Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах

   Помимо  выделенных компонентов понятия уравнения (смыслового, знакового, прикладного), в школьной математике большую роль играет компонент, при котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль проявляется в изучении графического метода решения уравнений. Однако в известных нам учебниках алгебры этот компонент не кладется в основу определения уравнения.

   Еще один подход к определению понятия  уравнения получается при сопоставлении  области определения уравнения  и множества его корней. Обычно множество корней уравнения — собственное подмножество его области определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением»

   Формирование  понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина «множество».

   Таким образом, при освоении понятия уравнения  необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.

   В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам). Вопросы, связанные с выбором одного их этих терминов для использования в школьной практике, в настоящее время еще нельзя считать окончательно решенными. Выбор того или иного из них влечет определенные различия в развертывании содержания линии уравнений и неравенств. Так, с термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а(х)=b[х) можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а{х)=b{х) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду х=х₀, где х₀ — числовое выражение.

   При описании методики мы будем пользоваться термином «неизвестное», который ближе, чем  «переменная», связан с алгебраическим методом решения текстовых задач и тем самым с прикладной направленностью линии уравнений и неравенств. 

2. Равносильность и логическое следование.

      Рассмотрим  логические средства, используемые в  процессе изучения уравнений и неравенств. Наиболее важным среди них является понятие равносильности.

      Напомним, что уравнения называются равносильными, если равносильны соответствующие  предикаты, т. е. если выполнены условия: области определения уравнений  одинаковы и множества их корней равны. Имеются два пути установления равносильности уравнений. Первый: используя известные множества корней уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнения х + 1=х + 2 и x² + 1=x² + 2 равносильны, потому что не имеют корней. Второй: используя особенности записи уравнений, осуществить последовательный переход от одной записи к другой посредством преобразований, не нарушающих равносильности.

      Очевидно, что для большинства заданий  второй путь более характерен. Это  и понятно, ведь равносильность в  теории уравнений как раз и используется для того, чтобы указать конкретные правила для решения уравнений. Однако в преподавании ограничиваться им нецелесообразно, поскольку он относится только к практическому применению равносильности и требует первого для своего обоснования. Вместе с тем усвоение понятия равносильности как равносильности предикатов требует значительной культуры мышления и не может быть усвоено на начальных этапах изучения школьного курса алгебры без специальных значительных усилий.

      В отношении формирования понятия равносильности и его применения к решению уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований основано на явном введении и изучении понятия равносильности; ко второй — те, в которых применение равносильных преобразований предшествует выделению самого понятия. Методика работы над понятием равносильности имеет при указанных подходах значительные отличия.

      В связи с рассматриваемым вопросом в изучении материала линии уравнений и неравенств можно выделить три основных этапа. Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит ознакомление с различными способами решения отдельных, наиболее простых классов уравнений. Используемые при этом преобразования получают индуктивное обоснование при рассмотрении конкретных примеров. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения все чаще заменяются такими, где равносильность фактически используется, но сам термин не употребляется. Длительность этого этапа может быть различной; она зависит от методических установок, принятых в данном учебном пособии.

      На  втором этапе происходит выделение  понятия равносильности и сопоставление  его теоретического содержания с  правилами преобразований, которые выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна, поскольку на нем происходит только выделение этого понятия и его использование на нескольких теоретических примерах.

      На  третьем этапе на основе общего понятия  равносильности происходит развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Такой стиль характерен для курса алгебры и начал анализа, изучаемого в старших классах средней школы. Он применяется и в некоторых пособиях по алгебре для неполной средней школы.

      Помимо равносильных, к изучению материала линии уравнений применяются и другие, вообще говоря, не равносильные преобразования. Большая часть из них в школьном курсе не выявляется, хотя они более или менее существенно используются, в частности, при изучении уравнений. Единственным исключением служит понятие логического следования, которое в ряде учебных пособий является предметом изучения. Методика работы с понятием логического следования (а также с представлением о нем в случае, если понятие не вводится) имеет много общих черт с методикой изучения равносильности и равносильных преобразований.

      Логическое  следование начинает применяться значительно  позже равносильности и осваивается  в качестве некоторого дополнения к  нему. При решении уравнений при  прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда, когда соответствующего равносильного преобразования найти не удается. Это, однако, не означает, что использование логического следования — вынужденная мера. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно дорогой ценой.

      Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая (пример: переход от уравнения а -b= 0 к рассмотрению уравнения а=0). Такие переходы можно рассматривать как практические приемы, позволяющие сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения.

3. О классификации преобразований уравнений и их систем.

      Можно выделить три основных типа таких  преобразований:

1) Преобразование одной из частей уравнения.

2) Согласованное преобразование обеих частей уравнения.

3) Преобразование логической структуры.

      Поясним эту классификацию.

      Преобразования  первого типа используются при необходимости упрощения выражения, входящего в запись решаемого уравнения. Например, решая уравнение cos x-tg x=l, можно пытаться заменить выражение в левой части более простым. В данном случае соответствующее преобразование приводит к уравнению sin x= 1, неравносильному исходному за счет изменения области определения. Возможность получения при такой замене уравнения, неравносильного данному, приходится учитывать при изучении некоторых типов уравнений, например тригонометрических или логарифмических. В классе дробно-рациональных уравнений с этим явлением приходится сталкиваться гораздо реже. (Здесь это связано с возможностью потери корней при сокращении дроби.) Наконец, в классе целых алгебраических уравнений рассматриваемый тип преобразований всегда приводит к уравнениям, равносильным данным.

      Преобразование  одной из частей уравнения используют раньше всех других преобразований уравнений, это происходит еще в начальном курсе математики. Прочность владения навыком преобразований этого типа. имеет большое значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они применяются очень часто.

      Основой преобразований данного типа являются тождественные преобразования. Поэтому классифицировать их можно в соответствии с классификацией тождественных преобразований, например раскрытие скобок, приведение подобных членов и т. д.

Преобразования  второго типа состоят в согласованном изменении обеих частей уравнения в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Общей основой всех преобразований этого типа является логический принцип, выражающий характеристическое свойство равенства выражений: если выражения а и b равны и в выражении F (х) выделена переменная х, которая может принимать значение а, то выражения    F (а) и F {b) равны: a = b =>F {a)=F (b).

      Преобразования  второго типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений.

      Приведем  примеры преобразований этого типа. 

      1)-Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения. 

      2) Умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же выражение. 

      3) Переход от уравнения a=b к уравнению ¦ (a)=¦ (b), где ¦ - некоторая функция, или обратный переход.

      К третьему типу преобразований относятся преобразования уравнений, и их систем, изменяющие логическую структуру заданий. Поясним использованный термин «логическая структура». В каждом задании можно выделить элементарные предикаты — отдельные уравнения. Под логической структурой задания мы понимаем способ связи этих элементарных предикатов посредством логических связок конъюнкции или дизъюнкции.

      В зависимости от средств, которые  используются при преобразованиях, в этом типе можно выделить два подтипа: преобразования, осуществляемые при помощи арифметических операций и при помощи логических операций. Первые можно назвать арифметическими преобразованиями логической структуры, вторые — логическими преобразованиями логической структуры.

      Наиболее  важными для школьного курса  математики арифметическими преобразованиями логической структуры являются:

      а) Переход от уравнения a * b=0 к совокупности уравнений а=0, b=0.

Сюда же относятся сходные преобразования для уравнений вида , 

      б) Переход от системы уравнений к одному уравнению посредством почленного сложения, вычитания, умножения или деления уравнений, входящих в систему.

      Приведем  примеры логических преобразований логической структуры:

      а) Выделение из системы уравнений  одного из компонентов. Например,

при решении  системы уравнений способом подстановки можно  

в качестве первого шага рассмотреть первое из уравнений (это и будет преобразование данного типа, условно его, можно изобразить так: АÙВ——>А). Смысл такого преобразования в том, что выделенное уравнение можно подвергать дальнейшим преобразованиям независимо от той системы, в которую оно входит.

      б) Замена переменных. В простейшем случае замена переменных состоит 

в переходе от уравнения F (f (x))=0 к системе Связь этой системы  

и данного уравнения такова: число Х₀ — решение уравнения F (f (х))=0 тогда и только тогда, когда пара (х₀, f (х₀)) — решение системы. Это преобразование позволяет одно «сложное» уравнение заменить системой более простых уравнений. Так решаются биквадратные уравнения, многие типы иррациональных и трансцендентных уравнений (например, при их сведении к алгебраическим уравнениям).