Метод TOPSIS и его модификация

Метод TOPSIS и  его модификация.

А = {Ai} – множество  альтернатив, i = 1, 2, …, n. 

С = {Cj} – множество  критериев, j = 1, 2, …, m  

Пусть 

   Метод TOPSIS основан на следующей идее: наиболее предпочтительная альтернатива должна быть не только ближе всех остальных альтернатив к позитивному идеальному решению, но и быть дальше всех остальных альтернатив от негативного идеального решения.

    Позитивное идеальное решение – вектор, содержащий максимальные значения по каждому критерию для всех альтернатив.  

    Негативное идеальное решение – вектор, содержащий минимальные значения по каждому критерию для всех альтернатив.

   Х – исходная матрица (размерности n x m), где xij – значение критерия Cj для альтернативы Ai.

Пошаговое  применение метода TOPSIS 

    Шаг 1. Строим матрицу нормализованных значений критериев. 

   Переводим критерии, выраженные в разных единицах в безразмерный вид.

pij = xij / ( Σ (xij ²)) ½

                                           i 

    Шаг 2. Строим матрицу взвешенных нормализованных значений критериев. 

   Предположим, что у нас определен вес каждого критерия wj ,  

0 <= wj <= 1,  

Σ wj = 1,

  j

   Обозначим матрицу взвешенных нормализованных значений критериев Y. 

yij = wj * pij 

   Шаг 3. Определяем позитивное и негативное идеальные решения. 

A⁺ = (max (yi1), …, max (yim)) = (y1⁺, …, ym⁺),

                i i  

A^- = (min (yi1), …, min (yim)) = (y1^-, …, ym^-),

          i i

    Шаг 4. Рассчитываем расстояние для каждой альтернативы от позитивного и негативного идеальных решений.  

   Расстояние от i-ой альтернативы до позитивного идеального решения: 

Si ⁺ = [  (yi⁺– yij)² ] ½   i = 1, …, m 

   Расстояние от i-ой альтернативы до негативного идеального решения:  

Si ^-  =  [  (yi^-– yij)² ] ½   i = 1, …, m

   Шаг 5. Определение относительной близости к позитивному идеальному решению. 

Pi⁺ = Si^- / (Si⁺ + Si^- ) , 0 = (Pi⁺ )*  = 1  

   Выбираем ту альтернативу, для которой (Pi⁺ )* ближе к 1. 

    Пример. Оценим 4 марки автомобилей (m=4) по 4 критериям (дизайн, надежность, экономичность, цена).

Таблица 1  

Критерий 

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономичность 

Цена 

Хонда  

7 

9 

9 

8 

Тойота 

8 

7 

8 

7 

Форд 

9 

6 

8 

9 

Мазда 

6 

7 

8 

6 

Вес 

0,1 

0,4 

0,3 

0,2

Шаг 1(а). Рассчитаем ( Σ (xij ²)) ½ для каждой колонки.

                                        i  

Таблица 2. 

Критерий

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономичность 

Цена 

Хонда  

49 

81 

81 

64 

Тойота 

64 

49 

64 

49 

Форд 

81 

36 

64 

81 

Мазда 

36 

49 

64 

36 

Σ (x^{_ij 2}) 

230 

215 

273 

230 

( Σ (x^{_ij 2})) ^½ 

15,17 

14,66 

16,52 

15,17

Шаг 1(б). Находим pij 

Таблица 3. 

Критерий 

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономичность 

Цена 

Хонда  

0,46 

0,61 

0,54 

0,53 

Тойота 

0,53 

0,48 

0,48 

0,46 

Форд 

0,59 

0,41 

0,48 

0,59 

Мазда 

0,4 

0,48 

0,48 

0,4

Шаг 2. Умножаем таблицу 3 на весовые коэффициенты.  

Таблица 4.  

Критерий 

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономичность 

Цена 

Хонда  

0,046 

0,244 

0,162 

0,106 

Тойота 

0,053 

0,192 

0,144 

0,092 

Форд 

0,059 

0,164 

0,144 

0,118 

Мазда 

0,040 

0,192 

0,144 

0,080

    Шаг 3. Определяем позитивное и негативное идеальные решения. 

A⁺ = (0,059; 0,244; 0,162; 0,080). 

А^- = (0,04; 0,164; 0,144; 0,118). 

   Шаг 4(а). Определяем расстояние до позитивного идеального решения.

Таблица 5. 

Критерий 
 

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономич-ность 

Цена 

 (y^_i+– y _^ij)² 

[  (y^_i+– y _^ij)² ] ^½ 

Хонда  

(0,046-0,059)² 

(0,244-0,244)² 

0² 

0,026² 

0,000845 

0,029 

Тойота 

(0,053-0,059)² 

(0,192-0,244)² 

(-0,18)² 

0,012² 

0,003208 

0,057 

Форд 

(0,053-0,059)² 

(0,164-0,244)² 

(-0,18)² 

0,038² 

0,008186 

0,090 

Мазда 

(0,053-0,059)² 

(0,192-0,244)² 

(-0,18)² 

0² 

0,003389 

0,058

Шаг 4(б). Определяем расстояние до негативного идеального решения. 

Таблица 6. 

Критерий 
 

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономич-ность 

Цена 

 (y^i-– y ^ij)²