Метод TOPSIS и его модификация

Оценка сложных  систем в условиях неопределенности.

   Условия оценки эффективности систем для неопределенных операций можно представить в виде Таблицы 1.  

Таблица 1 – Оценка  эффективности для неопределенных  операций  

a_ⁱ 

n_^j 

K(a_ⁱ) 

n_¹ 

n_² 

… 

n_^k 

a_¹ 

k_¹¹ 

k_¹² 

… 

k_^1k 

a_² 

k_²¹ 

k_²² 

… 

k_^2k 

… 

… 

… 

… 

… 

a_^m 

k_^m1 

k_^m2 

… 

k_^mk 

a_ⁱ – вектор управляемых параметров, определяющий свойства системы (i = 1, …, m);  

n_^j – вектор неуправляемых параметров, определяющий состояние обстановки (j = 1, …, k);

k_^ij – значение эффективности системы a_ⁱ для состояния обстановки n_^j; 

K(a_ⁱ) – эффективность системы a_ⁱ;  

   В зависимости от характера неопределенности операции могут делиться на игровые и статистически неопределенные.  

   В игровых операциях неопределенность вносит своими сознательными действиями противник. Для исследования игровых операций используется теория игр.  

   Условия статистически неопределенных операций зависят от объективной действительности, называемой природой. Такие операции могут исследоваться с применением теории статистических решений.

   Единого критерия оценки эффективности для неопределенных ситуаций не существует. Но разработаны общие требования к критериям и процедурам оценки и выбора оптимальных систем.  

Основными требованиями  являются:  

- оптимальное решение  не должно меняться с перестановкой  строк и столбцов матрицы эффективности;  

- оптимальное решение  не должно меняться при добавлении  тождественной строки или тождественного  столбца к матрице эффективности; 

- оптимальное решение  не должно меняться от добавления  постоянного числа к значению  каждого элемента матрицы эффективности; 

- оптимальное решение  не должно становиться неоптимальным,  а неоптимальное оптимальным  в случае добавления новых  систем, среди которых нет ни  одной более эффективной системы; 

- если системы  а_ⁱ и а_^j оптимальны, то вероятностная смесь этих систем тоже должна быть оптимальна;

    В зависимости от характера предпочтений ЛПР наиболее ча­сто в неопределенных операциях используют критерии: 

 - среднего выигрыша; 

 - Лапласа; 

 - осторожного наблюдателя (Вальда);  

 - максимакса; 

 - пессимизма-оптимизма (Гурвица); 

 - минимального риска (Сэвиджа);

Критерий  среднего выигрыша.  

   Данный критерий предполагает задание вероятностей состояний обстановки р_^j. Эффективность систем оценивается как среднее ожидаемое значение (математическое ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки: 

   Оптимальной системе будет соответствовать

эффективность: 

Копт =

Критерий  Лапласа 

   В основе критерия лежит предположение: поскольку о состояниях обстановки ничего не известно, то их можно считать равновероятными. Исходя из этого 

K(ai) = 1/n Σ kij

                  j=1  

Kопт = max (1/n  Σ kij)

                I j=1  

   Критерий Лапласа представляет собой частный случай критерия среднего выигрыша.

Критерий  осторожного наблюдателя (Вальда). 

   Это максиминный критерий, он гарантирует определенный выигрыш при наихудших условиях. Критерий основывается на том, что, если состояние обстановки неизвестно, нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффективности каждой системы.

В каждой строке  матрицы эффективности находится  минимальная из оценок систем  по различным состояниям обстановки:  

K(ai) = min kij

               j

   Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности: 

 Kопт = max (min kij)

               I j 

   Максиминный критерий ориентирует на решение, не содержащее элементов риска: при любом из возможных состояний обстановки выбранная система покажет результат операции не хуже найденного максимина. Такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия. Другой недостаток - он не удовлетворяет требованию 3 (добавление постоянного числа к каждому элементу столбца матрицы эффективности влияет на выбор системы).

Критерий  максимакса. 

