Электростатика

1.9 Свойства равновесного  распределения зарядов  в проводнике. 

, так как  (то есть постоянно), то получаем:

Свойство  № 1: в проводнике .

Свойство  № 2: внутри проводника при равновесном распределении нет никаких электрических зарядов.

Рассмотри в объеме теорему Гаусса. . Так как .

Так как тело заряжено, следовательно, заряд равновесно распределен  по его поверхности. 
 

Свойство  № 3: вектор напряженности электрического поля заряженного проводника перпендикулярен его поверхности. , где -вектор внешней нормали. Так как , то (так как ), но . 
 
 
 
 
 

Пример:

 это верно при .

Эквипотенциальная поверхность – это поверхность, где работа по перемещению заряда равна нулю. 
 
 
 
 
 

. Пояснение:  так как , так как . . 
 
 
 
 

1.10 Сведения из векторного  анализа. 

Пусть – скалярное поле, а – векторное поле, тогда

3. ; ; – угол между векторами и .

4. ; – градиент

5.  –дивергенция

6.  – ротор

Выражение для дивергенции  в декартовой системе  координат.

. Поток через  грань 2 равен  . Поток через грань 1 равен . Поток через грани 1 и 2 вместе взятые составляет соответственно . Здесь – значение , усредненное по грани 1, а – значение , усредненное по грани 2. Если устремить к нулю, то оно преобразуется в , что в свою очередь равно . Следовательно, окончательно получится следующее: . В данном выражении берется в точке М. Аналогично рассуждая, получаем, что и . Окончательно получаем . Из этого следует, что . Легко видеть, что – эта формула фактически является формулировкой теоремы Гаусса-Остроградского, которую мы доказали прямо перед ней.

Выражение для ротора в декартовой системе координат.

. – циркуляция вектора по контуру с. – произвольная поверхность, натянутая на контур с. Найдем циркуляцию вектора . Для поиска циркуляции вводят нормаль по правому винту. _{.Минуспередроторомздесьпотомучто .Совершенноаналогичномыполучаем,что и .То,чтомысейчасделалиявляется,фактически,доказательствомтеоремыСтокса:}**

Замечания и  примеры.

1. Так как * EMBED Equation.3  *** и * EMBED Equation.3  ***следовательно получаем:* EMBED Equation.3  ***–дифференциальная формулировка теоремы Гаусса.
2. * EMBED Equation.3  ***, но * EMBED Equation.3  ***, следовательно * EMBED Equation.3  ***. Так как работа электрических сил по замкнутому контуру = 0, то * EMBED Equation.3  *** и следовательно выражение * EMBED Equation.3  *** является условием потенциальности электростатического поля.