Применение экономико-математических моделей в задаче оптимального управления запасами

     Стоимость поставки:

• пропорциональные объему поставки;
• постоянная (независимо от объема и числа номенклатур);
• пропорциональная числу номенклатур в заявке;
• пропорциональная необходимому приросту интенсивности производства.

     Штрафы:

• пропорциональные средней положительной недостаче за период и продолжительности существования недостачи;
• пропорциональные положительной недостаче к концу периода;
• постоянные (при ненулевой недостаче);
• нелинейные функции средней недостачи и продолжительности существования недостачи или недостачи к концу периода.

     Ограничения в задачах управления запасами могут быть самого различного характера, например по таким показателям, как:

• максимальный объем запасов;
• максимальный вес;
• максимальная скорость;
• средняя стоимость;
• число поставок в заданном интервале времени;
• максимальный объем (вес, стоимость) поставки;
• доля требований, удовлетворяемых только после прибытия очередной поставки (детерминированный случай);
• вероятность недостачи (вероятностный случай).

     Стратегия управления запасами, т.е. структура  правила определения момента  и объема заказа, в практических приложениях обычно считается известной, и задача сводится к определению одной или нескольких констант (параметров стратегии)⁷. Примером подобной стратегии может быть следующая: если объем запасов z меньше критического уровня Y^*, то количество товаров, которое необходимо заказать, составляет Y^*-z; если же объем запасов z больше или равен Y^*, то ничего заказывать не надо.

     Необходимо  отметить, что область применения теории управления запасами отнюдь не ограничивается складскими операциями. В частности, под запасом можно подразумевать:

• наличие товара;
• рабочую силу, которую планируется использовать для выполнения определенного задания;
• размер капитала страховой, финансовой компании;
• емкость складских помещений;
• грузоподъемность транспортных средств;
• производственную мощность предприятия;
• численность персонала данной квалификации.

     Таким образом, при соответствующем переосмыслении элементов модели, методом теории управления запасами можно решать очень широкий круг задач оптимального планирования. Однако для удобства изложения мы сохраним снабженную терминологию.

     В заключение необходимо отметить, что  подстановка практических задач управления запасами, как правило, приводит к многономенклатурным ситуациям, необходимости совместного рассмотрения группы складов, случайным задержкам во времени. Все эти факторы существенно усложняют расчет оптимальных стратегий.

     Ситуация, однако, существенно упрощается при  выполнении каждого из следующих  условий:

     а) поставка предметов снабжения производится от независимых поставщиков;

     б) штрафы за недостачу либо суммируются  по всем номенклатурам, либо вообще отсутствуют;

     в) на выбор параметров стратегии управления запасами не наложено общих для групп  номенклатур ограничений или  такие ограничения не существенны;

     г) критерием качества организации снабжения для каждого склада служит сумма затрат на данном складе;

     д) отношение среднего квадратичного  отклонения задержки поставок к ее среднему значению мало.

     Выполнение  условий а, б и в позволяет  расчленить многономенклатурную задачу на однономенклатурные, благодаря условию г появляется возможность независимого рассмотрения каждого склада, а выполнение условия д обеспечивает приближенное сведение случайной задержки поставок к фиксированной (в частности, к нулевой).

 

3. Детерминированные модели управления запасами

 

     Рассмотрим  метод расчета параметров оптимальных  стратегий при детерминированном стационарном спросе на изолированном складе при следующих предложениях:

1. продолжительность планового периода неограниченна;
2. интенсивности спроса и поставок постоянны и равны µ и λ соответственно;
3. время и уровни запасов описываются непрерывными переменными;
4. накладные расходы на запуск производства постоянны и равны g;
5. затраты на содержание запасов и издержки, вызванные дефицитом, пропорциональны среднему уровню запасов и среднему уровню дефицита соответственно; h – стоимость хранения одного изделия в течении единицы времени; p – штрафные потери за нехватку одного изделия в течение единицы времени.

     

     

     Динамика  изменения уровня запаса при детерминированном спросе показана на рисунке 1.

        Рисунок 1 - Динамика изменения уровня запаса

     Полный  цикл работы склада имеет положительность  Т. Обозначим через предельный запас на складе. Считая расходы на хранение (и штрафы) пропорциональными среднему запасу (дефициту) и времени их существования, получаем следующее выражение для функции затрат за цикл: 
 

       

     Очевидно, что

     

     Максимальный  дефицит  _ выражается через как

     

     Подставим и , и получаем

      .

     Перепишем функцию затрат с учетом линейности изменения уровня запаса:

      .

