Развитие математических способностей учащихся в основной школе

       Свой  обычный, ни в коей мере не ускоренный тип развития Колмогоров рассматривал как неслучайный и принципиальный для развития творческих способностей и несколько скептически относился  к так называемым «вундеркиндам».

       А.Н. Колмогоров уже тогда, тридцать лет  назад, видел опасность, которая  сейчас стала очевидной для большинства  психологов, работающих в области  одаренности. Он весьма скептически  относился к тому, что по выражению  Н.С. Лейтеса, относится только к «возрастной одаренности». Колмогоров в переписке с Крутецким пишет, что «мы теряем много медленно развивающихся потенциально крупных талантов» [29]. И далее еще жестче - « в последние годы эта опасность сильно возросла при развившемся ажиотаже вокруг «одаренности» и особенно математической».  Ускоренное прохождение школьной программы, вообще ускоренное развитие, которое много лет является чуть ли не главным критерием высоких способностей, по мнению Колмогорова, мало о чем свидетельствует. 

       Именно  потому для всех, кто работает с  одаренными детьми- математиками, он ставит следующие вопросы:

       1. «в каком возрасте можно, независимо  от тренированности и различий  в физиологически обусловленных  темпах развития уловить хотя  бы в первом приближении математические способности…

       2. в каком возрасте форсированное  развитие задатков математического  мышления уже реально влияет  на достижение «потолка» способностей». 

       Оба этих вопроса в другом месте –  в ответах на анкету - формулируются  им с почти максимальной степенью четкости:  
«сейчас дело идет о выявлении математически одаренных детей с целью организованного форсирования их математических занятий. Следует решить не вопрос о том, когда это возможно, а когда это целесообразно (подчеркнуто А.Н. Колмогоровым)».

       Такую постановку вопроса он дополняет  личным опытом, весьма уместным, имея в  виду масштаб его математического  дарования: « что касается лично  меня, то я думаю, что ни я сам, ни математическая наука ничего не потеряли из–за того, что задача «выявления» (кавычки Колмогорова) моих математических способностей была предоставлена мне самому. Я начал систематически дополнительно заниматься математикой в возрасте 15-16 лет, когда сам решил, что это серьезное и нужное дело».

       Есть  и другая точка зрения, которой следуют многие наши педагоги и даже психологи - специалисты по одаренности. Они считают, что чем раньше развивать специальные способности, тем лучше. (Кстати, и В.А. Крутецкий, в переписке с которым Андрей Николаевич обозначил эти мысли, судя по монографии, считал возможным и необходимым ранние специализированные занятия с одаренными к математике детьми.) Если иметь в виду последние физиологические и психофизиологические исследования о сензитивных периодах развития, с одной стороны, и исследования о закономерностях развития общих способностей, с другой, то приходится признать, что позиция, представленная выдающимся математиком, психологически значительно больше обоснована, чем бытующая в ряде школ система раннего интенсивного и специализированного обучения одаренных детей.

       Как считает Колмогоров, «до 10-12 лет - с  довольно хорошим успехом заменим  общим воспитанием сообразительности  и умственной активности». « Весьма желательны», - пишет Колмогоров,- и  внешкольные занятия - типа математических кружков, но в них « следует по возможности избегать установки на предопределение будущих профессиональных интересов» [9].

       Другое  дело старшие классы, где «запоздание  с усвоением строгой логики и  специальных математических навыков  в 14-15 лет делается уже трудно восполнимым».

       Уже тогда, тридцать лет назад, Колмогоров четко определяет для себя разницу  между высокими способностями к  изучению математики, с одной стороны, и собственно творческими способностями  в этой области, с другой.

       По  мысли Колмогорова, чтобы стать  творческим математиком, нужно, во-первых, сохранять, культивировать у себя своего рода «детское мышление». По мнению А.Н. Колмогорова, способности к математическому творчеству у человека тем выше, чем на более ранней стадии общечеловеческого развития он остановился. Самый гениальный наш математик: (судя по всему, имеется в виду Гаусс),- говорил А.Н. Колмогоров, остановился в возрасте четырех-пяти лет, когда «дети любят отрывать ножки и крылышки насекомым». Себя А.Н. Колмогоров считал «остановившимся на уровне тринадцати лет, когда мальчишки очень любознательны и интересуются всем на свете, но взрослые интересы их еще не отвлекают». 

       Самодиагноз Андрея Николаевича с психологической  точки зрения безупречен. Если учесть невероятную широту «посторонних»  научных интересов математика Колмогорова - от гидродинамики до поведения в русской речи падежа, знать его литературные вкусы - от Евтушенко до Томаса Манна и Ахматовой, его культ дружбы и то особое место, которое в его жизни занимал спорт, то в этом случае возникает именно образ типичнейшего подростка. Но у Колмогорова есть еще одно условие для развития математической интуиции, необходимой для творчества. Впрочем, это условие некоторым образом связано с первым. Это обязательные для любого творческого ученого интересы, выходящие за рамки его профессии – прежде всего интересы в искусстве и литературе. (Конечно, в этом отношении Колмогоров не одинок. А. Эйнштейн много раз писал, что «Достоевский дает ему очень много, гораздо больше, чем Гаусс»).

       Особое  значение для Колмогорова имела музыка. Он считал, что «между математическим творчеством и настоящим интересом к музыке имеются какие-то глубокие связи». Далее он ссылается на своего друга, П.С. Александрова, у которого «каждое направление математической мысли, тема для творческих размышлений связывались с тем или иным конкретным музыкальным произведением». Решая вопрос, стоит ли брать какого-то студента или аспиранта в ученики, Колмогоров всегда принимал во внимание его нематематические, общекультурные интересы.

       Следует отметить, что современные психофизиологические исследования подтвердили особую связь музыки и математики. Так, именно у выдающихся математиков и музыкантов были обнаружены так называемые «гармоники», т.е. особые биоэлектрические показатели, определенным образом возникающие в ответ на стимуляцию мозга.

       Обобщая выше сказанное, можно сделать следующие  выводы:

       1. По мнению Колмогорова, ускоренное («вундеркиндное») развитие не  только не обязательно для  достижения в будущем высокого  профессионального (творческого) уровня, но в большей степени чревато возможностью неудач и даже психических отклонений. При диагностике математических способностей у детей категорически нельзя ориентироваться на темп развития и обучения.

       2. Великий математик считал, что  недопустима ранняя специализация способностей. Лишь с расцвета подросткового возраста (с 12-13 лет) можно начинать расширенное и углубленное обучение математике.

       3. Для развития творческих способностей  к математике, считает Колмогоров, необходимо выйти за пределы  самой математики и развивать у ребенка, подростка или юноши общекультурные интересы, в частности, интерес к искусству (прежде всего - музыке) и поэзии.

       В заключение хотелось бы добавить, что в способных детях таланты развиваются только в результате самостоятельной умственной работы, привычки преодолевать разные трудности. Такие условия дает самообучение и разумное одиночное обучение, не обучающее, но ободряющее и завлекающее. Полная самостоятельность в посильных вопросах, и своевременное разъяснение учителя в вопросах, превышающих силы ученика, способствуют развитию и воспитанию таланта.

       Выводы.

       Процесс развития математических способностей учащихся требует от учителя большого профессионализма. Для обеспечения  эффективности своей деятельности педагог должен владеть разнообразными методами обучения, использовать в своей работе многочисленные приёмы и средства обучения. Его деятельность должна быть направлена на развитие самостоятельности и творческого потенциала в учениках. Поэтому для успешного осуществления своей деятельности учитель нуждается в разнообразных методических пособиях и рекомендациях, в обмене педагогическим опытом с другими учителями. В следующем разделе будут рассмотрены конкретные рекомендации по организации процесса развития математических способностей на уроке и внеклассных занятиях. 
 
 

       Раздел 2. Частная методика.

       2.2.1. Развитие математических  способностей на  уроках математики.

       В подавляющем большинстве учебников  и дидактических пособий для средней школы практически отсутствуют задачи, которые способствовали бы подготовке учеников к деятельности творческого характера и формированию у них соответствующих математических способностей. Математические знания учащихся слишком часто оказываются формальными и невостребованными, у основной массы учащихся не формируется разумный подход к поиску способа решения незнакомых задач.

