Развитие математических способностей учащихся в основной школе

       За  последние годы сформировался еще  один подход к понятию «способности», который называют функционально-генетическим (В.Д. Шадриков, Е.П. Ильин и др.).

       Одной из отличительных черт функционально-генетического подхода к рассмотрению проблемы способностей является признание их генетической обусловленности, врожденности. В.Д. Шадриков [29] определяет способности как «свойства функциональных систем, реализующих отдельные психические функции, которые имеют индивидуальную меру выраженности, проявляющуюся в успешности и качественном своеобразии освоения и реализации отдельных психических функций».

       Широко  известно высказывание Б.М. Теплова: «Способности не существуют до деятельности». В.Д. Шадриков указал на внутреннюю противоречивость этого высказывания: «Если способности не существуют до деятельности, то в деятельности использовать их нельзя, а если способности не только используются в деятельности, но и развиваются в ней, то они существуют до деятельности».

       Следует отметить, что указанные два подхода, по мнению психологов, не противоречат друг другу, а, скорее, их дополняют.

       1.1.2. Общие и специальные  способности

       Сложным и не до конца решенным в психологии является вопрос о соотношении общих и специальных способностей.

       По  диапазону видов деятельности, успех  которых обеспечивают те или иные способности, последние подразделяются на общие и специальные.

       Крутецкий [12] под общими умственными способностями  понимает такие способности, которые необходимы для выполнения не какой-то одной, а многих видов деятельности. К общим умственным способностям автор относит, например, такие качества ума, как умственная активность, критичность, систематичность, быстрота умственной ориентировки, высокий уровень аналитико-синтетической деятельности, сосредоточенное внимание. Специальные способности - это способности, которые необходимы для успешного выполнения какой-нибудь одной определенной деятельности - музыкальной, изобразительной, математической, литературной, конструктивно-технической и т.п.

       С.Л. Рубинштейн [19] рассматривал взаимоотношение  общей одаренности и специальных способностей: «Специальные способности определяются в отношении к отдельным специальным областям деятельности. Внутри тех или иных способностей проявляется общая одаренность индивида, соотнесенная с более общими условиями ведущих форм человеческой деятельности».

       В этом утверждении есть важная мысль, что общую одаренность надо искать «внутри» специальной одаренности.

       Каждый  из учебных предметов в школе (физика, история, физкультура и т. д.) требует наряду с более общими способностями некоторых специальных способностей, обусловленных своеобразием этого предмета. Для успешного выполнения каждой деятельности необходимы и более общие и более специальные способности.

       В.Г. Ананьев пишет, что «специальные способности связаны как генетически, так и структурно с одаренностью, а одаренность конкретно проявляется в специальных способностях и развивается в них. Это очевидное положение приходится подчеркивать, так как за последнее время в психологической литературе проявляется тенденция свести всю проблему к изучению специальных способностей, фактически игнорируя явление общей одаренности».

       В.А. Крутецкий [12] так говорит о специальных способностях: «Задача всестороннего развития способностей, как нам кажется, должна дополняться не менее важной задачей выявления  тех детей, которые обнаруживают особые склонности и способности к отдельным видам деятельности (математике, технике, литературе и т. д.) и предоставления им возможностей для дальнейшего развития в этом направлении. Иначе говоря необходимо ориентироваться на такой подход в обучении, который, реализуя всестороннее развитие способностей каждого, одновременно максимально содействует росту способностей к тем видам деятельности в обучении, в которых ученик показывает наибольшие успехи и удовлетворяет наибольший интерес».

       1.1.3. Способности и  задатки

       В исследовании проблемы способностей есть один очень сложный, интересный и загадочный вопрос: каково происхождение способностей? Психологи ведут по этому поводу многолетние дискуссии. Они связаны с понятием задатков. По поводу задатков можно прочитать многое. Вслед за Б.М. Тепловым [25] следует считать, что задатки, талант — это врожденные качества, и их наличие означает, что при прочих равных условиях они значительно облегчают формирование способностей, помогают раньше их выявить и успешно развивать; на базе различных по структуре задатков могут сформироваться сходные способности и, наоборот, на базе сходных задатков — разные способности и т. д. С.Л. Рубинштейн [19] писал: «Во всех случаях мы разумеем «врожденность» не самих способностей, а лежащих в основе их развития задатков».

       Психолог  Л.А. Венгер [2] ставит эти идеи под  сомнение: «Дети рождаются не одинаковыми. Уже в первые недели их жизни обнаруживаются различия в их возбудимости, активности, в быстроте и устойчивости реакций на внешние воздействия. У младенцев наблюдается разный темп развития движения, неодинаковое воздействие оказывают на них одни и те же внешние впечатления. Беда, однако, заключается в том, что еще никому не удавалось установить связь между индивидуальными особенностями младенцев и последующим развитием их способностей. Предположение о задатках — пока что простое умозаключение, вытекающее из того, что в ходе обучения и развития способностей заметна разница между детьми и что у некоторых детей легче формируются, например, математические, у других — литературные способности». В конце Л.А. Венгер пишет: «Окончательное разрешение спора о задатках принадлежит будущему. Пока ясно одно: способности, достаточные для усвоения всех предметов школьной программы, плодотворного творческого труда в самых различных (если и не во всех) областях производства, науки, искусства, могут быть сформированы у любого здорового ребенка». Вот почему можно утверждать, что определенный уровень математических способностей присущ каждому школьнику. Необходимо только понимать, что эти уровни существуют, уметь их выявлять и развивать.

