Лекции по "Алгебре"

  Для ассоциативной операции можно, таким  образом, не указывать скобками порядка  производимых действий. Для такой  операции вводятся далее обычные  сокращения: если аа (или а+й) определено, то а...а = а^п (или, в аддитивной

я раз

записи, а+ • • • + а = па), определенные для целых поло-

п раз

жительных п.

  Будем называть операцию коммутативной, если для элементов а, Ь, для которых определено ab, определено также и Ьа, причем ab=ba.

  Назовем две операции (сложение и умножение) дистрибутивными справа, если из определенности ас, be и a-j- b следует определенность ас-\- be и (а + Ь)с, причем (а-\-Ь)с = = ас + Ьс\ левая дистрибутивность определяется подобным же образом.

  Особенно  часто встречается тот случай, когда операция применима к любым  двум элементам некоторого множества, причем результат оказывается элементом этого же множества 4 (сложение чисел или векторов, умножение чисел или векторное умножение векторов. Умножение числа на вектор является примером важной операции, применимой к элементам разных множеств, — множества чисел и множества векторов; скалярное умножение векторов, применимое к любым двум векторам, наоборот, дает результат, являющийся числом, а не вектором).

  Если  существует такой элемент е, что для всякого элемента а, для которого определено еа, еа — а, то элемент е называется левым нейтральным (относительно операции) элементом. Аналогично определяется правый нейтральный элемент.

  Существуют  примеры операций, допускающих несколько  левых или правых нейтральных  элементов. Однако имеет место следующая теорема.

  Теорема 2, 1. Если операция обладает левым нейтральным элементом е_г и правым нейтральным е₂ и е_хе₂ определено, то эти нейтральные элементы совпадают.

  В частности, если множество М, замкнутое  относительно операции, содержит левый  и правый нейтральные элементы, то они совпадают, и других нейтральных элементов множество не содержит.

  Действительно, е_ге₂ = е₂ (е_г — левый нейтральный элемент) и е_хе₂ = е_х (е₂ — правый нейтральный элемент); поэтому = е.

  В случае множества М, замкнутого относительно операции, это рассуждение применимо для произвольного левого или правого нейтрального элемента множества; поэтому е есть единственный левый и одновременно правый нейтральный элемент множества (такой элемент будет просто называться нейтральным). Левый или правый нейтральный элемент в случае аддитивной записи называется нулем (обозначается через 0), в случае мультипликативной записи — единицей (обозначается через 1).

  Элемент а', обладающий тем свойством, что последовательности а', а операция сопоставляет двухсторонний нейтральный элемент, называется левым обратным к а элементом; аналогично определяется правый обратный элемент. Элемент а называется в этом случае обратимым слева или справа.

  Теорема 2, 2. Если элемент а имеет левый обратный и правый обратный элементы относительно ассоциативной операции, то эти обратные элементы совпадают. В этом случае существует единственный левый (и одновременно правый) обратный а элемент.

  Элемент а называется в этом случае обратимым (без указания слева или справа).

  Действительно, пусть а_ха = е, аа₁ = е₂, где е_ъ е₂ — нейтральные элементы. Так как аа₂ определено, то (а_ха)а₂—е_ха₂ определено, следовательно,

а, = ^а, = (а,а)а_ъ — a_x{aa.^) = а_хе., = а_х.

  Таким образом, элемент а имеет единственный левый и одновременно правый обратный элемент а_г.

  В случае, если элемент а обратим, то (единственный) обратный а элемент обозначается через а^-1 (в мультипликативной записи), или — а (в аддитивной записи). Если а обратим и ab = ac или Ьа = са, то b = с (на обратимый элемент равенства можно сокращать). Действительно, из ab = ас, например, следует (ab) = а™¹ (ас) или Ь = с.

  Теорема 2, 3. Если а обратим и а^-1 есть обратный а элемент, то аг~' обратим и а является ему обратным.

  Это непосредственно следует из .соотношений (в мультипликативной записи) а^-1 а = е_ъ аа~¹=е₂5 . Таким образом, (а-¹)-¹ = а (в аддитивной записи, — (— а) — а).

  Теорема 2, 4. Если a, b обратимые элементы относительно ассоциативной операции и ab определено, то ab обратимый элемент.

  При этом (ab)—¹ = b~^l а^-1 (в аддитивной записи,—(а~\-Ь— = (-Ь) + (-а).

  По  заданию, a~^la, bb~^l, b~^lb— нейтральные эле

менты; пусть aa~^l = e₁, b~^lb=e₂. Из определения ассоциативной операции, из существования а~^]а и ab следует существование a~^l(ab) = (a~^la)b — b. Таким образом,

  е₂ = Ь-^ХЬ = й-¹ [(а-'а) b] = b-^x [a~\ab)\ ^(b^a-¹) (ab)-, точно так же, (ab) (b~^la~^l) == e_x.

  Это предложение очевидным образом  переносится на случай нескольких множителей, например, (а₁...а^)~¹ — = а_к~¹. . .а~\

  Если  a — обратимый элемент то (в мультипликативной записи) обозначение а^п распространяется на любое пелое значение п следующим образом: при п < 0, а^п = (а^-1)¹"'; при п = 0, а° = 1. Аналогично, для аддитивной записи, при п < О, ло = |и|(— а) и, при п — О, па — О.

