Типичные ошибки при выполнении ариф.действий и пути их предотвращения

1.3. Теоретические  основы формирования алгоритма  письменного приема сложения, вычитания,  умножения и деления.

    

     Рассмотрим  теоретические основы выполнения  письменного сложения.

     Сложение  однозначных чисел можно выполнить,  основываясь на определении этого  действия, но чтобы всякий раз  не обращаться к определению,  все суммы, которые получаются  при сложении однозначных чисел,  записывают в особую таблицу,  называемую таблицей однозначных  чисел, и запоминают.

     Естественно,  смысл сложения сохраняется и  для многозначных чисел, но  практическое выполнение сложения  происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно  находят, выполняя сложение столбиком.

Например,              

      

    

Выясним, каким образом  возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

     Представим  слагаемые 341 и 7238 в виде суммы  степеней десяти с коэффициентами:

341 + 7238 = (3 х10² + 4 х 10 + 1) + (7 х 10³ + 2 х 10² + 3 х 10 + 8)

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами  и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом  с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить  на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:   3 х 10² + 4 х 10 + 1 + 7 х 10³ + 2 х 10² + 3 х 10 + 8

На основании свойства коммутативности поменяем местами  слагаемые:

                 7 х 10³ + 3 х 10² +2 х 10² +4 х 10 + 3 х 10 + 1 + 8

Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:

            7 х 10³ + ( 3 х 10² + 2 х 10²) + ( 4 х 10 + 3 х 10) + (1 + 8) 

Вынесем за скобки в  первой выделенной группе число  10²   , а во второй -  10       . Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

            7 х 10³ + (3 + 2) х 10² + (4 + 3) х 10 + (  1 + 8 )                                               

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238  свелось к сложению однозначных чисел,  изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице  сложения:

            7 х 10³ + 5 х 10² + 7 х 10 + 9

Полученное выражение  есть десятичная запись числа 7579.

     Видим,  что в основе  алгоритма сложения  многозначных чисел лежат следующие  теоретические факты:

- способ записи  чисел в десятичной системе  счисления;

- свойства коммутативности  и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность  умножения  относительно сложения;

- таблица сложения  однозначных чисел.

     Не  трудно убедиться в том, что  в случае сложения чисел «с  переходом через десяток» теоретические  основы алгоритма сложения будут  теми же. Рассмотрим, например, сумму  748+436.

Представим слагаемые  в виде суммы степеней десяти с  соответствующими коэффициентами:

            (7 х 10² + 4 х 10 + 8) + ( 4 х 10² + 3 х 10 + 6)

Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения  относительно сложения и преобразуем  полученное выражение к такому виду:

            (7 + 4 ) х 10² + (4 + 3) х 10 + (8 + 6)

Видим, что в этом случае сложение данных чисел также  свелось к сложению однозначных  чисел, но суммы 7+4, 8+6 превышают 10 и поэтому  последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним  ряд преобразований. Сначала  сумму 8+6 представим в виде  1х10+4:

            (7 + 4) х 10² + (4 + 3) х 10 + (1 х 10 + 4)

Затем воспользуемся  свойствами сложения и умножения  и приведем полученное  выражение  к виду:  (7 + 4) х 10² + (4 + 3 + 1) х 10 + 4

Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде

1 х 10 + 1    ,получаем:  (1 х 10 + 1) х 10² + 8 х 10 + 4

Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184.

Следовательно, 748+436=1184

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа:

Х=A_П х 10^п + А_п-1 х 10^п-1 +… + А_о             и     У = в_п х10^п + в_п-1 х 10^п-1 + …+ в_о ,

т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел  х и у одинаково.

Х+У = (а_п  х 10^п + а_п-1 х 10^п-1 + …+ а_о) + (в_п х 10^п + в_п-1 х 10^п-1 +…+ в_о) = (а_п + в_п) х 10^п +

+(а_п-1 + в_п-1) х10^р-1 +…+ (а_о + в_о)

-преобразования  выполнены на основе свойств  ассоциативности сложения, а также  дистрибутивности умножения относительно  сложения. Сумму   (а_п+ в_п) х 10^п +

+(а_п-1 + в_п-1) х 10^п-1 + … + (а_о + в_о) ,

вообще говоря  ,нельзя рассматривать как десятичную запись числа  х+у, т.к. коэффициенты перед степенями  10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все  суммы  а_к + в_R     не превосходят 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее    R   , для которого aR +  вR ≥ 10.  

 Если aR + вR ≥10 , то из того, что 0 ≤ Ar ≤ 9  и 0 ≤ ВR ≤ 9 , следует неравенство  0≤ ≤ aR + вR ≤ 18 и поэтому а_R+в_R  можно представить в виде а_R + в_R = 10 + с_R  ,где 0 ≤ cR ≤ 9.

