Статистика производительности труда

     На  основе групповых итоговых строк  «Всего» табл. 3 формируется итоговая табл. 4, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по производительности труда..

     Таблица 4

Распределение банков по объему кредитных вложений

     Помимо  частот групп в абсолютном выражении  в анализе интервальных рядов  используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 5. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

      Таблица 5

Структура предприятий по производительности труда

     Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по производительности труда не является равномерным: преобладают предприятия с производительностью труда от 0,216 млн руб./чел. до 0,264 млн руб./чел. (это 12 предприятий, доля которых составляет 40%); 23,3% предприятий имеют производительность труда менее 0,216 млн руб./чел., а 86,7% – менее 0,312 млн руб./чел.

1.2. Нахождение моды  и медианы полученного  интервального ряда  распределения графическим  методом и  путем  расчетов

     Мода  и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

     Мода  Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности⁴. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение  моды графическим методом 

     Конкретное  значение моды для интервального  ряда рассчитывается по формуле:

      

                        (3)

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

    h –величина модального интервала,

    f_Mo – частота модального интервала,

    f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

    f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

     Согласно  табл.5 модальным интервалом построенного ряда является интервал 0,216 – 0,264 млн. руб./чел., так как его частота максимальна (f₃ = 12).

     Расчет  моды по формуле (3):

     Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная производительность труда характеризуется средней величиной 0,246 млн руб./чел.

     Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

     Медиану можно определить графическим методом  по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Определение медианы графическим  методом 

     Конкретное  значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

      

,                                       (4)

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

      h – величина медианного интервала,

       – сумма всех частот,

      f_Ме – частота медианного интервала,

      S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

     Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные  частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

     В нашем примере медианным интервалом является интервал    0,216 – 0,264 млн. руб./чел., так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 19 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

     Расчет  значения медианы по формуле (4):

     Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина из них имеют в среднем значение производительности труда не более 0,248 млн руб./чел., а другая половина – не менее 0,248 млн руб./чел.

     3. Расчет характеристик  ряда распределения

     Для расчета характеристик ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( – середина j-го интервала).

     Таблица 6

     Расчетная таблица для нахождения характеристик  ряда распределения

     Расчет  средней арифметической взвешенной:

      

                                   (5)

     Расчет  дисперсии:

                                                 (6)

     Расчет  среднего квадратического отклонения:

                                                            

     Расчет  коэффициента вариации:

      

                                                (7)

     Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя производительность труда предприятий составляет 0,248 млн руб./чел., отклонение от среднего значения в ту или иную сторону составляет в среднем 0,055 млн руб./чел. (или 22,2%), наиболее характерные значения производительности труда находятся в пределах от 0,193 млн руб./чел. до 0,303 млн руб./чел.

     Значение  V_σ = 22,2% не превышает 33%, следовательно, вариация производительности труда в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =0,248 млн руб./чел., Мо=0,246 млн руб./чел., Ме=0,248 млн руб./чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение производительности труда на предприятиях (0,248 млн руб./чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

     4.Вычисление  средней арифметической  по исходным данным

     Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

      

,                             (8)

     Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в  том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти предприятий, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

     Задание 2.

      По  исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее: