Типичные ошибки при выполнении ариф.действий и пути их предотвращения

Известно также , что   у<x    .Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что х – у = (а_п – в_п) х 10^п + (а_п-1 – в_п-1 ) х 10^п-1 + … + (а_о – в_о )

Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех   R   выполняется условие aR ≥ вR  . Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее  R  , для которого  a_R < в_R  . Пусть   m   - наименьший индекс, такой, что    m >   R  и a_m ≠ 0, а a_m-1 = … = a_R+1=0.  Имеет место равенство

A_m x 10^m = (a_m – 1) x 10^m + 9 x 10^m-1 + …+9 x 10^R+1 + 10 x 10^R  (например, если  m=4, R =1, a_m = 6, то 6х10⁴ = 5 х 10⁴ + 9 х 10³+ 9 х 10² + 10 х 10).

Поэтому в равенстве (1) выражение  (a_m – в_m) x 10^m + … +(a_R - в_R ) x 10^R

Можно заменить на (a_m – в_m – 1 ) x 10^m + (9- в_m-1 )x 10^m-1 + …+ (9 – в_R+1 )x 10^R+1 + (a_R + 10 – в_R ) x 10^R

Из того , что  a_R < в_R < 10 , вытекает неравенство  0<10 + a_R – в_R < 10  а из того, что   0≤ в_s ≤ 9 , вытекает неравенство 0 ≤ 9 – в_s <10  где R + 1 ≤ s ≤ m – 1.     Поэтому в записи х – у = (а_п – в_п ) х 10^п + …+ (а_m – в_m – --1)x10^m + (9 – в_m-1 ) x 10^m-1 + …+ (9 – в_R+1 ) x 10^R+1 + ( a_R + 10 – в_R ) x10^R + … + (a_o – в_о ) все коэффициенты с индексом, меньшим   m    , неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам   а_п – в_п ,… , а_m – в_m – 1, через  п   шагов придем к записи разности  х-у в виде х – у = с_п х 10^п + с_п-1 х 10 ^п-1 + … +с_о  ,где для всех  R  выполняется неравенство 0 < c_R < 10.  Если при этом окажется,  что   c_п = 0 , то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.

     Описанный  процесс позволяет сформулировать  в общем виде алгоритм вычитания  чисел в десятичной системе  счисления.

1. Записываем вычитаемое  под уменьшаемым так, чтобы  соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в  разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра  единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е в_o > a_o ,

а цифра десятков отлична от нуля, то  уменьшаем  цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на  10, после чего вычитаем из числа 10 + а_о  число  в_о    и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц  вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д.  уменьшаемого,  равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на  1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на  9, а цифру в разряде единиц на  10: вычитаем в_о  из  10 + а_о ,  записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем  разряде повторяем описанный  процесс.

6. Вычитание заканчивается,  когда производится вычитание  из старшего разряда уменьшаемого. 

        АЛГОРИТМ  УМНОЖЕНИЯ. 

     Умножение  однозначных чисел можно выполнить,  основываясь на определении этого  действия. Но чтобы всякий раз  не обращаться к определению,  все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

     Естественно,  что смысл умножения сохраняется  и для многозначных чисел, но  меняется техника вычислений. Произведение  многозначных чисел, как правило,  находят, выполняя умножение столбиком,  по определенному алгоритму. Выясним,  каким образом возникает этот  алгоритм , какие теоретические факты  лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком  428  на  263.

Видим, что для  получения ответа нам  пришлось

умножить  428 на 3 ,  6  и  2, т.е. умножить

многозначное число  на однозначное; но, умножив

на 6, результат записали по особому, поместив единицы

числа 2568 под десятками  числа 1284, так как умножали на 60 и  получили число 25680, но нуль в конце  записи опустили.  Слагаемое 856 –  это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

     Итак, чтобы выполнять умножение многозначного  числа на многозначное, необходимо  уметь:

- умножать многозначное  число на однозначное и на  степень десяти;

- складывать многозначные  числа.

     Сначала  рассмотрим умножение многозначного  числа на однозначное. Умножим,  например, 428 на 3. Согласно правилу  записи чисел в десятичной  системе счисления 428 можно представить  в виде   4 х 10² + 2 х 10 + 8  и тогда 428 х 3 = (4 х10²+ 2 х 10 + 8  )х3.  На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки:  (4 х 10² ) х 3 + (2 х 10) х 3 + 8 х 3

Произведения в  скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных  чисел: 12 х 10² + 6 х 10 + 24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение  12 х 10² + 6 х 10 + 24

-коэффициенты перед  степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число  12 в виде  1 х 10 + 2 , а число 24 в виде  2 х 10 + 4 . Затем в выражении  (1 х 10 + +2) х 10² + 6 х 10 +(2 х 10 + 4) раскроем скобки: 1 х 10³ + 2 х 10² + 6 х 10 + 2 х 10 + 4  На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые  6 х 10  и  2х10  и вынесем 10 за скобки:  1 х 10³ + 2 х 10²+ (6 + 2) х 10 + 4  . Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения:

                  1 х 10³ + 2 х 10² + 8 х 10 + 4

Полученное выражение  есть десятичная запись числа 1284, т.е.  428 х 3 = 1284.

     Таким  образом, умножение многозначного  числа на однозначное основывается  на :

- записи чисел  в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения  и умножения;

- таблицах сложения  и умножения однозначных чисел.

