Применение экономико-математических моделей в задаче оптимального управления запасами

      ,         (36)

     откуда

      .         (37)

     Соответственно

      .          (38)

     Перепишем (37) в виде

      ,

     где коэффициент перед скобкой равен  приближенному значению , определяемому согласно (14), а – отношение среднего спроса за время задержки к . При малом , что следует считать типичным для практики, можно записать

      .         (39)

     Найдем  разность затрат в единицу времени  с помощью формулы (32), используя (36):

     

     Таким образом,

      .

     Используя приближенные и допустимые при малых  разложения функции в ряд

     

     и

      ,

     получаем

     

     Так как 

      , то  и

                 (40)

     т.е. увеличение затрат за счет приближенного  определения q примерно пропорционально времени задержки поставки.

     При расчете штрафа, связанного с недостачей, носящей стохастический характер, оптимальный набор определяется по формулам

              (41)

     а при учете величины и времени  существования дефицита – с помощью  соотношений

            (42)

     Эти системы тоже решаются методом итераций.

 

5. Динамическая модель управления запасами

 

     Рассмотрим  предприятие, которое изготовляет  партиями некоторые изделия. Оно состоит из производственных цехов и склада для хранения готовой продукции. Предположим, что предприятие получило заказы на продукцию на n месяцев (этапов) вперед. Эти заказы необходимо полностью и своевременно выполнять (дефицит не допускается). Для разных этапов спрос не одинаков, кроме того, на экономические показатели производства влияют размеры изготовляемых партий продукции. Поэтому предприятию иногда бывает выгодно производить в течение месяца продукцию в объеме, превышающем спрос в пределах этого этапа, и хранить запасы «лишней» продукции, используя их для удовлетворения последующего спроса. Продолжительность изготовления партии изделий будем считать пренебрежимо малой (однако это требование может быть изменено в соответствии с особенностями технологического процесса). Цель предприятия – выработать такую программу производства, которая обеспечила бы минимальные затраты на изготовление и хранения продукции.

     Введем  обозначения:

     x_t – число изделий, изготовленных в t-м месяце (этапе);

     y_t – уровень запасов на конец t-го месяца;

     d_t – спрос на изделие в t-м месяце;

     f_t(x_t, y_t) – затраты на производство и хранение изделий в t-м месяце.

     Соотношение материального базиса примет вид

              (43)

     т.е  уровень запасов на конец t-го этапа равен сумме уровня запасов на начало t-го и объема производства на t-м этапе за вычетом спроса на t-м этапе.

     Данное  балансовое соотношение можно записать и в другом виде:

              (44)

     Наша  задача состоит в том, чтобы составить  такой план производства

     X = (x₁, …,x_n), или, что тоже самое, найти такой план хранения запасов Y = (y₁, …,y_n), который обеспечил бы минимальные суммарные затраты предприятия

                (45)

     за  весь плановый период.

     Введем  ограничения на переменные x_t, y_t. Будем считать объемы производства и уровни хранения на каждом этапе неотрицательными и целочисленными величинами. Кроме того, предположим, что уровни запасов к началу первого этапа y₀ и к концу последнего y_n заранее известны.

     Решим сформулированную задачу методом динамического  программирования. В качестве параметра состояния ζ примем уровень запасов на конец k-го этапа

      .           (46)

     Функцию составления  определим как минимальные затраты за первые k месяцев, т.е.

      .        (47)

     Здесь абсолютный минимум берется по всем значениям x₁, …,x_k, удовлетворяющим балансовым уравнениям:

              (48)

              (49)

     При k = 1 соотношение (49) примет вид

                (50)

     или

      .          (51)

     Тогда с учетом (46) и (51) функция состояния

      ,      (52)

     причем  если не видно никаких ограничений на объем складских помещений и производственную мощность предприятия, то

      ,

      .       (53)

     Это связано с тем обстоятельством, что если иметь на конец 1-го этапа  запас изделий в качестве , то, ничего не изготовляя в течение всего планового периода, а только удовлетворяя спрос, можно выйти на уровень запасов y_n в конце n-го месяца. В то же время если уровень запасов на начало 1-го этапа равен y₀, то, изготовив в 1-м месяце изделий в количестве и не производя ничего на последних этапах, получим тот же запас y_n в конце планового периода. Если же на 1-м этапе предприятие может вместить готовой продукции не более М₁ изделий, а мощности предприятия не позволяют произвести более N₁ изделий, то

      ,

      .      (54)

     Получим рекуррентное соотношение динамического  программирования в модели управления запасами при любом k = 2, …,n.

