Типичные ошибки при выполнении ариф.действий и пути их предотвращения

Что  а = вq+r , причем 0 ≤ r < в.

Выясним сначала, как  осуществляется деление на однозначное  число. Если на однозначное число  делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица  умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как  9 х 6 = 54  . Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 – это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Таким образом, чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45 : 51 – 45 = 6.           Значит, 51 = =9 х 5 + 6  , т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком: 
 

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное , например, 378 на 4. Разделить 378 на 4  - это значит найти такое неполное частное   q  и остаток   r , что 378 = 4q + r  ,причем остаток  r  должен удовлетворять условию 0 ≤ r < в , а неполное частное q  - условию 4 q ≤ 378 < 4(q + 1).

     Определим,  сколько цифр будет содержаться   в записи числа  q  . Однозначным числом q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит ,не будут выполняться условия, сформулированные выше для  r и q . Если число q  двузначное, т.е. если  10<q<100  , то тогда  40<4q<400   и, следовательно, 40<378<400   что верно. Значит, частное чисел  378 и 4  - число двузначное.

     Чтобы  найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель  4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку  4 х 90 = 360 , а 4 х 100 = 400 , и 360<378<400, то неполное частное заключено между  числами 90 и 100, т.е.  q= 90 + q_o   . Но тогда должны  выполняться неравенства: 4 x (90 + q_o )≤ 378 < 4 x (90q + q_o + 1),

откуда  360 + 4q_o≤ 378 < 360 + 4 (q_o + 1)  и 4q_o ≤18 < 4 (q_o + 1).

Число   q_o  (цифра единиц частного),  удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения . Получаем,   что q_o = 4  и, следовательно,  неполное частное q = 90 + 4 = 94  Остаток находится вычитанием:   378 – 4 x 94 = 2

Итак, при делении числа  378 на 4 получается неполное частное  94 и остаток 2:

378 – 4 x 94 + 2.  Описанный процесс является основой деления  уголком: 
 
 

Аналогично выполняется  деление многозначного числа  на многозначное. Разделим, например,  4316 на 52. Выполнить это деление  -  значит найти такие целые  неотрицательные  числа  q  и r , что  4316 = 52q + r ,  0 ≤ r  < 52 , а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q ≤ 4316 < 52 (q + 1)

Определим число  цифр в частном  q . Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q - двузначное число), так как 520<4316<5200

Чтобы найти цифру  десятков частного, умножим последовательно  делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку  52 х 80 = 4160 , а 52 х 90 = 4680 , и   4160<4316<4680 , то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q= 80 + q_o . Но тогда должны выполняться неравенства:

      52 x (80 + q_o ) ≤ 4316 < 52 x (80 + q_o + 1),

      4160 + 52q_o≤ 4316 < 4160 + 52 x (q_o + 1),

      52q_o ≤ 156 < 52 x (q_o + 1).  

Число q_o (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором:  156  = 52 х 3 , т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.

     Приведенные  рассуждения лежат в основе  деления уголком: 
 

Обобщением различных  случаев деления целого неотрицательного числа А на натуральное число  В является следующий алгоритм деления  уголком.

1. Если А=В, то  частное  q = 1 , остаток  r = 0

2. Если  a > в , и число разрядов в числах А и В  одинаково, то частное   q  находим перебором, последовательно умножая В на 1,2,3,4,5,6,7,8,9, так как a<10в. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел А и В.

3. Если а >в  и число разрядов в числе А больше, чем в числе В, то записываем делимое А и справа от него делитель В, который отделяем от А уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) Выделяем в числе  А столько старших разрядов, сколько  разрядов в числе В или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы  они образовывали число d₁, больше или равное В. Перебором находим частное q₁  чисел d₁ и в ,последовательно умножая В на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q₁ под уголком (ниже В).

б) Умножаем В на q₁ и записываем произведение под числом А так, чтобы младший разряд  числа вq₁   был написан под младшим разрядом выделенного числа d₁ .

в) Проводим черту  под  вq₁ и находим разность  r₁= d₁ – вq₁

г) Записываем разность r₁ под числом вq₁ , приписываем справа к r₁  старший разряд из неиспользованных разрядов делимого А и сравниваем полученное число d₂ с числом В.

д) Если полученное число  d₂       больше или равно В, то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное  q₂  записываем после  q₁ .

е) Если полученное число  d₂  меньше В, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое  число d₃  , большее или равное В. В этом случае записываем после q₁  такое же число нулей. Затем относительно d₃    поступаем согласно  пп.1,2. Частное   q₂ записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа А окажется, что d₃ <в  то тогда частное чисел d₃     и    В  равно нулю, и этот нуль записывается последним к частному, а остаток  r = d₃ .      

                                                                                  ГЛАВА  2.  ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. ПУТИ ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ И ИСПРАВЛЕНИЯ.

