Развитие математических способностей учащихся в основной школе

1. Образование числовых представлений.
2. Память на числа, числовые решения.

       D. Символический компонент.

1. Понимание символов.
2. Запоминание символов.
3. Операции с символами.

       Обобщая результаты большинства исследований, мы получим самые общие характеристики математического мышления, такие, как способность к абстракции, способность к логическому рассуждению, хорошая память, способность к пространственным представлениям и т. д.

       Перейдём  к вопросу о типологии математических способностей. Наиболее распространенной в зарубежной психологии является типология математических талантов, основанная на противопоставлении дискурсивного, развернутого во всех своих звеньях мыслительного процесса, интуитивному мыслительному процессу, связанному с непосредственным «схватыванием» необходимых отношений. Еще Р. Декарт в своих «Правилах для руководства ума» противопоставлял цепи последовательных логических умозаключений интуицию как непосредственное усмотрение связей и отношений между различными явлениями. Ж. Адамар говорит о логическом и интуитивном математическом мышлении (и соответственно о двух типах математиков). «Логика» отличает значительно меньший «удельный вес» бессознательного в мышлении, более узко направленная мысль, последовательность и ясная расчлененность мыслительного процесса. Мышление «интуитивиста» характеризуется значительно большим удельным весом бессознательного, более «рассеянной» мыслью, быстротой и сокращённостью («свернутостью») мыслительного процесса.

       Интересен взгляд западных учёных на сущность математического  творчества. В работах А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Г. Ревеша встречаются следующие  идеи. Ход мыслительного процесса ученого может осознаваться не во всех своих звеньях. Ученому свойственно не только «развернутое» дискурсивное мышление, но и так называемое интуитивное мышление, протекающее в сокращенном, «свернутом» виде. Оно усматривает или открывает существенные связи раньше, чем дискурсивное мышление успеет доказать их соответствие действительности. Это часто и воспринимается как бессознательная творческая работа. Можно установить определенные стадии творческого процесса: 1) период бесплодного сознательного обдумывания; 2) период отвлечения от работы, период отдыха или переключения на другую деятельность. В это время активно работает подсознательное мышление, происходит «инкубация» идеи; 3) внезапное «озарение», открытие истины в тот момент, когда человек меньше всего думает о предмете; 4) снова сознательная работа над анализом и отшлифовкой идеи.

       1.2.2. Исследование проблемы математических  способностей в отечественной  психологии.

       Свои  взгляды на природу и сущность математических способностей или математического мышления высказывали многие математики и методисты.

       Одним из первых отечественных авторов, затрагивающих  проблему математических способностей, был русский математик Д.Д. Мордухай-Болтовский. Основные мысли о математическом творчестве он изложил в оригинальной статье «Психология математического мышления». Автор предлагает следующий перечень компонентов, в совокупности образующих математические способности: «Хорошая математическая способность предполагает сильную память и причем главным образом на предмет того типа, с которым имеет дело математика»; «остроумие», т. е. способность «обнимать умом зараз два совершенно разнородных предмета»; «быстрота мысли», которую автор связал с «бессознательным мышлением». Д.Д. Мордухай-Болтовский отметил различие двух типов воображения: абстрактного у «алгебраистов» и более конкретного у «геометров».

       А.Я. Хинчин [26] указывал следующие черты  математического мышления: 1) доминирование  логической схемы рассуждений, 2) лаконизм (стремление находить кратчайший путь к цели), 3) четкое расчленение хода рассуждений, 4) точность (каждый математический символ имеет строго  
определенное значение).

       А.Н. Колмогоров в работе «О профессии  математика» указывал, что способности  к механическому запоминанию большого числа фактов, формул,  складывание и перемножение в уме длинных рядов многозначных чисел не имеют отношения к математическим способностям. Он отмечал, что различные стороны математических  способностей встречаются в разных комбинациях, что эти способности проявляются обычно рано и требуют непрерывного упражнения. К математическим способностям А.Н. Колмогоров относил: 1) способность умелого преобразования буквенных выражений, нахождения удачных путей для решений уравнений, не подходящих под стандартные правила, или, как принято называть у математиков, «вычислительные или алгоритмические способности»; 2) геометрическое воображение или «геометрическую интуицию»; 3) искусство последовательного правильно расчлененного логического рассуждения.

