Развитие математических способностей учащихся в основной школе

       Задача 2.1. Докажите, что если от произвольного двузначного числа отнять двузначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то получится число  кратное девяти.

       Самая первая кодировка, с которой знакомятся школьники в процессе обучения математике, — это десятичная (позиционная) запись натуральных чисел. Если — исходное число, то , а число, «записанное теми же цифрами в обратном порядке», равно , поэтому их разность кратна девяти.

       Задача 2.2. Вычислите

       

       Это число равно двум! Действительно, если положить   ,   то получим выражение (а + 1)(а + 2) - а(а + 3) = а² +3а + 2 - а² - За = 2 вне зависимости от значения переменной а.

       Конечно, тот же результат может быть получен, если записать каждую из входящих в данное выражение дробей в виде

        

и раскрыть скобки. При таком способе решения  еще придется увидеть (не используя  калькулятор), что 1997∙1998 -1996 ∙1999 = 2.

       Самое время сказать несколько слов о роли калькуляторов в обучении математике. Если он имеется у каждого учащегося в классе, то бессмысленно предлагать подобную единичную задачу; ясно, что ее математическое содержание останется нераскрытым. Необходимо дать несколько примеров, в каждом из которых ответ - 2, с тем, чтобы затем «разгадать загадку».

       Задача 2.3. Проверьте, что

                                                                                                        (2)

и найдите еще несколько  подобных примеров.

       Проверить это равенство легко, труднее найти аналогичные. Конечно, кто-то может сразу догадаться, что 8 = 3² - 1, и написать равенство

                                                                                                    (3)

справедливость которого тоже очевидна. Однако, как и в предыдущем примере, основная идея - это введение замен (подстановок). Запишем равенство

       

       Его частными случаями являются равенства (2) и (3). В результате мы построили  своего рода модель. Все что осталось сделать, — это исследовать ее, т.е. найти соотношение между а и b, при выполнении которого справедливо наше обобщенное равенство. А для этого надо провести простые преобразования:

        ,   или   ,   откуда  .

       3. Классификация и  систематизация

       Классификация — общепознавательный прием, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы) в соответствии с так называемым основанием классификации, т.е. признаком, существенным для рассматриваемых объектов. Систематизация - это объединение объектов или знаний о них путем выявления существенных связей между ними, установление порядка между частями целого на основе определенного закона, правила или принципа.

       Как писал У.У.Сойер: «Математика —  это классификация и изучение всех возможных закономерностей». Однако навыки в проведении классификации и систематизации необходимы далеко не только математикам, но инженерам и врачам, юристам и экономистам, менеджерам и т.д.

       В математике часто встречается  дихотомия, т.е. разбиение множества на два подмножества. Действительно, натуральные числа разделяются на простые и составные, действительные числа - на рациональные и иррационачьные, а иногда на алгебраические и трансцендентные. Целые числа можно различать по их остаткам при делении на какое-то число и т.д. и т.п. Естественнее всего классификация появляется при решении комбинаторных задач, однако наша первая задача из другой темы.

       Задача 3.1. Может ли быть верным равенство .     

И если да, то когда?

       Часто встречается такой ответ: «Данное равенство верно в том случае, когда числа а и b имеют разные знаки». Ответ не является полным, поскольку в нем ничего не говорится о том случае, когда одно из этих чисел обращается в ноль. Здесь допущена распространенная ошибка, которая заключается в неполноте проведенной классификации. В данном случае следует учитывать, что кроме положительных и отрицательных чисел, существует еще и ноль. Правильный ответ: при ab ≤  0.

       Задача 3.2. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске (в соответствии с правилами шахмат) белого и черного королей?

Ответ:  4 ∙ (64 - 4) + 24 ∙ (64 - 6) + 36 ∙ (64 - 9) = 3612 способами.

       Введем  систематизацию, различая случаи расположения одного из королей, например, черного. Именно, если черный король находится в одной из четырех угловых клеток, то, значит, имеется 64 - 4 = 60 возможностей для расположения белого короля. Если черный король стоит на краю доски, но не в углу (таких клеток 24), то имеются 58 вариантов для белого короля (из 64 клеток он не имеет права занимать саму клетку черного короля и еше 5 соседних, т.е. имеющих с ней общую сторону или вершину.) В оставшихся 36 случаях белый король может стоять на любой из 55 клеток, поскольку для него запрещены 8 клеток, соседствующих с клеткой черного короля, и сама эта клетка, т.е. 64 — 9 = 55.

       Задача 3.3. Сколько различных (с точностью до положения в пространстве) каркасов треугольные пирамид можно составить, имея

1. зеленые и красные стержни длиной по 20 см каждый?
2. стержни длиной в 10  и  20 см?

       Давайте составим таблицу, систематизирующую пирамиды по числу, например, зеленых стержней

       Действительно, все пирамиды с одним зеленым  ребром являются одинаковыми. Если зеленых  рёбер два, то они могут быть либо смежными, либо скрещивающимися, поэтому в соответствующем месте стоит число «2». Но не кажется ли странным число «4» в средней клетке этой таблицы? Ведь три зеленых стержня могут:

а) выходить из одной вершины;

б) образовывать треугольник;

в) образовывать незамкнутую пространственную ломаную.