     В развернутом виде

      ,

     оттуда  затраты в единицу времени

       (1)

     Найдем  частные производные от L₁ по и T и приравняем их к нулю:

             (2)

         (3)

     Совместимое решение этих уравнений дает для  оптимальных  и Т условия

               (4)

              (5)

     При этом достигается минимум затрат в единице времени

      .       (6)

     Момент  запуска производства определяется достижением наибольшего дефицита

            (7)

     Из  полученных соотношений как частные  случаи легко выводятся более известные формулы запасов.

     Так, например, при высоком штрафе можно  принять 

     При этом

              (8)

               (9)

             (10)

     а недостачи полностью исключаются ( _=0).

     Другой  частный случай соответствует высокой  интенсивности восполнения запаса – условие, типичное для поставок с вышестоящего склада, когда весь объем затребованной партии отгружается разом. В этой модели

              (11)

              (12)

              (13)

     Наиболее  широкое применение нашли формулы, выведенные при обоих рассмотренных допущениях (так называемые формулы Уилсона, полученные еще в 20-х годах)⁸:

              (14)

               (15)

               (16)

     Помимо  рассмотренных выше показателей  представляют интерес еще два  – объем заказываемой партии q и  точка заказа при задержке τ между заказом и началом поставки. Первый из них равен спросу µТ за период, так что для общего случая

              (17)

     а при µ/λ→0

              (18)

     В моделях с высоким штрафом  Точка заказа при задержке поставок определяется как –

     Входящие  в формулы данной бакалаврской экономические коэффициенты можно считать постоянными лишь в первом приближении – в некотором диапазоне объемов партий q. Так, цена заказа g и цена хранения h могут быть ступенчатыми возрастающими функциями q (при увеличении q, вероятно, потребуются дополнительные затраты на организацию производства, новые складские емкости). В подобных случаях необходимо задать некоторые априорное значение q₀ ( например, середину допустимого диапазона), рассчитать h(q₀) и g(q₀) и по приведенным выше формулам найти q₁.

     Если  h(q₀) = h(q₁) и g(q₀)= g(q₁), полученное значение q является окончательным. В противном случае вычисления повторяются при h(q₁) и g(q₁) и т.д. последовательные приближения, как правило, сходятся к искомому решению достаточно быстро.

     Практический  интерес вызывает задача определения  продажной цены изделия S с учетом зависимости от нее интенсивности спроса µ. Будем считать, что спрос обеспечивается полностью, а себестоимость единицы продукции составляет u. Используя (10), можно для дохода в единицу времени записать выражение

         (19)

     Максимальный  доход достигается при  или при

           (20)

     Решать  подобные уравнения удобно графически.

 

4. Стохастические модели управления запасами

 

     Простейшим  случаем управления запасами при  вероятностном спросе является однократное  принятие решения о пополнении запаса (если решение не принимается вообще, теряет смысл само принятие управления).

     Практическими примерами таких ситуаций являются все однократные процессы с относительно небольшой потребностью в материалах и оборудовании (некоторые виды строительства, обеспеченье испытательных работ), а снабжение потребителей в труднодоступных и удаленных районах⁹.

     Модель  этого вида может быть названа  статистической. 

     1.4.1Управление  запасами при случайном спросе и задержке в   поставках

     Структура оптимальных стратегий при вероятностном  спросе и мгновенных поставках товаров:

     Пусть z – запас к началу операции;

     Y – запас после его пополнения (очевидно, Y ≥ z);

     x ≥ 0 – случайный спрос за время Т операции;

     f(x) – плотность распределения спроса;

     c(Y – z) – расходы на пополнение запасов.

     Предполагается, что поставка производится до прихода первого требования и, следовательно, расходуется запас Y. Если к концу операции на складе осталось невостребованного товара ( Y – x) > 0 система снабжения несет избыточные расходы на хранение h_T(Y – x), но может частично компенсировать убытки продажей этого товара за υ(Y – x). При x ≥ Y справедливо соотношение υ(Y – x) = =h_T(Y-x) = 0. При не полном удовлетворении спроса x > Y, и только при этом условии склад платит штраф p_T(x – Y).

     Математическое  ожидание расходов на хранение и штрафы:

        (21)

     Общие же средние затраты на хранение, штрафы и пополнение запасов будут  равны

     

     Продолжим c(Y – z) аналитически в область Y – z < 0 и будем считать, что функция N_T(Y, z). Определена для Y ≥ 0 независимо от z. Найдем, при каком значении Y ≥ z величина L_T(Y, z) минимальна. Для этого вычислим производную