Лекции по "Алгебре"

Линейная  алгебра

I. ПРЕДМЕТ ЛИНЕЙНОЙ  АЛГЕБРЫ

  По  мере развития математического изучения явлений природы в математике постепенно образовались: теория линейных уравнений, теория линейных преобразований, теория квадратичных форм, алгебра векторов и, общее, тензоров. Между этими разделами были обнаружены тесные связи, и это, естественно, привело к созданию объединяющей эти разделы системы — линейной алгебры.

  В этом параграфе будут в общих  чертах описаны содержание этих отдельных частей линейной алгебры и их взаимная связь.

  Линейные  уравнения являются особо часто  встречающимся, важным типом уравнений, так как при решении уравнений нелинейных иногда приходится заменять их, в первом приближении, более простыми для решения уравнениями линейными („линеаризация" уравнений).

  Пример. Для приближенного определения решения уравнения f(x) = 0 (f (x) действительная, непрерывно дифференцируемая функция), заведомо близкого к числу а, можно поступать так: по теореме о среднем значении /(х) = f(a) -f- + (х — a)f{a + 0 {х — а)) (0 в ^ 1), но /(а + 6 (х — а)) % ~ /Н^а) (^ПР^И малом д:— а), и уравнение /(х) = 0 приближенно заменяется линейным уравнением /(a) -j- (х — а) р{а) = 0. Геометрически это соответствует замене графика функции f(x) касательной в точке {a, f(a)) (метод касательных Ньютона). При повторении этого метода (используя вместо а найденное из f{a) + (х — a)f{a) = 0 первое приближение), вообще, получают более точное приближение.

  В общем курсе алгебры проведено  исследование системы линейных уравнений, основанное на теории определителей

Яц-*! + • • • + а_хпх_п = г>1

(1.1)

a_klx_Y + . . . + a_knx_n = b_k

в произвольном поле.

  При исследовании кривых и поверхностей второго порядка, а также при  определении экстремума функции  нескольких переменных приходится изучать  квадратичные формы

^j^ajk^xj^xk ■

fk

  Как известно из аналитической геометрии, для такого изучения, формы посредством  преобразования координат приводятся к каноническому виду.

  Преобразование  координат является линейным преобразованием, которое в общем случае может быть представлено системой линейных уравнений вида

Ух  — ^а\\^х\ + • • • ^а\п^хп,

       (1,2)

Уп = «»й + • ■ • а_ппх_п.

  Такое линейное преобразование полностью  определяется своей матрицей

 

  При исследовании линейных преобразований возникает разложение их на более  простые. Так, например, преобразование на плоскости

У' = (Р + ^cos ?) ^xi + sin <р х_ь у₂ = — sin <р х_х + (р + cos <р) х_%

может быть разложено на два преобразования:

У\—9^хи У'[ = coscp^! + sintp лг₂,

¹ И ¹

у₂ = р^х2 ■ у" = — sin9х_х + costpx₂.

Первое  из них соответствует уменьшению масштаба в р раз, второе — повороту осей на угол ф (при переходе от координат (х_х, х₂) к координатам (у\, у'₂), {у\, у\)). Исходное преобразование естественно назвать суммой этих элементарных преобразований.

  Вторым  основным действием над преобразованиями является их последовательное применение. Рассматривая вместе с (1,2) последующее преобразование

^z= b_nlyi + . . . + b_nny_n> 
 

легко замечают, исключая _у_ь . . у_П) что

          — Cni-^i-f- • • • + ^спп^хп,

где „

          9А = Yi ^hj^e(lek U,k = \,.. .,п).

e = l

  Таким образом, результатом такого последовательного  применения линейных преобразований является также линейное преобразование, называемое их произведением.

  Действия  над преобразованиями можно заменить соответствующими действиями над их матрицами. Так вводится понятие суммы двух матриц и их произведения, определяемые правилами

где

а_и . . . а_1п \ [ b_n. . . b_ln \ / а_п + bjj. . .Д]„ -(- ь_1п

          Ь_п\ ■ ■ ■ b_пп J у а_пх -)- Ь_пг.. ,а_пп 4- b_nn ^ Ьп • ■ • b_ln \ / д_и . . . а_гп \ / с_п . . . с_1п

          ^ й_п\ . . . й_пп J У С_п 1 . . ,с_п

          п

          Cjk = Yi ^bj *^а<>ь 0'. k = 1, .. ,,п).

е=Х

  В результате возникает важная вспомогательная  теория- алгебра матриц.

  Понятие линейного преобразования по-иному возникло в теории упругости. При деформации сплошного тела каждая точка [х, у, z) переходит в новое положение (х¹, у¹, z¹), определяемое точкой (x,y,z); таким образом, х¹, у\ z¹ являются функциями х, у, z: х¹ = / [х, у, z), у¹ =g{x, у, z), z^l — h (х, у, z). При этом меняются не только направления, но и длины отрезков, соединяющих две каких-либо точки: именно вектор (pi,p₂,pз)> соединяющий точки [x,y,z) и (х, у, z) переходит в вектор (q_lt q₂, <7₃). соединяющий точки

(/ (х,у, г), g (х, у, г), h (х, у, z)) и (/(*, у, 7), g (х, J, z), h (х, у, 7)).