   Этот критерий предписывает оценивать системы по максимальному значению эффективности и выбирать в качестве оптимального решения систему, обладающую эффективностью с наибольшим из максимумов: 

k(ai) = max kij

               j 

Kопт = max (max  kij)

                I j 

   Критерий максимакса - самый оптимистический критерий. Те, кто предпочитает им пользоваться, всегда надеются на лучшее состояние обстановки и, естественно, в большой степени рискуют.

Критерий  пессимизма-оптимизма (Гурвица) 

   Это критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем неразумно проявлять как осторожность, так и азарт, а следует, учитывая самое высокое и самое низкое значения эффективности, занимать промежуточную позицию (взвешиваются наихудшие и наилучшие условия). Для этого вводится коэффициент оптимизма а (0 < a < 1), характеризующий отношение к риску лица, принимающего решение. Эффективность систем находится как взвешенная с помощью коэффициента а сумма максимальной и минимальной оценок:  

K(ai) = a max kij + (1 – a) min kij

                        j j

Условие оптимальности  записывается в виде:  

Kопт = max (a  max kij + (1 – a) min kij)

               i j j 

   При a = 0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина, при a = 1 - к критерию максимакса. Значение а может определяться методом экспертных оценок. Очевидно, что, чем опаснее оцениваемая ситуация, тем ближе величина а должна быть к 0, когда гарантируется наибольший из минимальных выигрышей или наименьший из максимальных рисков.  

   На практике пользуются значениями коэффициента а в пре­делах 0,3 - 0,7. В критерии Гурвица не выполняются требования 4 и 5.

Критерий  минимального риска (Сэвиджа).  

   Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. Для оценки систем на основе данного критерия матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь (риска). Каждый элемент матрицы потерь определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце:  

Δ kij = max kij - kij

               i 

   После преобразования матрицы используется критерий минимакса:

                  K(ai) = max Δ kij

                 

              Копт = min (max Δ kij)

                            I j 

   Критерий минимального риска отражает сожаление по поводу того, что выбранная система не оказалась наилучшей при определенном состоянии обстановки. О критерии Сэвиджа можно сказать, что он, как и критерий Вальда, относится к числу осторожных критериев. По сравнению с критерием Вальда в нем придается несколько большее значение выигрышу, чем проигрышу. Основной недостаток критерия - не выполняется требование 4.

   Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по целому ряду критериев. На выбор того или иного критерия оказывает влияние ряд факторов: 

- природа конкретной  операции и ее цель (в одних  операциях допустим риск, в  других - нужен гарантированный  результат); 

 - причины неопределенности (одно дело, когда неопределенность является случайным результатом действия объективных законов природы, и другое, когда она вызывается действиями разумного противника, стремящегося помешать в достижении цели);

 - характер лица, принимающего решение (одни люди склонны к риску в надежде добиться большего успеха, другие предпочитают действовать всегда осторожно). 

   Тип критерия для выбора рационального варианта должен быть оговорен на этапе анализа систем, согласован с заказывающей организацией и в последующих задачах синтеза информаци­онных и других сложных систем предполагается заданным.

Задание. 

   Используя данные из таблицы 2, выбрать наилучший вариант системы ai по каждому критерию. 

Таблица 2 – Матрица  эффективности 

a_ⁱ 

n_^j 

n_¹ 

n_² 

n_³ 

n_⁴ 

a_¹ 

0,1 

0,5 

0,1 

0,2 

a_² 

0,2 

0,3 

0,2 

0,4 

a_³ 

0,1 

0,4 

0,4 

0,3

   В критерии среднего выигрыша, вероятности pj задать самостоятельно (0 < pj < 1).

   В критерии Гурвица значение а задать самостоятельно (0 < a < 1).

   Результаты расчетов по всем критериям отразить в таблице 3. По каждому критерию выделить лучший вариант системы. 

Таблица 3 – Сравнительные  результаты оценки вариантов  систем 

K(aⁱ) по критериям 

Среднего выигрыша