Но тогда (а_R + в_R) х 10^R = (10 + c_R  ) x 10^R =10^R+1c_R x 10^R

В силу свойств сложения и умножения в  (а_п + в_п) х 10^п + … + (а_о + в_о)

Слагаемые     (а_R+1 +в_R+1) x 10^R+1 + ( a_R+ в_R ) x10^R

могут быть заменены на   (a_R+1 + в_R+1 +1) x 10^R+1 +c_R x 10^R

После этого рассматриваем  коэффициенты а_п+в_п , а_п-1 + в_п-1 ,… , а_R+2 +в_R+1  ,а_R+1 +в_R+1 +1,

выбираем наименьшее      S   , при котором коэффициент больше  9, и повторяем описанную процедуру. Через     п   шагов придем к выражению вида:  х + у =

=(с_п + 10) х 10^п + … + с_о ,   где с_п  ≠ 0 ,  или х+у = 10^п+1 + с_п х 10^п +…+ с_о ,

и где для всех   п   выполняется равенство 0 ≤ С_п < 10.  Тем самым получена десятичная запись числа   х+у .

     В случае, когда десятичные записи слагаемых  имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему  меньшее количество цифр, несколько  нулей впереди, уровняв количество  цифр в обоих слагаемых. После  этого применяется описанный  выше процесс сложения. Он позволяет  сформулировать в общем виде  алгоритм сложения натуральных  чисел, записанных в десятичной  системе счисления.

1. Записывают второе  слагаемое под первым так, чтобы  соответствующие разряды находились  друг за другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде

  А_о+ в_о = 1 х 10 + с_о,  где  с_о  -однозначное число; записывают  с_о   в разряд единиц ответа и прибавляют  1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те  же действия с десятками, потом  с сотнями и т.д.  Процесс  заканчивается, когда оказываются  сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше  или равна десяти, то приписываем  впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым  слагаемым на1 и выполняем сложение  1+0=1

     Заметим,  что в этом алгоритме (как  и в некоторых других) для краткости  употребляется термин «цифра»   вместо «однозначное число, изображаемое  цифрой». 
 

                        АЛГОРИТМ  ВЫЧИТАНИЯ.

     Вычитание  однозначного числа в из однозначного  числа  А, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа   С, что В+С=А, и происходит  с учетом таблицы сложения  однозначных чисел.

     Если  же числа А и В многозначные  и  в < a   ,то смысл действия вычитания остается тем же , что и для вычитания в пределах  20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

     Рассмотрим  разность чисел  485  и  231. Воспользуемся  правилом записи чисел в десятичной  системе счисления и представим  данную разность в таком виде:

  485 – 231 = (4 х  10² + 8 х 10 + 5) – (2 х 10² + 3 х 10 + 1)

Чтобы вычесть из числа   4 х 10² + 8 х 10 + 5  сумму 2 х 10² + 3 х 10 + 1 , достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

  ( 4 х 10² + 8 х 10 + 5) – (2 х 10² + 3 х 10 + 1) = (4 х 10² + 8 х 10 + 5)- 2 х 10² – 3 х 10 - 1

Чтобы вычесть число  из суммы, достаточно вычесть его  из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому  число  2х10²   вычтем из слагаемого   4х10²    , число  3х10 - из слагаемого   8х10  , а число 1 –из слагаемого  5, тогда:  (4 х 10² + 8 х 10 + 5) – 2 х 10² – 3 х 10 – 1 = (4 х 10² – 2 х 10² ) +  (8 х 10 – 3 х 10)+                                                               

+ ( 5 – 1 )

Воспользуемся дистрибутивностью  умножения относительно вычитания  и вынесем за скобки   10²  и 10.  Тогда выражение будет иметь вид: (4 – 2 )х 10²+ (8 – 3) х 10 + +(5—1)

Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485  свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-3  и 5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение:  2 х 10² + 5 х 10 + 4   ,которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 – 231 =254 Выражение (4 – 2) х 10²+(8-3)х10+(5-1)     задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком: 

Видим, что вычитание  многозначного числа из многозначного  основывается на:

- способе записи  числа в десятичной системе  счисления;

- правилах вычитания  числа из суммы и суммы из  числа;

- свойстве дистрибутивности  умножения относительно вычитания;

- таблице сложения  однозначных чисел.

     Нетрудно  убедиться в том, что если  в каком-нибудь разряде уменьшаемого  стоит однозначное число , меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел   760 – 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде:  760 – 326 = (7 х 10² + 6 х 10 + 0) – (3 х 10² + 2 х 10 + 6)

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть  6, то выполнить  вычитание аналогичное тому, как  было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа  760 один десяток и представим его в виде  10 единиц – десятичная система счисления позволяет это сделать – тогда будем иметь выражение:

        (7 х 10² + 5 х 10 + 10) – ( 3х 10² + 2 х 10 + 6)

Если теперь воспользоваться  правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также  дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение  (7 – 3) х 10² + (5 – 2) х 10 + (10 – 6)  или 4 х 10² + 3 х 10 + 4

 Последняя сумма  есть запись числа  434  в десятичной  системе счисления. Значит, 

760 – 326 = 434

    Рассмотрим  процесс вычитания многозначного  числа из многозначного в общем  виде:

Пусть даны два числа  х = а_п х 10^п + а_п-1 х 10^п-1+…+а_о  и у = в_п х 10^п + в_п-1 х10^п-1+…+в_о