Применение экономико-математических моделей в задаче оптимального управления запасами

     

           (22)

     

     

     (здесь  учтено, что h_T(0) = υ(0) = 0) и приравниваем ее к нулю. Те решения , которым соответствует положительная вторая производная, дадут относительные минимумы N_T(z). В общем случае график зависимости затрат от запаса N_T(Y, z) для фиксированного z имеет несколько относительных минимумов (см. рисунок 2). 

                          Рисунок 2

     Обозначим через Y₁ абсциссу абсолютного минимума функции N_T(Y, z) а чрез Y₃, Y₅, Y₇, …– абсциссы следующих за ними справа относительных минимумов этой функции. Далее, пусть Y₂, Y₄, Y₆, … – точки , удовлетворяющие условиям

     Y₁ < Y₂ < Y₃ < Y₄ < Y₅ <…,

     N_T(Y₂) = N_T(Y₃),

     N_T(Y₄) = N_T(Y₅),

     N_T(Y₆) = N_T(Y₇) и т.д.

     Тогда оптимальная стратегия будет  иметь следующий вид:

     при z<Y₁ – заказывать количество товара Y₁ – z,

     при Y₁ ≤ z ≤ Y₂ – не заказывать,

     при Y₂ < z < Y₃ – заказывать Y₃ – z,

     при Y₃ ≤ z ≤ Y₄ – не заказывать и т.д.

     Вообще  при Y_2n+1 ≤ z ≤ Y_2n+2 выгодно воздержаться от заказа, а при Y_2n < z < <Y_2n+1 – заказать количество товара Y_2n+1 – z, n = 0, 1, 2, …; Y₀ = 0. Критические числа Y_i(I = 1,2, …) в общем случае могут зависеть от z.

     Приведем  достаточные условия. При совместимом выполнении которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, соответствующую единственному минимуму L_T9Y) + c(Y – z):

1. N_T(0, z) не является относительным минимумом, и

     

     т.е. заказ товаров уменьшает суммарные  расходы;

     2) N_T(Y, z) → при Y → ;

     3) уравнение  имеет не более одного вещественного корня.

     Условие (3) может быть выполнено, например, в  случае, когда  является монотонной функцией Y. Так, если h_T(Y – x) – υ(Y – z) и p_T(x – Y) – выпуклые вниз возрастающие функции, а c(Y – z) = c · (Y – z), где с – стоимость единицы товара, то первый интеграл в (3.2) будет монотонно возрастать, а второй – монотонно убывать по абсолютной величине , что обеспечивает монотонное возрастание Если при этом справедливы так же условия (1) и (2), то решение существует, причем оно единственно, а оптимальная стратегия пополнения объемов запасов U(z) имеет следующий вид: 

     

     При этом, так как  не зависит от z, величина так же не зависит от z.

     Заметим, что содержанием условия (1) является экономическая целесообразность создания запаса, а условия (2) – неэффективность чрезмерных запасов. Оба этих условия для большинства практических ситуаций.

     Следует отметить, что единственность решения  является достаточным, но не необходимым условием существования простейшей стратегии с одним критическим уровнем. Так, если крайний справа относительный минимум N_T(Y) в точке является и абсолютным минимумом этой функции, то независимо от числа корней оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

     при – заказывать количество товара

     при – не заказывать.

     Предположим теперь, что стоимость пополнения запаса равна g + c · (Y – z) при Y – z > 0 и нулю – при Y – z ≤ 0. Здесь g – накладные доходы на доставку товара.

     В этом случае заказ целесообразно производить лишь при

             (23)

     Если  имеет единственное решение, то, как видно из рисунка 3, иллюстрирующего определение нижнего критического уровня оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

     при – заказывать количество товара

     при – не заказывать.

     

     

                                       Рисунок 3

     Стратегия такого типа называется стратегией двух уровней  ¹⁰ Здесь и – нижний и верхний критические уровни запасов соответственно. 

     1.5 Расчет нормативных критических уровней запасов при вероятностном спросе и мгновенных поставках 

     В предыдущем подразделе приведены некоторые достаточно общие результаты относительно вида оптимальной стратегии управления запасами. С их помощью легко показать, что при линейных функциях затрат на хранение, транспорт и штрафы и суммарных затратах, подсчитываем согласно формуле (21) или ее аналогу для дискретного спроса, оптимальная стратегия описывается одним или двумя критическими уровнями.

     Таким образом, в рамках данной модели остается рассмотреть только способ расчета  этих уровней.

     При подсчете затрат по средним значениям  запаса и дефицита за период, а также при независимости штрафа от объема дефицита необходим дополнительный анализ структуры системы управления запасами, поскольку эти случаи в общем виде – при нелинейных функциях c(u), h_T(u) и p_T(u) – не исследованы. Ниже приводятся расчетные формулы для определения критических чисел оптимальных стратегий простейшего типа при линейных c(u), h_T(u) и p_T(u) для различных вариантов задачи об управлении запасами с пренебрежимо малой задержкой между заказом на восполнение запаса и поставкой. Попутно устанавливаются условия существования и единственности решения для функций затрат, отличных от (21).

