Электростатика

Ëåêöèÿ 23.                          Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå

Äëÿ ëþáîé îïðåäåëåííîé íà ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå

 

, ãäå - àìïëèòóäà, à - íà÷àëüíàÿ ôàçà 

Íàïðèìåð ôóíêöèÿ íà ðèñóíêå 1 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì ðÿäîì Ôóðüå (ðèñóíîê 2) 

- ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå â èíòåãðàëüíîé ôîðìå

Íàïèøåì îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå â “îáû÷íîé” èíòåãðàëüíîé ôîðìå

  -  cos ñîñòàâëÿþùàÿ àìïëèòóäû ÷àñòîòû

- sin ñîñòàâëÿþùàÿ

Ñìûñë îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñîñòîèò â “íàêîïëåíèè” ñóììû -  åñëè â ñèãíàëå ( ) êàêàÿ-ëèáî ÷àñòîòà “ïðèñóòñòâóåò” òî ñóììà áóäåò íàêàïëèâàòüñÿ. 

Ïðåäñòàâèì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå â êîìïëåêñíîì âèäå:

  - ïðÿìîå;   - îáðàòíîå,

ãäå - îðèãèíàë ; - Ôóðüå îáðàç.  

(çàìå÷ó, ÷òî çäåñü íèæíèé ïðåäåë ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ äåéñòâèòåëüíî , à íå 0) 

Êðàòêîå ïîÿñíåíèå ê àëãåáðå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.

- àëãåáð. ôîðìà;  - òðèãîíîìåòð.; - ïîêàçàòåëüíàÿ.

; ; ;  .

;    ;   ;   . 

;   ;   ;   . 

Èñõîäÿ èç âûøåèçëîæåííîãî ìîæíî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ:

Äîêàæåì ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå

Áåðåì íåêîòîðûé ðÿä Ôóðüå , òîãäà ïîäñòàâèâ â ïðåäûäóùóþ ô-ëó

,  (ïîñëåäíåå èñõîäÿ èç )  -  ÏÏÔ äîêàçàíî. Äîêàæåì îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå

, òê  

, , òîãäà

  -  ÎÏÔ äîêàçàíî. 
 

Ðåøåíèå ñèñòåì äèô. óð-íèé ïëîñêîé ý/ì âîëíû îáùåãî âèäà ñïåêòðàëüíûì ìåòîäîì Ôóðüå

 

,ãäå    - òå ôóíêöèè êîîðä. è âðåìåíè 
 

Ëþáóþ ôó-þ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà Ôóðüå ïðåäñòàâèì è

,     -   êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû

- íàäî îïðåäåëèòü â ïðîöåññå ðåøåíèÿ.

Ïîäñòàâëÿÿ êîìïëåêñíûé ñïåêòðàëüíûé èíòåãðàë â äèôô óð-å âîëíû èìååì 

Òàêèì îáðàçîè ìû ïîëó÷èëè .

Ðàçáåðåì äàëåå íåêîòîðûå âàæíûå ñëó÷àè: 
Ñëó÷àé À   - -  èäåàëüíûé äèýëåêòðèê

 

óìíîæèì íà  
 

     .

òê         -  äèñïåðñèîííîå óð-å (ïðèìå÷àíèå: ) 

òê

 

òî ìû ïîëó÷èëè ðåøåíèå äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëÿ:

, ãäå