Применение экономико-математических моделей в задаче оптимального управления запасами

 

     Найти оптимальную стратегию пополнения парка автомобилей, т.е. значения и при отсутствии задержки в поставке.

     Параметры задачи: тыс. руб., тыс. руб., тыс. руб., с=0. Определим критическое число Теперь найдем верхний уровень . Функция распределения впервые превысит число R при Х=6, следовательно, .

     Для определения  найдем наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство 

       

     (так  как с=0). Полагаем, что все денежные  суммы кратны тысяче. Вычислим

       

     Вычислим   

       

     Так как 4 ≤ 2 + 3, то .

     Вычислим   

       

     Неравенство 9 ≤ 2 + 3 не выполняется, значит,

     Итак, , . Отсюда следует, что при z < 5 парк автомобилей необходимо пополнить до ; при z ≥ 5 пополнять его не нужно. 

 

     2.4 Оценка величины погрешности функции затрат при фиксированной задержке поставки 

     Положим p = 100, h = 6, g = 20, µ = 5 и τ = 0,3. При этом приближенные значения параметров стратегии будут равны ; соответственно уточненные значения (при q, определяемом из (3.17)), суть и . Математическое ожидание затрат для стратегии составляет 67,7 а для – 66,3 единицы, т.е. разница , единицы, или 1,9 % .

     Проверим  качество приближенной оценки величины , рассчитанной по формуле (39), в нашем случае , откуда . Таким образом, порядок погрешности формула (39) указывает верно. 

 

     2.5 Определение оптимальной программы производства

 

     Применим  метод динамического программирования к решению данной задачи управления запасами.

     Рассмотрим  плановый период работы предприятия, состоящий  из трех месяцев: января, февраля, марта. Исходные данные сведены в таблице 1. 

     Таблица 1

     Функция затрат определена формулой (60). Кроме того, будем считать, что предприятие не может производить более четырех изделий, а хранить – более трех, т.е. M_k = 3, N_k = 4, а уровень запасов y₀ = y₃ = 0.

     Необходимо  составить оптимальную программу  выпуска продукции  , которая минимизирует суммарные издержки предприятия.

     Рассмотрим  январский этап (k=1). Поскольку плановый период состоит из одного месяца, у нас практически нет возможности влиять на объем производства изделий. Поэтому все допустимые программы выпуска продукции будут оптимальны, поскольку они единственны.

     Функция состояния в соответствии с (52) примет вид 

      . 

     Прежде  чем произвести расчеты  по формуле (60), укажем ограничения на изменения переменных x₁ и y₁. Поскольку уровни запасов на начало и конец планового периода равны нулю, то в январе мы можем произвести такое количество изделий, чтобы удовлетворять не только январский, но и февральский и мартовский спрос, т.е. произвести изделий, однако N₁ = 4, поэтому . Возникает естественный вопрос: каков должен быть уровень запасов на конец января (или, что одно и то же, на начало февраля), чтобы, не изготавливая ничего ни в феврале, ни в марте, опять выйти на нулевой уровень запасов в конце марта? Ответ очевиден: объем запасов продукции должен быть равен . Но поскольку возможности склада ограничены , в итоге получаем: 

      .

     Результаты  вычислений сведем в таблице 2. . 

     Таблица 2

 

     Рассмотрим  k = 2, когда плановый период содержит январь и февраль. У нас появляются дополнительные возможности для изменения объема выпуска изделий на каждом из этапов, с тем чтобы выйти на ненулевой уровень запасов y₃ = 0.

     Рекуррентное  соотношение (57) примем вид 

      , 

     где ξ – оптимальное значение уровня запасов y₂ на конец второго этапа, которому соответствует наименьшие суммарные затраты на производство и хранение продукции.

     Ограничения на объем производства и уровень  хранения очевидны: 

      ,

      . 

     Отобразим в таблице 3 все необходимые вычисления для февральского этапа .

     Таблица 3

 

     Поясним содержание этой таблицы. Объем производства и уровень хранения определяются значениями x₂ и y₂ соответственно. В верхнем правом углу каждой клетки указаны уровни запасов на начало второго этапа, которые с помощью балансового уравнения вычисляются по формуле . Сумма внутри каждой клетки содержит три слагаемых. Рассмотрим эти слагаемые для клетки с координатами . Первое слагаемое – затраты на оформление заказа и производство продукции ; второе – затраты на хранение . Сумма двух первых слагаемых равна . Прежде чем вычислить третье слагаемое, которое в рекуррентном соотношении обозначено как , вспомним, что величина вычислена, находится в верхнем правом углу клетки и равна 0 – 3 + 5 = 2. Поэтому третье слагаемое возьмем из январской таблицы. Аналогично рассчитываются слагаемые в остальных клетках, а в «запрещенных» клетках, для которых не нашлось последнего слагаемого в январской (k = 1) таблице, сделан прочерк. Наименьшие суммарные затраты для каждого y₂ запишем в последнем столбце (они подсчитаны в выделенных рамкой клетках), а значения оптимальных объемов производства изделий в феврале занесем в предпоследний столбец таблицы.

     При k = 3 плановый период уже включает в себя январь, февраль и март. Запишем рекуррентное соотношение 

      , 

     где ξ – значения уровня запасов y₃ на конец марта, которому соответствуют наименьшие суммарные затраты на хранение и производство продукции.

     Таблица 4 содержит лишь одну строку, так как, по условию задачи, . Количество столбцов определим в соответствии с неравенством 

      . 

     Таблица 4

 

     В остальном содержание таблицы ничем  не отличается от предыдущей.

     Составим  оптимальную программу выпуска  продукции на каждом этапе, которая обеспечит минимальные суммарные затраты в течение всего планового периода. Как видно из мартовской таблицы , что соответствует оптимальному уровню запасов , который рассчитан и записан в верхнем правом углу выделенной рамкой клетки. Далее из февральской таблицы следует, что .

     В выделенной рамкой клетке с координатами (табл. 3) в верхнем правом углу записан оптимальный уровень запасов на конец января. Наконец, из январской таблицы получаем, что соответствует . Таким образом, построена оптимальная программа выпуска продукции 

      , 

     которая обеспечивает минимальные суммарные  издержки на производство и хранение продукции.

 

     Заключение 

     Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь.

     Экономико-математическое моделирование охватывает весь спектр реальных систем. Для любого экономического события можно подобрать по приведенным классификационным признакам наиболее подходящую модель. Это в свою очередь помогает избежать определенных трудностей, неизбежно возникающих в процессе исследования.

     Под экономико-математической моделью понимается математическое описание исследуемого экономического процесса и объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений¹³. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.

     Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Предсказание будущих изменений, например, повышение обменного курса, ухудшение экономической конъюнктуры, падение прибыли может опираться лишь на интуицию. Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз. Применение экономико-математических методов и моделей позволяет существенно улучшить качество планирования и получить дополнительный эффект без вовлечения в производство дополнительных ресурсов.