2. Отобразим исходные  данные на рис.2:

 

На  основе визуального  анализа со средней вероятностью можно сделать вывод: во временном ряду присутствует тенденция в виде тренда, и он имеет линейный характер.

3. Сглаживание исходных  данных методом  скользящей средней:

     Чтобы  полученная визуальная оценка была более  убедительной и наглядной, осуществим сглаживание временного ряда с помощью метода скользящей средней с интервалом сглаживания, равным трем. Рассчитаем сглаженные уровни ряда по формуле:

                                                                                            ₍₁₀₎

     Так, первый сглаженный уровень ряда:

     Аналогично  рассчитаем остальные сглаженные уровни ряда:

     

    

    

    

     

    

     

     

      

 

     Результаты  расчетов внесем в таблицу 5:

           Таблица 5

 

     И построим график сглаженного ряда на рис. 3: 

 

На  основе визуального  анализа сглаженного временного ряда с высокой вероятностью можно сделать вывод: во временном ряду присутствует тенденция в виде тренда, и он имеет линейный характер.

4. Анализ методом Фостера-Стюарта:

     Оценим данные, приведенные в таблице 5, с помощью метода Фостера–Стюарта с точки зрения наличия в них тенденции среднего уровня  ряда и дисперсии. Расчет проведем с помощью таблицы 6.

               Таблица 6

 

      Для реализации этого метода  вначале определим u_t  и l_t по следующим условиям :

                          в графе 3 определим u_t.

     Так как для у₁=10,2 нет предыдущего уровня у₀, то в графе 3 поставим прочерк. Сравниваем у₂=10,8 со всеми предыдущими уровнями ряда. Он всего один − у₁=10,2. Поскольку у₂>y₁, постольку в графе 3 ставим 1. Сравниваем у₃=10,4 со всеми предыдущими уровнями ряда (у₂=10,8; у₁=10,2). Так как у₃ меньше хотя бы одного из предыдущих, а именно у_2, то в графе 3 ставим 0. Сравниваем у₄=11,9 со всеми предыдущими уровнями ряда  (у₃=10,4; у₂=10,8; у₁=10,2). Он больше у₁, у₂ и у₃, поэтому в графе 3 ставим 1. Аналогично проводится сравнение и других уровней ряда.

                             для графы 4 определим l_t.

      Расчет  проводится так же как и для графы 3, но с обратным условием: текущий уровень ряда у_t должен быть меньше всех предыдущих уровней:

Для у₁ нет предыдущего уровня, значит в графе 3 ставим прочерк;

Для у₂ – ставим 0 (у_2> у₁);

Для у₃ – ставим 0 ( у_3< у_2;  у_3> у₁);

Для у₄ – ставим 0 (у_4> у_1, у_3, у₂);

Для у₅ – ставим 0 (у_5> у_4, у_3, у_1, у_2,);

Для у₆ – ставим 0 (у_6> у_4, у_5, у_3, у_2, у₁);

Для у₇ – ставим 0 (у_7> у_1, у_2, у_3, у_4, у_5, у₆);

Для у₈ – ставим 0 (у_8> у_5, у_4, у_3, у_2, у_1;  у_8< у_7, у_6,);

Для у₉ – ставим 0 (у_9> у_8, у_7, у_6, у_4, у_5, у_3, у_2, у₁);

Для у₁₀ – ставим 0 (у_10> у_9, у_8, у_6, у_5, у_3, у_2, у_1,у_7, у₄);

Для у₁₁ – ставим 0 (у_11> у_10, у_9, у_8, у_7, у_6, у_5, у_4, у_3; у_2, у₁);

Для у₁₂ – ставим 0 (у_12< у_11, у_10;  у_12> у_9, у_8, у_7, у_6, у_5, у_4, у_3, у_2, у₁);

      Затем, на основе величин u_t  и l_t, для графы 5 определим величину S по формуле:

                                                    S=ΣS_t,   где S_t= u_t  + l_t ;                                         (11)

Для t=1 в графе 5 поставим прочерк. Рассчитаем величну S для t=2:

                                                     S₂= u₂  + l₂=1+0=1

Для t=2 в графе 5 поставим 1. Для остальных уровней ряда проводится аналогичные расчеты. Результаты заносятся в графу 5 таблицы 6.

Затем найдем итоговую сумму по графе 5:

                                      S= ΣS_t =1+0+1+1+1+1+0+1+1+1+0=8                            (12) 

      Для  графы 6 по формуле:

                                                    D=ΣD_t,   где D_t= u_t  – l_t                                       (13)

  D_t для t=1 в графе 6 ставим прочерк. Найдем значения D_t для t=2:

D₂= u₂  – l₂=1-0=1

в графе 6 ставим 1. Для остальных уровней ряда проводится аналогичные расчеты. Результаты заносятся в графу 6 таблицы 6.

      Затем найдем итоговую сумму по графе 6:

                                      D=ΣD_t=1+0+1+1+1+1+0+1+1+1+0=8                             (14) 

Выдвинем нулевую гипотезу: во временном ряде нет тенденции среднего уровня и нет тенденции дисперсии.

      Проверим  выдвинутую нулевую гипотезу по формулам:

                                                     , ,                                       (15)

     Найдем  значения μ, σ₁, σ_2. В приложении 1 (2, стр. 70) приведены данные для n=10 и для n=15, а нам надо  найти данные для n=12.

     Найдем μ для n=12 следующим образом. Значение μ для n=10 равно 3,858, для n=15 равно 4,363. Увеличение μ при изменении n на 2 шага найдем следующим образом:

                                                      (16)

     Отсюда  μ(12)=μ(10)+Δμ=3,858+0,311=4,169

      Найдем σ_1. Значение σ₁ для n=10 равно 1,288, для n=15 равно 1,521. Увеличение σ₁ при изменении n на 2 шага найдем следующим образом:

                                                      ₍₁₇₎

      Отсюда  σ₁ (12)= σ₁ (10)+Δ σ₁=1,288+0,093=1,381.

      Найдем  σ_2. Значение σ₂ для n=10 равно 1,964, для n=15 равно 2,153. Увеличение σ₂ при изменении n на 2 шага найдем следующим образом:

                                                     ₍₁₈₎

Отсюда  σ₂ (12)= σ₂ (10)+Δ σ₂=1,964+0,076=2,040

Найдем  значения t₁ и t₂:

                                   

      Найдем табличное значение t_γ. Для этого зададимся уровнем значимости, например а=0,05 (это стандартная величина).  Затем определим доверительную вероятность γ=1– а=1– 0,05=0,95 и число степеней свободы k=n – 1=12 –1=11. Относительно найденных значений γ и k по приложение 2 (2, стр. 70)  найдем табличное значение t_γ - оно равно 2,201.