     В модели управления запасами с мгновенной поставкой и функцией затрат типа (21) с пропорциональными составляющими расходы за период равны

     

             (24)

     Из  условия

     

     получаем  уравнение

                (25)

     для определения оптимального значения , где F(u) – интегральная функция распределения спроса за время Т, а отношение обычно называют критическим числом.

     Для решения нижнего критического уровня запасов  необходимо решить уравнение

            (26)

     Здесь – найденный с помощью соотношения (255) верхний критический уровень запасов. Расчет нижнего критического уровня в общем виде даже для известного распределения спроса представляет собой непростую задачу.

     Однако  если параметры распределения известны, то при нахождении можно избежать многих трудностей. Сейчас ограничимся нахождением верхнего уровня для различных распределений спроса.

     При равномерном распределении спроса

     

     соотношение (25) примет вид . Следовательно, оптимальный верхний уровень пополнения запасов для равномерного распределения спроса находится из соотношения

              (27)

     Для усеченного нормального распределения  спроса (х ≥ 0) с параметрами а и σ уравнение (25) превращается в

     

     где – функция Лапласа¹¹. Таким образом, верхний уровень находится из уравнения 

          (28) 

     В случае показательного распределения  спроса и для имеем 

              

     и

              (29)

     В случае дискретного распределенного  спроса

     

     Соответственно

     

     Вычислим  приращение расходов при увеличении запаса на единицу:

     

     Покажем существование и единственность оптимального значения , для чего исследуем знак приращения . При справедливо соотношение , при выполняется условие .

     Монотонность  функции  обеспечивает однократность смены знака приращения. Очевидно, выбор должен производиться из условия одновременного выполнения неравенств и , которые могут быть сведены к системе неравенств для определения верхнего уровня , имеющей вид

             (30)

     Нижний  критический уровень  найдем с помощью соотношения

             (31)

     аналогично (26).

     Таким образом, в качестве выбирается такое наименьшее целое значение z, при котором неравенство (31) выполняется последний раз. 
 

     1.4.2 Расчет планового объема поставок при вероятностном спросе с фиксированной задержкой поставки 

     Рассмотренные выше модели с вероятностным спросом  управлялись либо стратегией «двух  уровней» ,либо стратегией , когда заказ на пополнение запаса выдается через равные промежутки времени Т, а объем заказа – величина не постоянная, определяемая верхним уровнем . Переход к минимизации затрат за единицу времени по обоим параметрам стратегии обычно затруднен вследствие сложного характера зависимости распределения спроса от времени. В связи с этим при отсутствии регламентированной периодичности поставок удобно перейти к стратегии с нижним критическим уровнем и фиксированным объемом поставок.

     Предположим, что недостачи товара в модели случаются редко, средняя величина дефицита мала сравнительно с q, а время его существования значительно меньше среднего интервала между поставками (при достаточно высокой цене штрафа все перечисленные условия должна выполняться). При этих предположениях средний уровень запаса составит , а затраты на содержание – в единицу времени. В каждом периоде, кроме того, будут выплачиваться стоимость заказа g и штраф, среднее значение которого составит

     

     где f(x) – плотность распределения спроса за время между выдачей заказа (момент достижения ) и получением восполнения. Количество периодов в единицу времени, очевидно, равно . Следовательно, суммарные ожидаемые затраты в единицу времени могут быть подсчитаны следующим образом:

      .      (32)

     Приравнивая к нулю и , убеждаемся, что оптимальные параметры стратегии должны удовлетворять соотношениям

             (33)

     и

      .          (34)

     Указанная система уравнений легко расширяется  итерационным способом: задавшись начальным значением , представляют его в (34) и получают . Подстановка последнего в (33) дает и т.д. Процесс повторяется до тех пор, пока значения параметров в последовательных итерациях не окажутся достаточно близки друг к другу. Последняя пара значений и принимается за оптимальный набор параметров. Начальное значение целесообразно определять по формуле (14), т.е. следует положить .

     Начальное приближенное по своей величине обычно оказывается достаточно близким к конечному результату. Однако более строгим критерием качества приближенного решения является сравнение затрат. Оценим относительное увеличение затрат от неточного определения и при экспоненциально распределенном спросе за время задержки. При средней интенсивности спроса µ и задержке τ плотность распределения спроса за время τ равна , а математическое ожидание дефицита –

      .

     Отметим, что  . Следовательно, в нашем случае при оптимальном выборе q

      .       (35)

     Подставим этот результат в (17), для нахождения оптимального имеем уравнение