     Введем  правило умножения однозначного  числа на однозначное в общем  виде Пусть требуется умножить  х = а_п х 10^п + а_п-1 х 10^п-1 + …+ а_о на однозначное число  У:      Х х У = ( а_п х 10^п + а_п-1 х 10^п-1 +…+ а_о ) х У = (а_п х У) х 10^п + (а_п-1 х У)х 10^п-1 + … + а_о х У , причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения   а_R x У, где 0 ≤ R ≤ п ,

 соответствующими значениями а_R х У = в_R х 10 + с   и получаем:

Х х У = (в_п х 10 + с_п ) х 10^п + (в_п-1 х 10 + с_п-1 ) х 10^п-1 +…+ ( в₁ х 10 + с₁ ) х 10 +( в_о х 10 + с_о ) =в_п х 10^п+1 + (с_п + в_п-1 ) х 10^п + …+ ( с₁ + в_о ) х 10 + с_о

По таблице сложения заменяем суммы  с_R + в_R-1   ,где   0 ≤ R ≤ п    и    R = 0, 1, 2, …,п , их значениями.

Если, например,  с_о   однозначно, то последняя цифра произведения равна  m   а к скобке   (с₁ + в_о ) надо прибавить  1 .Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа   Х х У.

     Описанный  процесс позволяет сформулировать  в общем виде алгоритм умножения  многозначного числа а_па_п-1 …а₁а_о на однозначное число У.

1. Записываем второе  число под первым.

2. Умножаем цифры  разряда единиц числа Х на число У. Если произведение меньше10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение  цифр единиц числа Х на число У больше или равно 10, то представляем его в виде 10_q1 + c_o  , где  c_o  -однозначное число; записываем c_o    в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ -перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры  разряда десятков на число  У, прибавляем к полученному  произведению число  q₁ , и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения  заканчивается, когда окажется  умноженной цифра старшего разряда.

     Как  известно, умножение числа Х на  число вида 10^R сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа R  нулей.

Покажем это. Умножим  число   Х = а_п х 10^п + а_п-1 х 10^п-1 +…+ а_о  на 10^R : ( а_п х 10^п + а_п-1 х 10^п-1 +…+а_о ) х 10^R = a_п х 10^п+R + а_п-1 х 10^п+R-1 + …+ a_o x 10^R

Полученное выражение  является суммой разрядных слагаемых  числа 

А_па_п-1 …а₁а_о0…0  ,т.к. равно а_п х 10^п+R + a_п-1 х 10^п+R-1 +…+a_o x 10^R + 0 x 10^R-1 + 0 x 10^R-2 + … +0 x 10 + 0  Например  ,    347 х 10³ = (3 х 10² + 4 х 10 + 7) х 10³ = 3 х 10⁵ + 4 х 10⁴ + 7 х 10   ³= 3 х 10⁵ +4 х 10⁴+ 7 х 10³ +0 х 10² + 0 х 10 + 0 = 347000

Заметим еще, что  умножение на число У х 10^R  , где У – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число У и на число  10^R . Например,

52 х 300 = 52 х (3 х  10² ) = ( 52 х 3 ) х 10² = 156 х 10² = 15600

     Рассмотрим  теперь алгоритм умножения многозначного  числа на многозначное. Обратимся  сначала к примеру, с которого  начинали, т.е. к произведению 428 х 263

Представим число 263 в виде суммы  2 х 10² + 6 х 10 + 3  и запишем произведение 428 х (2 х 10² + 6 х 10 + 3) . Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно  428 х (2 х 10² ) + 428 х (6 х 10) + 428 х 3  Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим:( 428 х 2) х 10² + (428 х 6)х х10+428х 3    Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные  числа 2,  6 и 3, а также на степени 10.

     Рассмотрим  умножение многозначного числа  на многозначное в общем виде. Пусть Х и У – многозначные  числа, причем   у=в_m x 10^m + в_m-1 x 10^m-1 +…+в_о

В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а  также ассоциативности умножения  можно записать:  Х х У = Х х(в_m x 10^m +в_m-1 x 10^m-1 +…+ в_о) =( Х х в_m ) x 10^m + (X x в_m-1) x 10^m-1 +…+ Х х в_о

Последовательно умножая  число Х на однозначные числа   в_{m ,} в_m-1 ,…, в_о , а затем на 10^m  , 10^m-1 , 1, получаем слагаемые, сумма которых равна    Х х У   Приходим к алгоритму умножения числа Х= а_па_п-1 … а₁а_о   на число  У = в_mв_m-1 …в₁ в_о

1. Записываем множитель  Х и под ним второй множитель  У.

2. Умножаем число  Х на младший разряд   в_о числа У и записываем произведение       Х х в_о  под числом У.

3. Умножаем число  Х на следующий разряд   в₁   числа У и записываем произведение Х х в₁  , но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению  Х х в₁   на 10.

4. Продолжаем вычисление  произведений до вычисления   Х х в_R

5. Полученные  R + 1 произведения складываем.

     Изучение  алгоритма умножения многозначных  чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии  с выделенными этапами. Различия  имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения  многозначного числа на однозначное  пишут:

428 х 3 = ( 400+ 20 + 8) х  3 = 400 х 3 + 20 х 3 + 8 х 3 =1200 + 60 + 24 = 1284

Основой выполненных  преобразований являются:

- представление первого  множителя в виде суммы разрядных  слагаемых (т.е. запись числа  в десятичной системе счисления);

- правило умножения  суммы на число (или дистрибутивность  умножения относительно сложения);

- умножение «круглых»  (т.е. оканчивающихся нулями) чисел  на однозначное число, что сводится  к умножению однозначных чисел. 

      АЛГОРИТМ  ДЕЛЕНИЯ. 

     Когда  речь идет о технике деления  чисел, то этот процесс рассматривают  как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное  число  А на натуральное  число В – это значит найти  такие целые неотрицательные  числа q и r   ,