Метод TOPSIS и его модификация

ОЦЕНКА СОГЛАСОВАННОСТИ  МНЕНИЙ ЭКСПЕРТОВ 

(РАНГОВЫЕ  КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ)

   Групповые экспертные оценки должны отражать согласованное мнение экспертов.  

    С помощью рангового коэффициента корреляции устанавливается теснота связи между двумя ранжированными рядами, интерпретируемая как согласованность мнений двух экспертов.  

   С помощью рангового коэффициента корреляции нельзя установить согласованность между всеми экспертными оценками. Но с их помощью удается описать структуру согласованности индивидуальных оценок. Это описание может быть представлено в виде корреляционной матрицы.

   Если ранжировки двух экспертов не содержат связных рангов, т.е. когда нет повторяющихся рангов, и мы имеем строгое упорядочивание объектов, коэффициент Спирмена можно вычислить с помощью следующей формулы:  

   Возможные значения коэффициента изменяются от -1 до +1.  

(1) 

Коэффициент  Спирмена.

   Коэффициент Спирмена равен 1, если ранжировки полностью совпадают, и равен (-1), если ранжировки имеют противоположный порядок.  

   Для этого определяется порог, ниже которого коэффициент корреляции считается незначимым. Определение порога осуществляется в предположении, что имеет место независимость ранжировок, т.е. Н_⁰ : ρ = 0. 

   Полученная оценка рангового коэффициента корреляции является случайной величиной и, следовательно, необходимо проверить ее значимость.

   Для установления порога       используется приближенная формула:  

   в которой n – количество ранжированных объектов; 

  α  - вероятность, задающая уровень возможной ошибки;  

   Ψ(x) = Ф^-1 (x) - функция, обратная функции нормального закона распределения.  

(2)

Пример. 

   Пусть два эксперта провели оценку сравнительной значимости семи объектов. Каждому объекту присвоили ранг. Полученные ранжировки и промежуточные расчеты приведены в табл.1. 

Таблица 1 – Ранжирование  объектов. 

Эксперты 

Объекты 

А1 

А2 

А3 

А4 

А5 

А6 

А7 

Э1 

2 

1 

4 

3 

5 

7 

6 

Э2 

1 

2 

5 

4 

3 

6 

7 

rⁱ¹ – rⁱ² 

1 

-1 

-1 

-1 

2 

1 

1 

(rⁱ¹ – rⁱ²)² 

1 

1 

1 

1 

4 

1 

1

; 

; 

   Так как 0,821 > 0,8, то нуль-гипотеза о независимости экспертных мнений отвергается, а коэффициент корреляции признается значимым.

   В тех случаях, когда ранжировки содержат связные ранги, коэффициент корреляции корректируется.  

   Если несколько объектов получили одинаковый ранг, то им присваивается средний ранг. Например, объекты на 2 и 3 месте примерно одинаковы, тогда им обои присваивается ранг 2,5. 

   Расчет скорректированного на наличие связанных рангов коэффициента корреляции осуществляется по следующей формуле:

   в которой ρ - оценка коэффициента ранговой корреляции, рассчитанная в соответствии с формулой (1), а величины Т_¹ и Т_² вычисляются по формулам:  

(3) 

; 

; 

   где k_¹ⁱ , k_²ⁱ – количество повторяющихся рангов в i –ой последовательности соответствующих ранжировок, полученных от 1-го и 2-го эксперта.  

(4) 

(5)

Пример. 

   Данные для вычисления скорректированного коэффициента ранговой корреляции с промежуточными расчетами приведены в таблице 2.  

Таблица 2 –  Вычисление скорректированного  коэффициента ранговой корреляции. 

Эксперты 

Объекты 

А1 

А2 

А3 

А4 

А5 

А6 

А7 

Э1 

2 

1 

3 

5 

5 

5 

7 

Э2 

1 

2,5 

2,5 

5 

4 

7 

6 

(rⁱ¹ – rⁱ²)² 

1 

2,25 

0,25 

0 

1 

4 

1

; 

; 

; 

   Т.о. нуль-гипотеза о независимости экспертных мнений отвергается, а скорректированный коэффициент корреляции признается значимым.

Коэффициент  Кендалла.  

(6) 

; 

где  n – число  сопоставляемых пар рангов;  

- число рангов  во второй ранжировке, стоящих  правее и больших данного;  

- число рангов  во второй ранжировке, стоящих  правее и меньших (либо равных)  данного. 

Пример.  

Таблица 3 – Ранжирование  объектов.  

Эксперты 

Объекты 

А1 

А2 

А3 

А4 

А5 

А6 

А7 

Э1 

2 

1 

4 

3 

5 

7 

6 

Э2 

1 

2 

5 

4 

3 

6 

7 

    Переходим к таблице 4, где первая ранжировка  по-порядку. 

Таблица 4  

Эксперт 1 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

Эксперт 2 

2 

1 

4 

5 

3 

7 

6

Таблица 5  

S⁺ 

5 

5 

3 

2 

2 

0 

0 

Σ=17 

S^- 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

Σ=4 

Для n=7       * = 0,57 (из специальной таблицы).  

   Поскольку 0,62 > 0,57, согласованность мнений экспертов достаточная.

Задание. 

   Сотрудники отдела маркетинга ОАО «Сладости» попросили опытного продавца проранжировать ряд факторов, на которые обращают внимание потребители при выборе коробки конфет. Выступите в роли эксперта и проранжируйте представленные факторы (Ваше ранжирование должно отличаться от ранжирования продавца и содержать хотя бы два одинаковых ранга). Оцените согласованность Вашего мнения и мнения продавца, рассчитав коэффициенты Спирмена и Кендалла. Результаты опроса продавца представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Результаты  опроса экспертов  

ФАКТОРЫ 

Эксперты 

Э1 

Э2 

Цена 

1 

Дизайн, оформление коробки 

2 

Начинки конфет 

6 

Марка/производитель 

3 

Разнообразие конфет в коробке 

6 

Ингредиенты, входящие в состав конфет