  Связь между составляющими этих векторов и характеризует деформацию. Очевидно

4x-f[x, ~y.lt- /[х, у, z) = (х—х) fx{x,y,z) + (7__y)/J(jf. У. 2) + + (г- z) fl [х, у, z) + г, 

где £  в случае непрерывности первых производных функций / [х, у, z) — малая высшего порядка сравнительно с расстоянием между точками (х,у, г), {х, у, z).

  Таким образом, для малых расстояний приближенно (линеаризация!)

Ч\ = <hiPi + «12Р2 + a_np_s [а_п = f\ (х, у, z),a_n=f^l_y (х, у, z), а_п =/j (х, у, г)) и таким же образом

q₂ = a_2lfi + а₂₂р₂ + а₂₃р₃, Чз = «31Р1 + ^aSiP2 + ^аззPi-

  Получается  соотношение, подобное (1,2), представляющее связь между положением вектора  до деформации и после деформации и годное для достаточно малых  векторов.

  Развитие  механики привело к введению понятия  вектора и операциям над векторами (сложению и умножению векторов, умножению скаляра на вектор) — векторной алгебре и в дальнейшем —к понятию линейного или векторного пространства.

  Это понятие линейного пространства и служит основой объединения разрозненных результатов, упоминавшихся ранее.

  Действительно, понятие линейного преобразования, как показывает предыдущий пример, естественно рассматривать как  линейное преобразование в векторном  пространстве, линейные уравнения, тесно связанные с линейными преобразованиями, как уравнения в векторном пространстве. Квадратичные формы также включаются в эту теорию при метризации пространства (при определении длины вектора).

  Итак, линейная алгебра является теорией  линейных пространств. Линейные уравнения, преобразования (также и квадратичные формы) определяются своими матрицами. Таким образом, основной частью линейной алгебры является теория матриц.

  При тесной связи между собой различных  отделов математики неудивительно, что закономерности, изучаемые в линейной алгебре, имеют различные приложения, например, в теории дифференциальных уравнений (линейных). Но это создает необходимость изучения линейных пространств достаточно общего вида, определяемых в дальнейшем аксиоматически.

  Эти соображения определяют следующее  построение дальнейшего изложения. После общего изучения алгебраических операций, необходимого для дальнейшего, рассматриваются основные факты теории матриц и затем исследуются линейные пространства, начиная с более общих и кончая метрическими. 

II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

  В параграфе I указывались алгебраические операции над матрицами. Прежде всего  для дальнейшего необходимо уточнить понятие операции.

  Простейшими видами алгебраических операций являются сложение и умножение чисел. Однако встречаются и другие операции, близкие по своим свойствам к этим элементарным, например, сложение векторов, умножение числа на вектор. Операции, рассматриваемые в алгебре, характеризуются обычно тем, что такая операция последовательности двух предметов a, b (вообще разной природы) ставит в соответствие определенный третий предмет с. Например, числу 5 и вектору b ставит в соответствие вектор 5 Ь, получаемый удлинением b в пять раз; двум векторам a, b ставит в соответствие вектор а + Ь, который строится по векторам a, b по правилу параллелограмма, и т. д.

  Но  алгебраические операции, кроме того, предполагаются обладающими некоторыми свойствами, сходными со свойствами сложения и умножения чисел, например, ассоциативностью, коммутативностью и т. д. Вот почему алгебраические операции обычно называются сложением или умножением, и для их обозначения используются знаки, употребляемые при сложении или умножении чисел, например, с — а-\-Ь (аддитивная запись) или c=ab (мультипликативная запись)

  Вот основные свойства, встречающиеся у  алгебраических операций (в аддитивной и мультипликативной записи):

[а  + b) + с = а + (Ь + с) или (ab)c = a{bc) (ассоциативность);

а + ь = b + а или ab = Ьа 1 (коммутативность).

 Важно отметить, что алгебраические операции могут и не обладать одним из этих свойств или даже обоими. Например, для векторного умножения векторов не удовлетворяются ни условия ассоциативности, ни коммутативности2.

В широком  классе случаев встречается применение двух разных операций, обычно связанных между собой законом дистрибутивности, — именно при подходящем обозначении этих операций, — одной как сложения, другой как умножения—имеют место законы

(а + Ь) с = ас + be и с (а + b) = са + cb 3 (дистрибутивность, правая или левая).

  При исследованиях общего характера приходится иметь дело с операциями, применимыми не к двум конкретным элементам, а к некоторому их множеству; так сложение применимо к любым двум числам или к любым двум векторам.

  Будем называть операцию ассоциативной, если имеют место следующие свойства (в мультипликативной записи): если ab определено, то (ab)c определено тогда и только тогда, если be определено; если be определено, то a (be) определено тогда и только тогда, если ab определено; если ab и be определены, то (ab) с = a (be).