       Б.В. Гнеденко [6] выделяет следующие свойства математического мышления: 1) способность улавливать нечеткость рассуждения, отсутствие необходимых звеньев доказательства; 2) привычку к полноценной логической аргументации; 3) четкую расчлененность хода рассуждений; 4) лаконизм; 5) точность символики.

       С.И. Шварцбурд считал, что главным элементом математического воспитания следует признать воспитание творческой деятельности учащихся, и выделял компоненты «математического развития», которые рассматриваются в методической литературе: развитие пространственного представления; умение отделить существенное от несущественного; умение абстрагировать; умение абстрактно мыслить; умение от конкретной ситуации перейти к математической формулировке вопроса, к схеме, сжато характеризующей существо дела; обладание навыками дедуктивного мышления; умение анализировать, разбирать частные случаи; применение научных выводов на конкретном материале; умение критиковать и ставить новые вопросы; владение достаточно развитой математической речью, как письменной, так и устной; обладание достаточным терпением при решении математических задач.

       Самое значительное исследование психологов по данной проблеме принадлежит В.А. Крутецкому и изложено в его книге «Психология математических способностей школьников». В. А. Крутецкий даёт следующее определение математическим способностям: "Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики". Собранный В. А. Крутецким материал позволил ему выстроить следующую общую схему структуры математических способностей  в школьном возрасте.

       1.  Получение математической информации.

       1)  Способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.

       2.  Переработка математической информации.

       1)  Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

       2)  Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

       3)  Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

       4)  Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

       5)  Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

       6)  Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).

       3.  Хранение математической информации.

       1)  Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).

       4.  Общий синтетический компонент.

       1)  Математическая направленность ума.

       Выделенные  компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей  совокупности единую систему, целостную  структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.

       Не  входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие  которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они  являются нейтральными по отношению  к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре  (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

       1.  Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.

       2.  Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме).

       3.  Память на цифры, числа, формулы.

       4.  Способность к пространственным представлениям.

       5.  Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.  
 

       1.2.3.  Классификация математических  способностей.

       Исходя  из всего вышесказанного и основываясь  на компонентах (параметрах) математических способностей, выявленных математиками, педагогами и психологами в нашей  стране и за рубежом, проведу систематизацию этих параметров предложенную В.А. Гусевым в его работе «Психолого-педагогические основы обучения математике».

       Классифицируя составляющие математических способностей, автор пришёл к выводу, что прежде всего их можно распределить по двум основным блокам: в первый блок входят общие характеристики мышления или умственной деятельности (формулировки этих качеств личности формально не связаны ни с какой специальной математической деятельностью);  ко второму блоку относятся параметры математических способностей, непосредственно связанные с математической деятельностью учащихся. Совершенно ясно, что эти параметры следует идентифицировать по уровню их сложности, продвинутости и т. д. Отмечу при этом, что все составляющие взяты автором из соответствующих исследований, выполненных к настоящему времени.

       Итак, рассмотрим один из возможных вариантов  классификации составляющих (параметров) математических способностей учащихся (см. Приложение 1).

       Оценивая  предложенную классификацию параметров математических способностей, можно сделать следующие выводы.

1. Отличительной чертой данной классификации является ее направленность на целостное формирование личности каждого школьника, и в этой связи ее многогранность.
2. Бросается в глаза большое пересечение указанных параметров с общими целями обучения математике, сложность этих взаимосвязей. Важно отметить, что фундаментом во всем этом многообразии являются мыслительные процессы, это выдвигает на первый план процессы формирования приемов мыслительной деятельности.
3. Построенная классификация играет немаловажную роль 
   в диагностике параметров математических способностей учащихся и позволяет дифференцировать их по уровням владения теми или иными приемами мыслительной деятельности.
4. Особенно важно, что здесь выделяются некоторые врожденные параметры (задатки), о которых нам известно немногое.

       Выводы.

      Под математическими способностями  следует понимать специальные особые способности, которые необходимы для  успешного выполнения математической деятельности. Математические способности являются не единым образованием, а имеют сложную многогранную структуру. Успешность математической деятельности зависит не от отдельно взятой способности, а от комплекса способностей. Математическая одарённость предполагает наличие определённых природных предпосылок и проявляется только в творческой деятельности. Однако не следует забывать, что каждый человек (ученик) обладает в определенной мере математическими способностями. Оценить и развить эти способности — задача педагогов.