Лекции по "Алгебре"

  Разобьем  собственные числа на классы чисел, равных между собой. Заметим, что  так как |\,-| = 1 [J — 1,...,п), то действительные собственные числа з равны -j-1 или—1; так как о — продолжение преобразования а в действительном пространстве, то недействительные собственные числа попарно сопряжены.

  Пусть, например, X₁=... = X_ft=l; Х_й+1 = .. . = Х_г = — 1; Х/+1 = . .. = li_+r = X' -j- iX", X;_+r+i = . . . = Х/₊2л = X' —• iX" [X" Ф 0) — типические такие классы, кое-какие из которых могут и отсутствовать.

  Как это следует из доказательства теоремы 5,9, собственные векторы г₁,...,г_к, s_k+1,...,в_г, соответствующие действительным собственным числам, можно выбрать действительными; ортонормированные комплексные векторы s_I+i,..., &i_+r и si+r+i,..., zi+ir, соответствующие комплексно-сопряженным собственным числам, можно выбрать попарно комплексно-сопряженными: £r₊i = e_;+r+1 е_г+г = в[₊₂г.

  Действительно, если ei+i . У^же выбраны, то из

  = V* ^бУД^ет следовать аг_к = Х_кг_к.

  Таким образом, для собственного числа X' — iX" можно ввести в базис Й векторы s_;+i,..., е_г^>-; _из (s_ft, е_г)

будет следовать ортонормированность  e/₊i,..., si_+r (если г_г+1,..., s_[+r ортонормированы).

  Все это мы и будем предполагать в  дальнейшем. Полагая X' = COS Cf, X" = sin ср (|X'+tX"(= И), е,+1 = eVi+

-j- is." 1 + 1, ... , Zi_+r= s' 1 _{+ г}-{- is" l _{+ r}[zi_+r+i = в'_г+1 + ... , Zl + 2r =

= t'i_+r — iz"i_+r), мы можем выбрать за базис пространства

Н векторы  Sj,..., е_к,   г,, е'_м , г"₁₊₁,..., e'_t+r, г"_1+г,...

В этом базисе матрица преобразования о  имеет вид (6,19) (см. формулы (5,22).

  Далее, из ортонормированности s_lt...,z_n (b Й) следует ортонормированность е₁ в_к,..., г_;.

  Далее, например, 0= (г_1; e^i) = Ц, г'г+1 + ts"_l+i) = = (sj, г'г+i) ■— i (gj, e"_l+i) и, следовательно,

(e_lf s'i+i) = 0 (е_1; e"j+i) = 0.

  Остается  рассмотреть нормы векторов типа г', е" и их попарную ортогональность.

  Пусть e. = t'_p-\-U"_p, = + ^два разных, соответствующих одинаковым или разным недействительным собственным числам Х_р, Хд, собственных вектора.

  Так как базис , ..., е^ортонормирован, то [в_р, в_р) = 0 Далее, по подбору базиса в_д есть также один т базисных векторов, поэтому (е^, г ) = 1, если t_q — t_p, (t_p,e_q)=0, если £„¥=£„. В первом случае из (е г„) = 0, (в г ) = 1 заключаем, ЧТО (e'_p,s'_p)-(s"_p, s"_p)-2i(s'_p,s"_p)=0, (s'_p,e'_p) +

  Отсюда следует, что [в'_р, в'_р) = (в"_р, в"_р) = ^

и {ъ'_р,Ур) = о.

  Таким образом,

|e',| = |«%l = y=". (6,20)

Во втором случае из (е_р, e₉j=0, (в_р, в₉) = 0 получаем

К, + e"J + i е',) - (е'_р1 в"_ч) j = 0,

(^£V - + i \(z"_P, + (е',, = 0.

Отсюда следует, что (е'„, е' ) = (е" в" ) = (в"₀, в' ) = = р,

  Таким образом, векторы базиса ,..., в_к,..., в₁,.. г'i+i, в"i+i,... пространства Н попарно ортогональны. Помножая векторы вида г', г" на У 2, на основании (6,20) получаем ортонормированный базис. Теорема доказана.

  Пример. Матрица ортогонального преобразования в трехмерном действительном эвклидовом пространстве* имеет в ортонормированном базисе одну из следующих канонических форм:

Очевидно, эти шесть форм сводятся к двум следующим:

О

sin tf ;

О cos tf — sin tf _vO sin <p cos f,

- 1 о

О cos о О sin <р

о

1 О о

COS tf/

остальные формы  получаются при ср = 0 и ср = тс.

  Это показывает, что всякое ортогональное  преобразование представляет собою вращение около оси, проходящей через 0, на угол ср (первый случай), или вращение около оси на угол ср с последующим отражением в плоскости, проходящей через 0 и перпендикулярной к оси вращения (второй случай).

  "^1!'¹ ' ■ "