       Поэтому на уроках математики необходимо более  активно заниматься развитием навыков  в применении общих форм математической деятельности, таких, как:

• использование известных алгоритмов, формул, процедур;
• кодирование, преобразование, интерпретация:
• классификация и систематизация;
• правдоподобные рассуждения;
• выдвижение и проверка гипотез, доказательство и опровержение;
• разработка алгоритмов.

       В данном разделе будут рассмотрены  задачи разного уровня сложности, решение которых способствует развитию у учащихся навыков в использовании некоторых из выделенных выше общих форм математической деятельности.

1. Использование известных  алгоритмов, формул, процедур.

       К сожалению, в преподавании математики в российской школе по-прежнему доминирует формальный подход, связанный с отработкой конкретных методов решений. Существует такой тезис: «Если учащемуся предлагают упражнения только одного типа, выполнение каждого из них сводится к одной и той же операции, если эту операцию не приходится выбирать среди сходных и условия, данные в упражнении, не являются для учащегося непривычными и он уверен в безошибочности своих действий, то учащийся перестает задумываться об их обоснованности». Этот тезис можно подкрепить описанием следующей психолого-дидактической закономерности: последовательность рассуждений (А, В, С ..... М), повторяющаяся при решении однотипных задач, может свертываться до составной ассоциации (А, М). Однако обратный процесс — развертывание — происходит без потерь не у всех учащихся.

       Этот  эффект хорошо известен составителям вариантов вступительных экзаменов в высшие учебные заведения: какова бы ни была по сути проста задача, но если ее решение предполагает использование двух различных (хотя бы и известных) алгоритмов или же если в нем должно содержаться некоторое исследование (к примеру, по параметру), то массовые ошибки неизбежны. Более того, ошибки часто появляются и в том случае, если алгоритм используется в ситуации, в которой он неприменим.

       Задача 1.1. Решите систему

       

       Решение этой задачи, как нетрудно видеть, сводится к цепочке простых логических рассуждений и использованию стандартных формул. Однако для того, чтобы получить правильный ответ, эти стандартные формулы следует правильно использовать. Не приводя ответ полностью, выпишем одну из четырех серий решений

                                                       (1)

       К сожалению, слишком многие учащиеся бездумно отождествляют параметры k и n и вместо серии (1) пишут, что

       

упуская тем  самым, условно говоря, большую часть  решений этой серии.

       Задача 1.2. Некоторое число умножили на 3, а затем к полученному произведению прибавили 2. Верно ли, что полученное число больше исходного?

       Ясно, что За + 2 > а только при а > - 1, но какой процент, к примеру, семиклассников сразу даст верный ответ?

       Реакция учащихся на последнюю из проводимых в этом разделе задач продемонстрирует степень их понимания стандартной  схемы решения иррациональных уравнений.

       Задача 1.3. Решите уравнение

       Большая часть учеников начнет решение с  нахождения ОДЗ и раскрытия модуля. А между тем можно сразу  перейти к уравнению

       

       Целесообразно задать учащимся такой вопрос: «Как вам кажется, какое уравнение проще решить, данное выше или уравнение  ?».

       2. Кодирование, преобразование, интерпретация.

       Простейшим  примером использования указанных форм деятельности является их внутриматематическое применение, к примеру, замена переменной, перевод задачи с одного математического языка на другой (от алгебры к геометрии и обратно).

       Кодирование или переформулирование способствует выявлению скрытых свойств объектов (существенных для данной задачи) путем включения их в другую систему связей. Использование разнообразных формулировок задачи способствует ее пониманию. Культура мышления предполагает развитое умение думать об одном и том же на разных языках.

       Нужно уметь создавать и пользоваться различными моделями. А потому важно научить школьников формализовывать задачи и переводить условия и результаты с одного языка на другой, т.е. кодировать информацию, понимать смысл (т.е. интерпретировать) полученных в результате исследования результатов. Многие школьные задачи содержат в себе элементы кодирования, преобразования, интерпретации (к примеру, практически все текстовые задачи, но далеко не только они). Приведем примеры.