Лекции по "Алгебре"

(^т\ \

эквивалентна  матрице вида В =

V ^тг).

  Используя элементарное преобразование 5 или 6, можно  заменить любой из элементов ему эквивалентным. Элементы т_и.. . ,т_г определяются только с точностью до эквивалентности.

  Очевидно, г(В) = г\ так как mjm_i+i {i—\, . . .,r—1) то d_s{B) = m₁ . . .m_s (s=l,...,r).

  По  доказанному, d_s(B) является также и общим наибольшим делителем d_s(A) — миноров порядка s матрицы А. Таким образом, справедлива следующая теорема.

  Теорема 4, 4. Ненулевые элементы т₁, . . ,,т_г в канонической форме матрицы А однозначно, с точностью до эквивалентности, определяются матрицей А. Именно, их количество г равно рангу матрицы Au_s, определяются они по

формуле m_s = (^s= 1> • • •>^г)> полагая d₀(A) = 1.

  На  основании следствия теоремы 4, 3 элементы т_ъ.. ,,т_г не меняются при элементарных преобразованиях; их называют инвариантными (неизменными) множителями матрицы Л.

  Введем  общее понятие об элементарных делителях, существенно используемое в следующем параграфе.

  Каждый  инвариантный множитель т., не являющийся делителем единицы, разложим в произведение простых мно* жителей.

  Пусть т == гjt?*¹. . .p^%_t^l, е —делитель единицы, натуральные числа , . . ., v._t показывают кратности различных простых делителей р_ъ . . p_t.

  Каждый  элемент вида Sjр_х^у^, , . ., s_tp_t^%t , . . ., e_t — произвольные делители единицы) называется элементарным делителем матрицы Л; таким образом, элементарные делители определяются также с точностью до эквивалентности.

  Фиксируя  произвольно делители единицы е_1; . . .,s_t, рассмотрим множество всех элементарных делителей, полученных при разложении всех m_s (не являющихся делителями единицы). При разложении различных m_s могут появляться эквивалентные элементарные делители, например, ^s\ Р*¹» кратность таких повторений будет в дальнейшем учитываться.

  Докажем теперь теорему, подробно характеризующую  условия эквивалентности двух матриц.

  Теорема 4,5. Пусть матрицы Л и В имеют одинаковый размер. Следующие пять утверждений равносильны.

1. Матрицы А и В эквивалентны.
2. Существуют такие обратимые матрицы Р, Q, что B = PAQ.
3. Ранги матриц А и В равны; общие наибольшие делители миноров одинакового порядка матриц А и В попарно эквивалентны.
4. Ранги матриц Л и В равны; инвариантные множители этих матриц попарно эквивалентны.
5. Ранги матриц Л и В равны; элементарные делители матриц Л и В с учетом их повторяемости попарно эквивалентны.

  Равносильность  этих условий будем доказывать по следующей схеме:

.1

 

Здесь точками отмечены утверждения 1, 2, 3, 4, 5, стрелка- ми указано „направление" вывода: так, например, 1 2 означает доказательство, что из утверждения 1 следует утверждение 2.

  Очевидно, если будут обоснованы все выводы, отмеченные на схеме стрелками, то из каждого утверждения следует каждое другое утверждение (из каждой точки можно дойти до любой другой точки, следуя в направлении, указанном стрелками).

1. 2. Это утверждение доказано (теорема 4, 2).
2. -> 3. Это утверждение доказано (следствие теоремы 4, 3).
3. -> 4. Пусть справедливо утверждение 3:

  г(А) = г(В) = г; d_s(A), d_s(B) эквивалентны (s = 1 г).

Из формул m_s{A) = _d22^_A], m_s(B) = тогда непосред.

ственно следует эквивалентность m_s(A) и т₅(В) (s=l,...,r).

  Следовательно, утверждение 4 справедливо.

4. -> 5. Пусть r{A) = r(B), m_s(A) и tn_s(B) эквивалентны (s = 1, . . ., г). Разлагая m_s(A), m_s(B) в произведения простых множителей, заключаем о попарной эквивалентности элементарных делителей (с учетом их кратности).
5. -> 4. Пусть г(А) = г(В) и элементарные делители матриц А и В попарно (с учетом их кратности) эквивалентны. Отбрасывая для простоты делители единицы, разобьем множество (с повторениями) элементарных делителей матрицы А вида р* на подмножество элементарных делителей с одинаковыми основаниями. Запишем каждое такое подмножество в порядке невозрастания показателей (напомним, что могут встретиться повторения!). Получится следующая схема:

Pi'¹'' Pi'¹"' • • • (*1 > V > V >■■■).

      Ръ*-1 Ръ^г > • • ■ (х₂ > Х₂'> . . . ),

      Ре^е' Ре^е ' ' ' ' [У._е > 1-е >...) .

  Здесь Pi . . р_е — все различные основания элементарных делителей *. Дополним эти подмножества единицами до длины наибольшего среди них. Замечая, что m_s(A)\m_s+\{A) (s = 1, . . . г — 1), учитывая возможность определения m_s(A) только с точностью до делителей единицы (эквивалентности), легко проверить, что можно положить

т_г (Л) = р!^z' р^ ■ ■ ■ Ре^хе, ^тг-\[А) = . ■. ._р*е'.

  После аналогичного расчета, примененного к матрице В, заключаем, что можно полагать

      tn_r(A) — m_r(B), m_r-i(A) = m_r-i(B), . . . Утверждение 4 доказано. 