       Однако  в последнем случае имеются две  различные конфигурации, так сказать, правая и левая. На рис. изображены обе эти конфигурации, причем зеленые стержни обозначены толстыми линиями.

       

       Таким образом, при помощи чисто комбинаторных рассуждений находим ответ: можно составить 12 пирамид.

       Что можно сразу сказать о задаче пункта 2), так это то, что число  вариантов не может быть большим, чем в случае 1), поскольку все  равно, как различать ребра пирамиды: по цвету или же по длине — так что основания классификации одинаковы. Другое дело, что различаются сами множества пирамид, поскольку, к примеру, пирамиды, в одной из граней которой имеются два ребра длиной 10 см и одно — 20 см, не существует. В частности, аналогичная таблица не будет симметрична! Ответ: 5 различных пирамид.

       Указанный в этом разделе подход к преподаванию математики может быть использован в школах различного профиля. И вполне возможно, что чем более, так сказать, гуманитарной является школа, тем сильнее следует подчеркивать нематематическую сторону дела, т.е. то, что методы и подходы, применяемые при решении конкретных математических задач, имеют чрезвычайно общий характер и связаны с процессом формирования и развития качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования в современном обществе.

       2.2.2. Развитие математических  способностей на  внеклассных занятиях.

       Внеурочные  занятия по математике решают целый  комплекс задач по углубленному математическому  образованию, развитию индивидуальных способностей ученика, максимальному удовлетворению их интересов и потребностей.

       Почему  ученик занимается математикой вне  занятий? В младшем возрасте это  интерес к математике как любимому предмету, в среднем и старшем  – это либо интерес к математике как науке, либо профессионально-ориентационный интерес, связанный с предполагаемой послешкольной деятельностью.

       Среди задач, которые можно решать на внеклассных  занятиях выделяются две категории внеучебных задач.

       Первая категория. Задачи типа математических развлечений (занимательные задачи). По поводу этой категории Б.Л. Кордемский [11] пишет: «Первая категория внеучебных задач (очень пестрая по содержанию) прямого отношения к школьной программе не имеет и, как правило, не предполагает большой математической подготовки. Сюда входят задачи различной степени трудности и, прежде всего, начальные упражнения из цикла внешкольных упражнений, развивающих математическую инициативу, т. е. упражнения, предназначенные для тех, кто делает лишь первые шаги в мир математической смекалки.

       Вторая категория. Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности.

       Рассмотрим  каждую категорию отдельно.

       Занимательные задачи.

       Занимательные задачи в большинстве случаев  содержат сюжет, доступный и понятный учащимся на начальных стадиях изучения математики. В структуре этих задач заложено проявление и развитие, например, таких параметров математических способностей, как догадка, смекалка, сообразительность, любопытство, любознательность и т. п.

       В практике школы не предусмотрено  решение задач занимательного характера непосредственно на уроке (нет прямого указания в программе, нет рекомендаций в методической литературе, отсутствует соответствующий материал в учебниках), в то время как для большинства людей, интересующихся математикой, первые живые впечатления от этой науки связываются с задачами или целыми книгами «развлекательного» плана. Задачи занимательного характера могут служить прекрасным способом вызывать у учащихся интерес к изучению математики.

       Учитывая  многообразие различного рода увлекательных, шутливых задач, для обеспечения целенаправленного и эффективного их использования необходима некоторая классификация занимательных задач.

       Остановимся на классификации, предложенной одним из специалистов в области занимательных задач, Б.Л. Кордемским [10]. Заметим, что классификация ведётся согласно операционно-тематическому принципу - по сюжетам в сочетании с группами однородных операций - действий, применяемых для решения задач, объединенных темой. Согласно этому принципу выделяют следующие задачи:

1. «Затруднительные положения» (сюжетный стержень: 
   физические действия, выполнение которых затруднено, но может быть осуществлено средствами математической смекалки).
2. «Геометрия на спичках» (сюжетный стержень: конструирование из спичек моделей фигур).
3. «Семь раз примерь, один раз отрежь» (сюжетный стержень: преобразование фигур при помощи перекраивания).
4. «Умение везде найдет применение» (сюжетный стержень: элементарно-технические и практические вопросы, решение которых требует участия математической мысли).
5. «С алгеброй и без нее» (сюжетный стержень безразличен, операционный стержень: алгебраический путь решения или любой иной, но всегда есть некоторая «изюминка» или в самом способе, или в сопоставлении способов решения).
6. «Математика почти без вычислений» (операционный стержень: действий почти нет, но для решения нужны искусные рассуждения).

       Примеры занимательных задач будут содержаться  в базе данных.

       Особое  значение имеют задачи, которые принято называть логическими. Основную, главную роль при решении таких задач играет правильное построение цепочки точных, иногда очень тонких, рассуждений. Термин «логическая задача» в методической литературе недостаточно четко определен. В большинстве случаев логическими задачами называют те, для решения которых необходимо лишь логическое мышление и не требуется математических выкладок. Поэтому их можно использовать для работы с учащимися различных классов без явной связи с материалом, изучаемым по школьной программе. Важно, что многие из задач такого рода носят занимательный характер. К сожалению, задач подобного рода практически нет на страницах школьных задачников. Их можно найти только в сборниках и книгах занимательного характера.