  Очевидным образом проверяются соотношения

а^та^п = a^mf", или та -f- па = (т. + п)а;

(а^т)^п — а^тп, или п(та) = (тп)а,

тодные  при любых натуральных т, п, и. при обратимости, а также для  любых целых значений т, п.

  Наоборот, соотношение aⁿbⁿ = (ab)ⁿ, известное для чисел, справедливо, вообще говоря, только в том случае, когда элементы a, b коммутируют. Например-, если a, b обратимы, то соотношение a²b² = (aby или a²b²=abab справедливо только, если ab — ba (доказать это утверждение!).

  Пусть между элементами двух множеств и  операциями, в них определенными, можно установить взаимно однозначное соответствие так, что всякое соотношение между элементами одного множества, выраженное посредством операций, определенных в этом множестве, остается справедливым при замене в этом соотношении элементов и операций им соответствующими элементами и операциями в другом множестве. Такое взаимно однозначное соответствие представляет собой своего рода словарь, с помощью которого каждую формулу (выраженную в рассматриваемых операциях), справедливую для одного множества, можно перевести в формулу, справедливую для другого множества. В этом смысле теории этих множеств совпадают.

  Такие множества с операциями называются изоморфными.

  Пример. Пусть М — множество всех действительных чисел, рассматриваемая операция—сложение; N — множество всех положительных действительных чисел, рассматриваемая в N операция — умножение. Эти множества с операциями — изоморфны. Соответствие между их элементами устанавливается формулой у — а^х(хеМ, у eN), а — произвольно выбранное положительное число, не равное единице.

  Действительно, если х_х + х_г = х₃ и у_х = а^х% у₂ = а^х\ у_г—а^х', то у_ху₂ = Уз', взаимная однозначность очевидна. Упомянутым выше „словарем" является таблица логарифмов с основанием а.

  Теперь  будут выделены наиболее важные для  дальнейшего типы множеств с одной и двумя операциями. Эти типы множеств возникают в результате обобщения хорошо известных случаев операций над числами или векторами и в этом параграфе будут иллюстрироваться на этом материале. Простейшим типом, безусловная необходимость в котором возникает, однако, только в дальнейшем, является группа.

  Определение группы. Непустое множество, замкнутое относительно ассоциативной операции, если оно содержит нейтральный элемент и все его элементы обратимы, называется группой.

  Таким образом, для того чтобы множество М являлось группой относительно операции (в мультипликативной записи), необходимо выполнение следующих требований.

1. Для любых элементов а, ЬеМ, ab существует и принадлежит М.
2. Имеет место ассоциативность умножения: (ab)c = a (be).
3. М содержит единичный элемент 1 со свойствами

1 а — а 1 = а.

4. Каждый элемент а имеет обратный элемент а^-1 со свойством

= = 1.

Если, кроме  того, любые два элемента коммутируют (ab = Ьа для всех а, Ье\>.), то группа называется коммутативной.

  Примеры 1. Множества целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел являются коммутативными группами относительно операции сложения и не являются группами относительно операции умножения (проверить!).

2. Множества ненулевых рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел, так же, как и множества положительных рациональных чисел или положительных действительных чисел, являются коммутативными группами относительно операции умножения.
3. Множество векторов трехмерного пространства является коммутативной группой относительно векторного сложения.
4. Пусть множество М состоит из четырех функций

J _х 9 2х 1

Если  операций над функциями определяется правилом f_k =

— fefm, ^еСЛИ fk — feltfmfci) ^т0 М образует КОММуТЭТИВНуЮ

группу6.

  В коммутативной группе с мультипликативной записью операции можно определить деление или — при аддитивной

записи  — вычитание условиями или а — Ь — а-\-

+ (- *) = (- Ь) + а.

  Определение кольца. Непустое множество М, замкнутое относительно двух ассоциативных операций (одна из которых будет обозначаться аддитивно, другая мультипликативно — „сложение" и „умножение"), называется кольцом, если относительно операции сложения М есть коммутативная группа и операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности

а(Ь + с) = ab-)- ас, (b -f с)а— Ьа + са.

  Если, в частности, умножение также  коммутативно, то кольцо называется коммутативным. Более подробно это выражается следующими требованиями. Если а, ЬгМ, то а + ЬеМ, ab еМ; при этом, если сеМ, то а + (Ь -(- с)—[a -f b) + -f-c, a (be) = (ab) с, а + b — b-f- а; М содержит элемент 0 и элемент — а со свойствами

0-[-я = я + 0 = а, ( — а)-[-а = а-|-(— а) = 0;

а(& + с) =а& + ас, + с)а — Ьа са.

Для элемента X а кольца 0а = 0.

  Действительно, 0 а = (0 + 0)а = 0 а + 0 а и, следовательно, 0а = 0.

  Таким образом, если кольцо содержит и ненулевой  элемент, 0 не есть нейтральный элемент относительно умножения. В частности, если кольцо содержит единицу 1, то 0 Ф 1 и ОаФ 1 — нулевой элемент необратим относительно умножения.

  Определение поля. Множество М, содержащее не нулевые элементы и являющееся кольцом, называется полем, если М содержит нейтральный относительно умножения элемент — единицу — и каждый не нулевой элемент М обратим относительно умножения.