        Руководствуясь соображениями здравого смысла, соотношение способностей человека может быть представлено диаграммой, которая напоминает круги Эйлера. Здесь очень важно пересечение всех трех кругов — именно оно определяет основные личностные качества человека, уровень его сформированности. Естественно, сколько людей, столько и возможных пересечений как всех кругов, так и каждой пары.  Заметим, что радиусы кругов, естественно, различны и могут в какой-то степени иллюстрировать наличие тех или иных способностей (если научиться их измерять).

       Выводы.

       Итак  под способностями следует понимать индивидуально-психологические свойства личности, которые реализуются специализированными  функциональными системами головного  мозга и которые при благоприятных  условиях  в наибольшей мере определяют успешность освоения и продуктивность выполнения какой-либо деятельности или ряда деятельностей. Специальные и общие способности имеют общий фундамент — задатки (природные способности). Куда «пойдут» эти задатки — в общую развитость человека или в какую-нибудь область специальной деятельности — зависит от очень многих факторов воспитания и развития. Во всяком случае ясно, что не существует какого-либо вида способностей отдельно, т. е. нет специальных способностей без развитых общих и наоборот. Способности – понятие динамическое. Они не только проявляются и существуют в деятельности, они в деятельности создаются, в деятельности и развиваются. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Раздел 2.  Математические способности.

       1.2.1. Исследование математических способностей в зарубежной психологии.

       В исследование математических способностей внесли свой вклад такие яркие  представители определенных направлений  в психологии, как А.Бинэ, Э.Трондайк  и  Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А.Пуанкаре и Ж. Адамар.

       Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе  к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических  обобщениях.

       Единственное, в чем сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

       Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о  врожденности или приобретенности математических способностей. Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей – «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство – творческие способности ученого-математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи высказываются не столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов – биологического потенциала и среды.

       Основным  вопросом в исследовании математических способностей (как учебных, так и  творческих) за рубежом был и остается вопрос о сущности этого сложного психологического образования. В этом плане можно выделить три важные проблемы.

       1.      Проблема специфичности математических способностей. Существуют ли собственно математические способности как специфическое образование, отличное от категории общего интеллекта? Или математические способности есть качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Иначе говоря, можно ли утверждать, что математическая одаренность – это не что иное, как общий интеллект плюс интерес к математике и склонность заниматься ею?

       2.      Проблема структурности математических способностей. Является ли математическая одаренность унитарным (единым неразложимым) или интегральным (сложным) свойством? В последнем случае можно ставить вопрос о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного психического образования.

       3.      Проблема типологических различий в математических способностях. Существуют ли различные типы математической одаренности или при одной и той же основе имеют место различия только в интересах и склонностях к тем или иным разделам математики?

       По  вопросу о специфике математических способностей, хотя и нельзя констатировать наличие единого мнения, но большинство ученых, среди которых такие крупные авторитеты в области психологии, как А. Бинэ, Г. Ревеш, и в области математики, как Ж. Адамар и А. Пуанкаре, явно склоняются в пользу признания специфичности математического таланта. А. Бинэ прямо и недвусмысленно указывал на то, что «математический ум предполагает совершенно специальную способность». А. Пуанкаре  и впоследствии Ж. Адамар  говорили о специфике мышления математика, о своеобразной, свойственной математикам «математической интуиции», о подсознательной творческой работе. Хотя Адамар и отмечал, что математическая одаренность и математическое творчество как-то связаны с общим интеллектом, творчеством вообще (упоминая в этом отношении о фактах связи математической одаренности с одаренностью в других областях), но он же указывал на частые случаи «ограниченности» математического ума. Ревеш высказывает убеждение в том, что математический талант есть специфическая форма таланта, которую необходимо отличать от других форм научного таланта. Математический талант может проявляться вместе с другими талантами, но он органически не связан с ними; таланты к другим наукам возможны без математической способности и даже при абсолютном отсутствии последней.

       Вопрос  о структурности математических учебных способностей принимал у психологов прежде всего форму вопроса о том, нужно ли говорить о математических способностях как об едином свойстве или правильнее говорить об арифметических, алгебраических и геометрических способностях. Еще в 1909—1910 гг. К. Стоун и независимо от него С. Куртис, изучая достижения в арифметике и способности к этому предмету, пришли к выводу о том, что едва ли можно говорить о математических способностях как об едином целом, даже в отношении арифметики. В 1910 г. была опубликована большая статья В. Брауна «Объективное исследование математических способностей», в которой говорилось, что успешность в алгебре и геометрии определяется качественно различными свойствами и что нет свойства, которое лежало бы в основе математических способностей вообще. Исследований по выявлению компонент математических способностей проводилось большое количество, но они не дают более или менее ясного и четкого представления о структуре математических способностей. Для примера приведу результаты исследования структуры математического мышления, проводимого В. Хаекером и Т. Цигеном. Авторы прежде всего выделили четыре основных сложных компонента, составляющие «ядро» математического мышления: пространственный, логический, числовой и символический. Дальше они попытались каждый из этих компонентов разложить на более простые составляющие. Получилась такая схема:

       A. Пространственный компонент.

1. Понимание пространственных фигур, образов и их комплексов (синтезов, гештальтов).
2. Память на пространственные   образы   (пространственные 
   представления).
3. Пространственные абстракции (умение видеть у пространственных объектов общие признаки).
4. Пространственное   комбинирование   (понимание   и   самостоятельное  нахождение  связей  и   отношений   пространственных объектов).

       B. Логический компонент.

1. Образование понятий (типа «синус», «логарифм», «тензор» 
   и т. д.) и понятийных абстракций.
2. Понимание, запоминание и самостоятельное нахождение 
   общих понятийных связей.
3. Понимание,   запоминание   и   самостоятельное   выведение 
   заключений   и   доказательств  по  правилам  формальной 
   логики.

       C. Числовой компонент.