Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка

 

На основе данных итоговой строки определим параметры линеаризированной модели показательного тренда lna₀ и lna₁:

                 (34)

                         (35)

Найдем  значение a₀, пропотенцировав lna₀. Тогда . Найдем a₁, пропотенцировав величину lna₁. Тогда . В результате расчетов параметров показательный тренд будет иметь следующий конкретный вид: 

                                                

10.Сравним линейный и выбранный нелинейный – показательный тренды:

      В одной системе координат, построим 3 графика: исходный временной ряд, линейную и показательную модели. Для построения графиков используем таблицу 15. Рассчитаем значения линейного и показательного трендов для каждого момента времени, подставив соответствующие значения t в уравнения и  

                Таблица 15

 

      Нарисуем  график по исходным данным на рис.6: 

  

      На  основе визуального анализа можно сделать вывод: что совпадение выбранного нелинейного тренда с реальным трендом временного ряда очевидно.

11. Сравнение трендовых моделей с помощью критерия наименьшей суммы квадратов отклонений:

Выбранные тренды имеют одинаковое число параметров, поэтому для расчета критерия наименьшей суммы квадратов отклонений выберем формулу              

                                                 .                                           (36)

      Для проведения промежуточных расчетов используем таблицу 16:

    Таблица 16

 

           В графу 5 внесем отклонение фактических данных от линейного тренда:  для t=1 =(10,2–10,326)²=0,016, для t=2 =(10,8–10,723)²=0,006 и т.д. Аналогичным образом в графу 6 впишем отклонения фактических данных от показательного тренда, и подведем итог.

      Сравним значения критерия наименьшей суммы квадратов отклонений для линейного и показательного трендов. Для линейного тренда критерий равен 2,789 (итог графы 5), а для показательного тренда 3,109 (итог графы 6). Коэффициент для линейного тренда меньше, чем для показательного, поэтому линейный тренд лучше аппроксимирует исходные данные. Следовательно, для прогнозирования необходимо взять линейный тренд.

12. Оценка адекватности выбранной трендовой модели:

     Чтобы оценить адекватность выбранной линейной трендовой модели теоретическому тренду временного ряда, найдем разность е_t между исходными данными у_t и нашей трендовой моделью по формуле

                                                                                                       ₍₃₇₎

       результаты занесем в таблицу 17.

                           Таблица 17

 

Построим  график ряда отклонения е_t по данным графы 4 на рис.7:

    

     Визуальный  анализ показывает, что колебание  величины е_t не содержит элементов тенденции, т.е. носит  случайный характер.

     Оценим  адекватность выбранной модели тренда исходному ряду на основе анализа  данных ряда отклонений е_t. Величина е_t должна отвечать следующим четырем условиям (требованиям): 

Условие 1. Колебание величины е_t должно носить случайный характер. 

      Проверим условие 1 с помощью критерия поворотных точек.

     Величина е_t считается поворотной,  если она соответствует одному из двух условий:

е_t-1< е_t >е_t+1  или е_t-1> е_t <е_t+1

      Для этого на базе данных  графы 4 определим поворотные точки и в графе 5 проставим соответствующие им значения. Рассматриваемые точки обозначим Рt. Тем точкам, которые будут поворотными,  присвоим значение Рt=1. А тем точкам, которые не будут поворотными,  присвоим значение Рt=0. результаты занесем в таблицу 18.

                         Таблица 18

 

Определим общее число поворотных точек по формуле

Результат занесем в итоговую строку графы 6.

     Для проверки выполнения условия 1 выдвинем нулевую гипотезу Н₀: колебание величины  е_t носит случайный характер.

     Для проверки этой гипотезы  определим  математическое ожидание числа поворотных точек по формуле:

                               

;                    (38)

и  его  дисперсию по формуле:

                               

                    (39) 

     Кроме того, для проверки нулевой гипотезы используем вероятность, равную 95%, которой соответствует коэффициент доверия t=1,96. С помощью формулы

                                                                (40)

     проверим  нулевую гипотезу, подставив в  нее значения М(Р), D(P), t :

     

 или 4,029<7<9,305 

     Расчет  показывает, общее  число поворотных точек – 7 находится в требуемом интервале. Это позволяет сделать следующий вывод: с вероятностью 0,95 (95%)  колебание величины  е_t носит случайный характер и, следовательно,  отвечает данному условию. 

Условие 2. Распределение величины е_t соответствует нормальному распределению. 

     Проверим распределение е_t на соответствие нормальному распределению. Вначале определим среднее квадратическое отклонение по формуле:

                              

                                  (41)

      для определения расчетного значения критерия RS_р из графы 4 таблицы 18 найдем максимальное e_max=0,604 и минимальное e_min=−0,893 значения. Расчетное значение критерия  RS_р найдем по формуле:

                        

                         (42)

      Следующим шагом  проверки условия 2 является нахождение табличного значения RS-критерия – RS_T по приложению 3 (2, стр. 71). В таблице приводятся нижнее и верхнее значения RS-критерия для n=10 и n=20; а у нас n=12. Для нахождения нижнего и верхнего значений RS-критерия для n=12 используем линейную интерполяцию. Найдем величину RS_12н: