Типичные ошибки при выполнении ариф.действий и пути их предотвращения

5)неправильно определили  количество цифр в сумме: 

6) Допустили ошибки  при сложении чисел в пределах  десяти или с переходом через  десять: 

Во внеурочное время  учащиеся оформляют карточку №2 «Возможные ошибки при выполнении действия сложения». Несколько последующих уроков посвящяется  отработке алгоритма проверки действия сложения. Предлагаются такие задания: Исправь ошибки: 97062 + 194=

     

                  35678 + 1264 =

                                                   

                  56706 + 4624 =

                   53628 + 24628 = 

                  43640 + 1702 = 

2) Объясни решение: 
 
 
 
 

3) Придумай задания  с «ловушками» для своего соседа.

     Эффективность  данной работы во многом будет  зависеть, во-первых, от того, насколько  сам учитель готов последовательно  и регулярно включать эти задания  в ход урока, комментировать  их с точки зрения возможных  ошибок; во-вторых, от того , насколько  ученики осознанно выполняют  эти задания, понимая конечную  цель как можно меньше допускать  ошибок при выполнении письменных  вычислений. 

2.3. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ  ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ВЫЧИТАНИЯ НАД  МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ . РАБОТА  ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ.

     Как  показывают наблюдения, усвоение  уч-ся алгоритмов письменных вычислений  происходит с определенными затруднениями.  Аналогичные затруднения испытывают  учащиеся и при вычитании многозначных  чисел. Они, как правило , усваивают  общий алгоритм вычитания, но  затрудняются применять его в  частном случае, когда уменьшаемое в записи содержит нули.  Наблюдаются, например, такие ошибочные решения: 
 
 
 
 
 

     Несмотря  на то, что ошибки в первом  и втором примерах отличаются  от ошибок в третьем и четвертом  примерах, причина их возникновения  одна – неумение заменять единицу  высшего разряда единицами более  низшего разряда, т.е. учащиеся  затрудняются представлять один  десяток тысяч как 9 тысяч 9 сотен и 10 десятков. Они же раскладывают 1 десяток тысяч либо на 9 тысяч  9 сотен и 9 десятков, либо на 10 тысяч 9 сотен и 10 десятков, либо  на 10 тысяч 10 сотен и 10 десятков. Предупредить указанные ошибки  можно, если при изучении темы  «Нумерация многозначных чисел»  уделить особое внимание выполнению  упражнений по замене единиц  высшего разряда единицами низших  разрядов.

     Помимо  упражнений, данных в учебнике, необходимо  проводить подготовительную работу. Содержание ее может быть представлено  упражнениями вида:

1. Отсчитайте от  сотни палочек одну палочку,  две палочки.

2. Замените сотню  десятками и единицами .

3. Уменьшите 100, 300, 700 на 1, на 2, на 3.

4. Какое число  предшествует при счете числу  200, числу 700?

5. Замените 1000 сотнями  и десятками; сотнями, десятками  и единицами.

6. Замените десяток  тысяч тысячами и сотнями, тысячами, сотнями и десятками; тысячами, сотнями, десятками и единицами.

7. Замените сотню  тысяч десятками тысяч, тысячами  и сотнями.

8. Какое число  предшествует при счете числам 7000, 20000, 500000?

9. Уменьшите на 5 единиц 6000, 40000, 600000.

10. Вычислите:

    а) 1000 - 700   б) 100000 - 3    в) 10000 - 20                     1000 – 70         100000 -  30       10000 - 200   

      1000 – 7         100000 – 300       10000 - 2 

                  100000 – 3000

Наиболее трудные  случаи вычитания, такие как:

700 – 261 ,  70000 –  3257,  700000 – 302007,  701006 – 32057,  и т.д. изучаются в 4-ом классе. Этим объясняется целесообразность  продолжения и углубления подготовительной  работы, начатой в 3-ем классе. В качестве наглядной основы  используем счеты.

     Для  примера покажем один из вариантов  выполнения задания из учебника  математики, в котором требуется  отложить на счетах число 100 тысяч и определить, какое число  непосредственно предшествует ему  при счете. Здесь уместно сочетать  наблюдения учащихся за работой  учителя на демонстрационных  счетах с их практической работой  на индивидуальных.

     Предлагаем  отложить число 100 тысяч на  счетах (на шестой проволоке счетов  появляется одна косточка). Вспоминаем, как найти число, непосредственно  предшествующее какому-нибудь числу  при счете (отсчитать от него  единицу). Уточняем, на какой проволоке  счетов откладываются единицы  (на первой). Задаем вопрос, как  с шестой проволоки попасть  на первую, чтобы отсчитать единицу.  При затруднении предлагаем учащимся спускаться постепенно с проволоки на проволоку. Чтобы спуститься с шестой проволоки на пятую, заменяем 100 тысяч, т.е. 1 сотню тысяч на  10 десятков тысяч, и 10 косточек  откладываем на пятой проволоке.

     Из  десятков тысяч 9 тысяч (т.е. 9 косточек) оставляем, а 1 десяток тысяч  (т.е. одну косточку) заменяем десятью  единицами тысяч и откладываем  десять косточек на четвертой  проволоке.  Продолжая аналогично  рассуждать и откладывать косточки  на счетах, мы получаем на первой  проволоке  10 косточек (10 единиц). Обращаем  внимание на то, что 1 сотню  тысяч мы заменили на 9 десятков  тысяч 9 сотен 9 десятков и 10 единиц. Отсчитываем 1 единицу (сбрасываем  с первой проволоки счетов  одну косточку), остается 9. Теперь  читаем число, которое отложилось  на счетах:  девятьсот девяносто  девять тысяч девятьсот девяносто  девять. (999999).

     Продолжением  такой работы является выполнение  задания, где требуется назвать  и записать, между какими числами  встречается при счете каждое  из следующих чисел:   100  1000  10000  100000

                                      300  800  30000  700000

Наблюдения показывают, что учащиеся сравнительно легко  справляются с присчитыванием единицы, нахождением последующего числа  и затрудняются при отсчитывании (нахождении предшествующего). Целесообразно  и в этом случае обращаться к счетам.

     Кроме  того, снизить уровень указанных  трудностей помогает ориентация  на осознание учащимися как  общего алгоритма вычитания, так  и особенностей его применения  в рассматриваемых частных случаях.

    Поэтому  надо учить детей сопровождать  вычисления подробными пояснениями,  показывающими, что , в какой  последовательности и для чего  нужно делать. Покажем характер  таких пояснений на следующем  примере.

     Пусть  требуется из 701006 вычесть 32057. 

Из единиц мы не можем  вычесть 7 единиц, поэтому обратимся  к высшим разрядным единицам, чтобы, заменив их на низшие, получить простые  единицы. Так как в уменьшаемом  десятков 0 и сотен 0, возьмем 1 тысячу (ставим над разрядом тысяч точку) и заменим ее девятью сотнями  девятью десятками и десятью  единицами (ведь из тысяч нужно выделить единицы).

     К 10 единицам прибавим 6, получим 16 единиц. 

     Из 16 единиц  вычтем 7 единиц, получим 9 единиц, которые  записываем под единицами. Далее  аналогично из 9 десятков вычитаем 5 десятков и из 9 сотен вычитаем 0 сотен. 
 

Теперь нужно вычитать тысячи, но тысяч осталось 0 (из 0 тысяч  нельзя вычесть 2 тысячи),и десятков тысяч в уменьшаемом тоже 0, поэтому  возьмем из 7 сотен тысяч 1 сотню  тысяч (ставим над этим разрядом точку)и  заменим ее девятью десятками  тысяч и десятью тысячами, так  как из сотен тысяч нужно выделить тысячи. Вычитаем из 10 тысяч 2 тысячи, из 9 десятков тысяч 3 десятка тысяч  и результаты пишем под соответствующими разрядами. Сотен тысяч у нас  осталось 6, из них ничего не вычитается, поэтому число 6 записываем под сотнями  тысяч.

     По  мере усвоения приема вычитания  учащиеся постепенно переходят  от подробных рассуждений к  более кратким. Они поясняют  лишь те шаги алгоритма, которые  могут затруднить их при вычитании.  Сокращение пояснения к его  решению таковы: из 6 единиц мы  не можем вычесть 7, поэтому  берем 1 тысячу и заменяем ее  девятью сотнями девятью десятками  и десятью единицами. Из 16 вычитаем 7, получаем 9, из 9 десятков вычитаем 5, получаем 4, из 9 сотен вычитаем 0, получаем  9. Из 0 тысяч нельзя вычесть 2. Берем  1 сотню тысяч и заменяем ее  на 9 десятков тысяч и 10 тысяч.  Из 10 вычитаем 2, получаем 8, из 9 вычитаем 3, получаем 6. Оставшиеся 6 сотен тысяч  записываем в результат.

     И, наконец,  ограничиваемся лишь следующими  пояснениями: из 16 вычитаем 7, получаем 9, из 9 вычитаем 5, получаем 4 и т.п.

     Таким  образом, предлагаемая система  подготовительных упражнений с  методикой их выполнения и  последовательность работы по  изучению приема вычитания многозначных чисел с нулями в уменьшаемом обеспечивает формирование навыков осознанных и быстрых вычислений указанного вида.

     Учащиеся  установили следующие возможные   ошибки при выполнении действия  вычитания с многозначными числами,  фиксируя их в модели:

1) Ошибка при записи  примера в столбик: 

2) Ошибка в постановке  знака: 

3)Знак поставили  правильно, но выполняют действия  сложения: 

4) Неправильно обозначили  разряд, из которого «занимали» (забыли, что «занимали»): 

5) Неправильно обозначили  количество цифр в разности: 

6) Допустили ошибки  при вычислениях в пределах 10, с переходом через 10: 

     Оформляется  карточка №3 «Возможные ошибки  при выполнении действия вычитания» . (см. приложение).

Отрабатывая алгоритм  проверки действия вычитания, учащиеся выполняют задания включающие «ловушки»:

1) Реши примеры:

  2) Реши примеры с объяснением:

      5678 – 322 =    67452 – 7428 = 
 

3) Объясни решение: 
 
 
 
 

4) Не вычисляя, определи, сколько цифр будет в разности: 
 

5) Закончи запись  примеров: 
 

6) Придумай примеры  по схемам: 
 
 

7) Придумай задания  с  «ловушками».

     Учащимся  нравится придумывать задания  с «ловушками» и самим находить  «ловушки». 

2.4. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ  ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УМНОЖЕНИЯ НАД  МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. РАБОТА  ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ. 

     Освоив  способ умножения многозначных  чисел, дети приступают к выявлению  ошибок, которые можно допустить  при выполнении этого сложного  арифметического действия. К этому  времени учащиеся умеют анализировать  примеры, у них отработан механизм проверки чисел при списывании, алгоритм проверки действия сложения, которое необходимо выполнять при умножении многозначных чисел. Задание не из легких, но оно понятно детям. На уроке создается доброжелательная атмосфера сотрудничества. В процессе творческой работы учащиеся, испытывающие какие-либо затруднения, могут обратиться к учителю за помощью, за поддержкой, если не находят этого в группе.

     Первые  три ошибки, которые возможны  при выполнении данного действия, фиксируются детьми достаточно  быстро, так как они аналогичны  ошибкам, возможным при выполнении  действий сложения и вычитания:

1) Ошибка при записи  чисел в столбик: 

2) Заменили знак  умножения знаком сложения (не  исключены и другие знаки): 

3) Поставили знак  умножения , а выполнили действие  сложения: 

     Последующие  действия учащиеся показывают, насколько  хорошо они усвоили тему «Умножение  многозначных чисел», умеют ли  применять приобретенные знания  при решении различных практических  и учебных задач. При выполнении  данного задания происходит также  совершенствование знаний, умений  и навыков по темам: «Умножение  многозначных чисел» и «Сложение  многозначных чисел».

4)Умножение только  на единицы, забыв на десятки,  сотни и т.д. 

5) Неправильно записали  неполные произведения: 

     Ошибки  в письменном умножении на  двузначное и трехзначное число,  обусловленные неправильной записью  неполных произведений, например: 
 
 

Для предупреждения таких ошибок необходимо, чтобы ученики  хорошо усвоили, почему второе неполное произведение начинаем подписывать  под десятками. С этой целью на этапе ознакомления с приемом  надо добиться, чтобы ученики, выполняя умножение, давали развернутое объяснение. Так, при решении приведенного примера  они рассуждают: «Теперь буду умножать 564 на 30; для этого 564 умножу на 3 и  результат на 10; при умножении  на 10 приписывают справа нуль под  единицами; умножаю на 3; четыре умножаю  на 3, получится 12, два пишу на месте  десятков, а 1 запоминаю» и т.д.  На этапе закрепления знания приема ученики  не пишут нуль на месте  единиц второго неполного произведения, но говорят: «Нуль не пишу, а умножаю 4 на 3 и подписываю под десятками».