  4-^1. Пусть теперь r(A)=r(B), m_s(A) и m_s(B) эквивалентны (s = 1, . . ., г). Таким образом, матрица А эквивалентна

(тМ) \ (тг(В) \

I ^тгЩ I, матрица В эквивалентна I т_г[В) I.

  

  Так как m_s(A) и m_s(B) отличаются друг от друга только делителем единицы, то используя преобразование 5 (или 6),

заключаем, что матрицы

эквивалентны. Так как матрицы, эквивалентные  одной и той же матрице, эквивалентны между собой, то отсюда легко заключить, что матрицы А и В эквивалентны.

  Утверждение 1 доказано. Таким образом, доказательство теоремы 4, 5 завершено.

  Так как элементарные делители определяют инвариантные множители (см. вывод 4->5), то теорема 4,1 часто называется теоремой об элементарных делителях.

V. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

  Среди операторов, действующих на аддитивную группу векторов трехмерного пространства (операторы растяжения, проектирования), простейшими, являются операторы растяжения — умножения векторов на некоторое действительное число. Множество этих чисел образует поле (действительных чисел). Именно это обстоятельство и послужит основой дальнейшего общего определения векторного пространства.

  Пусть аддитивно записанная коммутативная  группа Н обладает множеством Р линейных операторов, отображающих Н в Н и образующих коммутативное поле, причем единица поля Р является единичным оператором. В этом случае множество Н называется векторным, или линейным пространством над полем Р; элементы Н называются векторами, элементы поля Р — скалярами

  Таким образом, в векторном пространстве определены операция сложения векторов и операция умножения вектора на скаляр, подчиняющиеся элементарным арифметическим правилам; сумма векторов и произведение скаляра на вектор являются векторами.

  Важнейшие для приложений — случаи, когда  поле операторов Р есть поле действительных чисел (действительное 
векторное пространство) или комплексных чисел (комплексное векторное пространство).

  Пример. Множество строк одинаковой длины п с элементами из коммутативного поля Р является векторным пространством над Р (сложение строк, умножение строки на элемент из Р определяются матричными правилами). Вообще, множество матриц одинакового размера с элементами из Р образуют векторное пространство над Р.

  Соотношение между векторами, выраженное посредством основных операций векторного пространства, может быть представлено в виде

«i^ai + ■ • • + = (⁵> !)

  Если  при этом не все скаляры равны  нулю, векторы а_ъ . . л_п называются линейно зависимыми.

  Если  соотношение (5, 1) для векторов а_1? ...,«„ имеет место только при нулевых а₁, . . ., а„, векторы называются линейно независимыми'.

  Нулевой вектор зависим: 1-0 = 0. Соотношение (5,1) в матричной форме можно представить, например, так (а₁...о„)х

Х^ : если векторы а_1;..., а_п независимы, то (a_v а_л)=0.

Вообще, если А—матрица со скалярными элементами и

А ( ) = 0, то из независимости векторов следует А = 0;

  \^ап/

  Лемма 5, 1. Если часть векторов а.₁, . . ., а„ зависима, то векторы а,₁ . . ., а_п также зависимы.

  Действительно, пусть, например, а₁, . ..,а_к () зависимы, a osj + . . . + a_ka_k = 0, тогда а₁а₁,... ,а_кл_к -f- 0 a^+i + -)-...-)- 0 а_л = 0 определяет зависимость векторов ,..., а_л (не все коэффициенты нули!).

  Введем  другую форму линейной зависимости. Вектор а называется линейно зависимым  от векторов а₁₍ . . ., a_k, если

можно подобрать такие скаляры а_г а_к, что а = а^ +

+ •  • ■ + а_ла_к .

если А

  Лемма 5,2. Если векторы а₁,...,л_п (д > 1) зависимы, то, по крайней мере, один из них зависит от остальных. Если вектор а„ зависит от векторов а_х, . ..,а„_i, то векторы а_х, . . ., а„_!, а_п зависимы.

  Пусть а₁,..., а_п зависимы и а₁а₁ + . .. + а„а„ = 0 зависимость, не все коэффициенты которой равны нулю. 

  Пусть, например, а_пф 0, тогда 

: Xa = X [с_ъ . .., с_п)

(с_ъ ..., с„) А' = Х(с₁₍..., с_п),

(Л-Х1)П)=0 (5,12)

\Сп !

(I — единичная  матрица порядка п).

  Так как a 4= 0, то столбец ^ ; j ненулевой, следовательно, 
 

  Корни этого уравнения определяют собственные  числа преобразования; если X — один из корней, то уравнение (5, 1-2), равносильное однородной системе п уравнений с п- неизвестными, позволяет найти ненулевые в совокупности значения координат c_lt...,c„ собственного вектора. Однако- не для всякого поля Р алгебраическое уравнение с коэффициентами из Р (5, 13) имеет корни в этом же поле, например, не всякое уравнение с действительными коэффициен- тами имеет действительные корни.

  Таким образом, преобразование о не всегда имеет собственные векторы.

  Важно, однако, отметить, что в случае комплексного векторного пространства положительной размерности всякое линейное преобразование имеет (комплексные) собственные числа и собственные векторы.

  Прежде  чем переходить к общему исследованию, рассмотрим важный частный случай.

  Пусть уравнение (5, 13) (степени п) имеет п различных корней Х^,..., Х_л ; пусть а,₁,..., а„ — соответствующие собственные векторы: аа₁ = Ха₁, .. ., оа„ = Х„а„.