Электростатика

Имеем закон полного тока в интегральной форме или в дифф. форме . Получим этот закон из 2-го фундам. св-ва Максвелла : (взяли div от обеих частей). «Очень формально» запишем (т. к то ; т.к , ) . ,

  Ю Ю

4. Система уравнений (великого) Максвелла. Материальные соотношения

по 3 скалярных уравнения

Первый столбец- уравнения в интегральной форме, второй- в дифференциальной . Это не просто уравнения, а система уравнений, описывающих ЭМ поле. Итого имеем 8 скалярных уравнений с 12 переменными.

Т.к уравнения описывают ЭМ поле в материальной среде, необходимо добавить к ним материальные соотношения       ,       ,            Теперь имеем 17 скал. ур-й с 12 неизв. Для полного счастья добавим еще ур-е непрерывности . Итого 18 ур-й с 16 неизвестными.

Покажем, что система уравнений может быть полностью замкнута и представлена в виде математ. задачи Коши (т. е. дифф. ур.+ начальные условия). Установим, что (4) - следствие (2), а (3)- следствие (1)

Итак, (взяли div от (1)) Ю Ю , т.к (из физики) Ю при t=0 Юур-е (3) явл. начальным . условием. для (1)

Аналогично берем div от (2) ур-я Ю . Сопоставляя это ур-е с  , получаем

Ю . Т.к Юпри t=0 Ю ур-е (4) явл. начальным условием. для (2)

В итоге получена задача Коши для - 15 скал. ур-й с 15 неизвестными

   при начальных данных : 

   при этом

5. Теорема о сохранении энергии Э/М поля (Пойнтинга)

Объемная плотность энергии ЭМ поля :

Энергия . Т.к Ю имеются тепловые потери, их мощность .  

или (ЗСЭ в интегральной форме) . При Ю (ЗСЭ в дифф. форме). Найдем физический смысл вектора :

. Т.к. и Ю

. Т.к (св-во rot)Ю Ю

. Сравнивая с Ю - вектор Пойнтинга.

Замечание. Аналогично теорема о сохранении импульса ЭМ поля была доказана великим Максвеллом :

-вектор импульса.