2.1. ХАРАКТЕРИСТИКА   ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ   НАВЫКОВ.

     Одной  из главных задач обучения  младших школьников математике  является формирование у них  вычислительных навыков, поскольку  вычислительные навыки необходимы  как в практической жизни каждого  человека, так и в учении.

По мнению М.А.Бантовой вычислительный навык  -  это высокая  степень овладения вычислительными  приемами.  Приобрести вычислительные навыки – значит для каждого случая знать, какие операции и в каком  порядке следует выполнять, чтобы  найти результат арифметического  действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.

     Полноценный  вычислительный навык характеризуется  правильностью, осознанностью, рациональностью,  обобщенностью, автоматизмом и  прочностью.

ПРАВИЛЬНОСТЬ –  ученик правильно находит результат  арифметического действия над данными  числами, т.е. правильно выбирает и  выполняет операции, составляющие прием.

ОСОЗНАННОСТЬ  -  ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности  выбора операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это ,конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. Как буде показано далее, в процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться.

РАЦИОНАЛЬНОСТЬ  -  ученик, сообразуясь с конкретными  условиями  , выбирает для данного случая более рациональный прием, т.е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

ОБОБЩЕННОСТЬ  -  ученик может применить прием  вычисления к большему числу случаев, т.е. он способен перенести прием  вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшем образом связана с  осознанностью вычислительного  навыка, поскольку общим для различных  случаев вычисления будет прием, основа  которого – одни и те же теоретические положения.

АВТОМАТИЗМ  -  (СВЕРНУТОСТЬ) – ученик выделяет и  выполняет операции быстро и в  свернутом виде, но всегда может  вернуться к объяснению выбора системы  операций.

ПРОЧНОСТЬ  -  ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

     Процесс  овладения вычислительными навыками  довольно сложен: сначала ученики  должны усвоить тот или иной  вычислительный прием, а затем  в результате тренировки научиться  достаточно быстро выполнять  вычисления, а в отношении табличных  случаев – запомнить результаты  наизусть. К тому же в каждом  концентре изучается довольно  большое количество приемов, поэтому  естественно, что не все ученики  сразу усваивают их, часть допускают  ошибки.

     Мы  рассмотрим типичные ошибки учеников  при выполнении ими арифметических  действий в концентре «многозначные  числа», а также методические  приемы предупреждения и устранения  таких ошибок. 

2.2. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ  ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ СЛОЖЕНИЯ НАД  МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ.  РАБОТА  ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ.

     Освоив  все арифметические действия, поняв  и выуичв таблицы сложения  и умножения, овладев традиционными  способами проверки, дети все  же допускают достаточно большое количество ошибок при решении примеров. Такое положение можно исправить, если после изучения каждого арифметического действия несколько уроков посвятить конструированию «Справочника ошибкоопасных мест». Уроки желательно строить таким образом, чтобы дети не боялись рассуждать, давать самооценку своим действиям, показать свое непонимание.

     На  первом этапе учащимся предлагаем  подумать, какие ошибки можно  допустить при списывании математического  выражения с доски, с учебника, с карточки…

     Мы  выделили следующие виды ошибок:

1) замена арифметических  знаков при списывании математического  выражения;

2) ошибки в записи  чисел:

   а) 2567 вместо 2657 – перестановка цифр в числе;

   б) 256 вместо 2567 – пропуск цифры;

   в) 25567 вместо 2567 – запись лишней цифры;

   г) 2557 вместо 2567 – замена цифр.

Каждый ученик оформляет  карточку №1, перечисляя предполагаемые ошибки. (См.приложение).

     На  следующих уроках отрабатываем  алгоритм проверки чисел и  арифметических знаков в математических  выражениях.

     На  втором этапе учащиеся анализируют  примеры на сложение многозначных  чисел. Они отмечают такие ошибки, сопровождая свои рассуждения  моделью:

1) Ошибка в записи  чисел в столбик: 

Например, 

С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с  учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно  подписаны числа, поэтому сложили  десятки с единицами, сотни с  десятками, а надо числа подписывать  так, чтобы единицы  стояли под  единицами, десятки под десятками и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д.  Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка.»

2) Ошибка в постановке  знака: 

3) Знак «плюс», а  ученик вычитает: 

Эта ошибка особенно характерна для случаев: 

4) Забыли о переполнении  десятка; неправильно определили  количество единиц, прибавляемых  к единицам высшего разряда;  не прибавили к единицам высшего  разряда: 

Ошибки при выполнении письменного сложения , обусловленные  забыванием единиц того или иного  разряда, которые надо было запомнить, например: 

Предупреждению таких  ошибок также помогает обсуждение с  учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя – не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда.  Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением. Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен  рассуждать : «К девяти прибавить пять, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 – четыре, да 2, всего 6» и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение , что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, два запоминаем; 2 да 5 – 7, семь умножить на шесть, получится 42» и т.д.