     Запишем функцию состояния (47) в виде

      .    (55)

     Здесь, как уже было сказано выше, все  переменные связаны балансовыми уравнениями

      .        (56)

     В связи с тем что величина запаса y_k-1 к концу (k – 1)-го планового этапа с учетом (49) равна , имеем следующее рекуррентное соотношение динамической модели управления запасами:

      .      (57)

     Если  внешних ограничений на уровни хранения и объемы производства не существует, то по аналогии с (53) получаем внутренние ограничения модели

      ,

      .       (58)

     Если  складские емкости и производственные мощности предприятия ограничены количеством  изделий M_k и N_k соответственно, то аналогично соотношениям (54) имеем

      ,

      .      (59)

     На  самом деле ограничения (58) и (59) имеют более сложную структуру. Однако для решения практических задач этого вполне достаточно. Напомним лишь о том, что переменные x_k и y_k целочисленны и не отрицательны.

     Рассмотрим  теперь функцию затрат . Введем следующие обозначения:

     g_t – затраты на производство и доставку заказа на t-м этапе;

     c_t(x_t) – затраты на производство x_t единиц продукции на t-м этапе;

     h_t(y_t) – затраты на хранение y_t единиц продукции в течение t-го планового этапа.

     Для определенности будем считать, что  производственные затраты линейны, т.е. c_t(x_t) = c_tx_t, и что затраты на хранение пропорциональны объему хранимой продукции в течении месяца. Далее, уровень (объем) хранения в течение этого месяца определяется уровнем хранения на конец этапа. Иными словами, поскольку время изготовления партий изделий пренебрежимо мало, а производить и отправлять заказчикам продукцию предприятию выгодно вначале каждого месяца, то уровень хранимого имущества в течение t-го этапа определяется соотношением баланса . В итоге получаем .

     Функция затрат с учетом выведенных обозначений  примет вид

            (60) 
 

 

Раздел 2. Практическая часть 

     Как и всякое моделирование, экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объекта посредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простого и доступного объекта, его модели.

     Практическими задачами экономико-математического моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов; во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведения отдельных показателей; в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления¹².

     С помощью математических методов  можно выработать правила управления запасами. Если для решения задач  управления запасами применяются математические методы, то исследуемую систему необходимо описать с помощью математической модели. 

 

      2.1 Нахождение оптимальных размеров заказываемой партии, интервал между заказами и общих среднесуточных издержек 

     На  склад цемент доставляют на багаже. Накладные расходы на запуск производства цемента и доставку его на склад  равны 1960 руб. Издержки хранения 1 т цемента в течение суток составляют 10 коп. Найти оптимальные: размер заказываемой партии цемента, интервал времени между заказами поставок, среднесуточные общие издержки, если поставки осуществляются без задержки – мгновенно, а дефицит не допускается.

     Исходные  данные задачи: µ = 50т/сут, g = 1960 руб.,/(т·сут), h/p = 0, _= 0.

     Для решения задачи используем формулы  Уилсона (14) – (16), оптимальный размер заказываемой партии:

     

     Интервал  между заказами:

     

     Общие среднесуточные издержки:

       

 

      2.2 Нахождение оптимальных нижнего и верхнего критических уровней запаса при равномерно распределенном спросе 

     Необходимо  рассчитать критические уровни и запасов в статистической модели управления запасами с равномерным распределением спроса

     

и мгновенной поставкой. Известно, что с = 0,1, h_T = 5, p_T = 10, g = 4.

     Рассчитаем  критическое число 

       

     Найдем  верхний уровень из соотношения (27):

     Нижний  критический уровень  найдем из уравнения (26):

     

     где

       

     С учетом исходных данных имеем 

       

     Далее вычислим И наконец, найдем нижний критический уровень как меньший корень уравнения 

       

     или, что одно и то же, 

       

     откуда 

     В соответствии со стратегией двух уровней  и :

     при z < 1,67 необходимо пополнить запас до уровня 3,3 единицы,

     при z ≥ 1,67 ничего заказывать не надо.  

 

     2.3 Нахождение верхнего и нижнего критических уровней при         дискретно распределенном спросе 

     Агропромышленное объединение планирует заказать несколько грузовых автомобилей на автопредприятии для уборки сельскохозяйственной продукции. Издержки, связанные с обслуживанием одного автомобиля (в том числе расходы на бензин и др.) в течение уборочного периода, оцениваются в 3 тыс. руб. Потери объединения в случае нехватки одного автомобиля составляют 9 тыс. руб. Накладные расходы при доставке автомашин на место и обратно (по железной дороге) равны 2 тыс. руб. Необходимое количество автомобилей – случайная величина (зависящая от урожая, погодных условий и др.) с рядом распределения