• Увеличение RS_nн при изменеие n на 2 найдем по формуле:

• Значение RS_nн при t=12 найдем по формуле:

      Найдем  величину RS_nв:

• Увеличение RS_nв при изменеие n на 2 найдем по формуле:

• Значение RS_nв при n=12 найдем по формуле:

Выдвинем нулевую гипотезу Н₀: величина е_t соответствует нормальному распределению. Сопоставим по формуле:

                                           RSnн< RSр< RSnв                                          (43)

  расчетное значение критерия  RSр с табличным –RSТ.. Сопоставление показывает, что RSр попадает в интервал, определяемый нижним и верхним табличными значениями  RS-критерия, т.е. 2,772<2,835<3,978

       Это позволяет нам сделать следующий вывод: с вероятностью 95%  нулевая гипотезе принимается, т.е.  величина е_t соответствует нормальному распределению и, следовательно,  отвечает условию 2. 

Условие 3. Математическое ожидание величины е_t равно нулю 

     Для проверки данного условия выдвинем нулевую гипотезу Н₀: математическое ожидание e_t=0.

     Для промежуточных расчетов используем таблицу 19:

                                    Таблица 19

 

Вначале определим  среднюю арифметическую величину е_t, использовав итог графы 3 таблицы 19;

                                       

                                  (44)

     Затем рассчитаем и внесем в графу 4 табл. 19 квадрат отклонения фактического значения е_t от ее среднего значения. Так, для t=1

      =(−0,126−(-0,0012))² =0,016 и т.д.

     Далее определим среднее квадратическое отклонение, используя итог графы 4 таблицы 19 по формуле:

                                

                              (45)           

     Теперь  найдем расчетное значение величины t_p по формуле:

                               

                            (46)

      Чтобы найти  табличное значение величины t_T, зададимся уровнем значимости  а=0,05, относительно которого определим доверительную вероятность γ=1−0,05=0,95, а также число степеней свободы k=12–1=11. Теперь, зная γ и k, определим t_T  по Стьюденту (приложение 2 (2, стр. 70)); t_Т =2,201.

      Сопоставим  расчетное t_p=-0,0083 и табличное t_T=2,201 значения:

t_p < t_T или   -0,0083 < 2,201.

      Сопоставление показывает, расчетное значение меньше табличного.

     Это позволяет нам  сделать следующий  вывод: с вероятность 0,95  (95%) нулевая гипотеза принимается и  мы может утверждать: математическое ожидание е_t =0.  

Условие 4. Независимость  членов ряда друг от друга 

     Оценим  наличие автокорреляции в ряде данных е_t с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Вначале в графу 3 таблицы 20 внесем квадраты величины е_t, а в графе 4 – квадраты разниц между текущим и предыдущим значениями е_t. Так, для t=1  мы не можем найти требуемое значение квадрата разницы, так как  у нас нет значения е₀. А для t=2

                    (е₂–е₁)²=(0.077 – (–0.126))²=0.041 и т.д.                         (47)

           Таблица 20

      Рассчитаем  итоговые значения граф 3 и 4 и по ним  определим расчетное значение критерия Дарбина - Уотсона d_p по формуле:

                                      

                           (48)

      Расчетное значение критерия Дарбина–Уотсона  оказалось больше двух, (следовательно, коэффициент попал в область отрицательной автокорреляции), поэтому пересчитаем его для области с положительной автокорреляцией по формуле:

                                       

                               (49)

     Найдем  табличное значение критерия Дарбина–Уотсона  d_T при n=12, и числе факторов в используемой трендовой модели V=1 (в линейном тренде один фактор – время).

     При  n=12 и V=1 в приложении 4 (2, стр. 71) находим табличное значение критерия Дарбина–Уотсона d_T. Однако у нас n=12, а в таблице наименьшее значение n=15, поэтому возьмем табличное значение критерия Дарбина–Уотсона для n = 15. Его нижнее значение равно d₁=1,08, а верхнее d₂=1,36:

     Сопоставим  расчетное (1,786) и табличное (1,08; 1,36) значения критерия Дарбина–Уотсона. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. d_p<d₁, что будет говорить о наличии в ряде автокорреляции

2)  d_p>d₂, что будет говорить об отсутствии в ряде автокорреляции;

3)  d₁≤d_p≤d₂, что будет говорить о необходимости дополнительной

проверки  наличия  в ряде автокорреляции.

     Расчетное значение больше верхнего табличного, т.е. возникает вторая ситуация, когда d_p>d₂ или 1,786>1,36.

     С учетом этого мы может  сделать вывод: с  вероятностью 0,95(95%) в ряде е_t отсутствует автокорреляция.

     Поскольку соблюдаются 4 условия:

1. Условие 1. Колебание величины еt должно носить случайный  характер. Это условие означает, что колебание (изменение) величины е_t не содержит элементов тенденции.
2. Условие 2. Распределение величины е_t соответствует нормальному распределению. 
3. Условие 3. Математическое ожидание величины е_t равно нулю
4. Условие 4. Независимость членов ряда друг от друга. Это условие означает отсутствие автокорреляции во временном ряде е_t

      Можно утверждать, что выбранная  трендовая модель: адекватна тенденции, имеющей место во временном ряде.

13. Прогнозирование на основе трендовой модели:

_{13.1 Точечный прогноз:}

     Определим  точечный прогноз на 13-й день. Из условия задачи вытекает: период основания  прогноза n=12, а период упреждения прогноза τ=1. Одновременно определим уровень значимости а=0,05. Рассчитаем точечный прогноз по формуле:

            

               (50)

_{13.2 Интервальный прогноз:}

     Для расчета интервального прогноза предварительно определим табличное значение критерия Стьюдента с уровнем значимости а и числом степеней свободы k=n−2. Так как мы выбрали, а=0,05, доверительная вероятность γ=1−а=1−0,05=0,95, а число степеней свободы k=n−2=12−2=10. По приложению 2 (2, стр. 70) при γ=0,95 и k=10 табличное значение критерия Стьюдента t_T=2,228. Найдем стандартную ошибку тренда, по формуле:

                               

                         (51)

     Определим интервальный прогноз по формуле:

        

           (52)

      Отсюда  верхняя граница прогнозного интервала 15,09+1,381=16,471, а нижняя   15,09–1,381=13,709. Таким образом, прибыль от продаж на фабрике на 13-й день с вероятностью γ=0,95 будет расположена в интервале от 13,709 … 16,471.

      Для расчета  интервального прогноза с использованием формулы 

                                                                                              ₍₅₃₎

определим К. Согласно исходным данным число уровней  ряда n=12, а период упреждения прогноза τ=1, поэтому К= 2,1274 (2, стр. 73). Подставим найденное К в формулу и получим интервальный прогноз

      

      Отсюда  верхняя граница прогнозного интервала 15,09+1,123=16,213, а нижняя 15,09–1,123=13,967. Таким образом, прогноз оборота магазина на 13-й день с вероятностью γ=0,9 будет расположен в интервале 13,967 … 16,213.

      Верхняя и нижняя границы прогнозного  интервала отличаются от  полученных ранее. Причиной этого является то, что при расчете по 1-й формуле был  использован уровень значимости а=0,05, откуда доверительная вероятность γ=0,95, а при расчете по 2-й формуле была  использована величина К, которая в приложении 6 (2, стр. 73) рассчитана относительно уровня значимости а=0,1, откуда доверительная вероятность  равна 0,9.