЗ¹ = ^а1 + «2 •

VI. ЭВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

  В этом параграфе будет проведено  дальнейшее изучение действительных конечно-мерных векторных пространств.

  Недостаточность предыдущей теории состояла прежде всего в отсутствии таких важных понятий как длина вектора, угол между векторами и т. д. — так называемой, метрики пространства.

  Теперь  и будут изучены векторные  пространства с метрикой. Метрика будет нами введена посредством скалярного произведения векторов; для этого необходимо сначала познакомиться с общими свойствами билинейных форм, посредством которых и будет определяться скалярное произведение.

= ПО

по формуле (5,16)

  Пусть Н есть n-мерное действительное векторное пространство. Пусть задана функция /(£, 7j), относящая каждой последовательности двух векторов iieH действительное число, причем для любых векторов и любого

действительного числа а

/(5 + 1,0 =/(5,0 + Л⁷!, 0, /(c.S + ti) = /(с, 0 -Ь /М),