Математические модели поведения производителей

     указывает на то, что будет обеспечен максимально  возможный уровень совокупной прибыли  отрасли в размере

     

           (52) 

     при монопольной цене

       (53) 

     Распределение рыночных долей с точки зрения максимизации совокупной прибыли отрасли значения не имеет. Однако существует проблема согласования решений между членами картеля. Поскольку в нашей модели фирмы идентичны по издержкам производства, логично предположить, что их рыночные доли будут одинаковыми, т.е.

     

           (54) 

     При этом члены картеля получают одинаковую прибыль в размере

     

           (55) 

     В принципе переговоры относительно распределения  рыночных долей могут быть проведены  на множестве комбинаций объемов  выпуска фирм. В случае максимизации совокупной прибыли отрасли предельная прибыль от производства дополнительной единицы продукции будет одинаковая (вне зависимости от того, кто  из членов картеля произведет эту  дополнительную единицу).

     Основная  проблема любого картельного соглашения - соблазн обмануть конкурента, т.е. нарушить соглашение и увеличить  собственную прибыль.

     Пусть в нашей модели вторая фирма честно соблюдает соглашение, в то время  как первая фирма решила его нарушить. Для аналитической версии модели это означает, что первая фирма  будет максимизировать свою прибыль (7) при нулевой предполагаемой вариации и фактически будет выбирать уровень своего выпуска в соответствии с линией реакции Курно (12).

     Ориентируясь  на уровень выпуска конкурента (54),соответствующий заключенному картельному соглашению, первая фирма выберет на линии реакции точку N, увеличив уровень своего выпуска до

       

           (56)

     Действительно, даже при понижении рыночной цены до уровня

        (57)

      увеличение  объема выпуска первой фирмы обеспечивает ей прибыль в размере

           (58) 

     что превышает равновесный уровень  прибыли картелированной фирмы  (55). В то же время, вторая фирма, честно соблюдавшая соглашение, окажется в проигрыше, уменьшив размер своей прибыли до уровня

     

           (59) 

     Таким образом, в нашей модели после  нарушения картельного соглашения фирма-нарушитель получит прибыль  в полтора раза большую, чем ее конкурент, и можно с уверенностью сказать, что картель неустойчив.

     З. Модели олигополии

     3.1 Модель олигополии Курно

     Стратегическое  взаимодействие фирм в условиях олигополии Курно можно проиллюстрировать, если обобщить аналитическую версию дуополии Курно для случая п фирм в отрасли.

     Пусть п фирм предполагают на рынке однородную продукцию в объемах q₁,q₂..q_n при предпосылках (1) - (3),где рыночный спрос Q складывается из объемов предложения всех фирм в отрасли, т.е.

     

           (3.1) 

     Каждый  олигополист решает задачу на максимум прибыли

     

           (3.2) 
 

     при нулевых предполагаемых вариациях. Тогда необходимое условие экстремума примет вид:

       (3.3) 
 

     Оно задает функцию реакции i-го олигополиста. Совокупность функций реакции образует систему из пуравнений с пнеизвестными, в результате решения которой можно найти равновесные уровни выпуска олигополистов по аналогии со случаем дуополии Курно.[2, 121]

     Однако  можно поступить проще. Ведь при  введенных предпосылках фирмы работают в одинаковых условиях, а значит, в условиях равновесия предлагают на рынок равные объемы производства q. Условия равновесия определяются прежде всего необходимым условием экстремума, поэтому можно просто подставить переменную q в уравнение (3.3)вместо каждой переменной q_i(или q_j- в зависимости от формы записи объема выпуска олигополиста). Условие (3.3)примет вид:

       (3.3) 

      откуда легко  определить равновесный уровень  выпуска олигополиста Курно:

           (3.4) 

     При этом олигополисты Курно обеспечивают рыночный спрос в объеме

        (3.5)

     при равновесной цене 

        (3.6) 

     что позволяет каждому из них получить максимальную прибыль в размере

        (3.7) 

     Анализ  параметров рыночного равновесия в  модели олигополии Курно показывает, что решение задачи для пфирм в отрасли обобщает отдельные случаи рыночного равновесия. Так, при п = 1 одна фирма контролирует рынок, получая монопольную прибыль при монопольной цене .

     При п = 2параметры равновесия соответствуют случаю дуополии Курно см. (14), (17) - (19). Очевидно, что с увеличением числа фирм на рынке отраслевой спрос удовлетворяется все в большем объеме при более низкой цене. При этом снижается уровень производства каждого отдельного олигополиста. Вместе с понижением цены это приводит к уменьшению объема получаемой прибыли.

     В результате при значительном увеличении числа фирм на рынке (при ) цена фактически опускается до уровня средних предельных издержек ( ), а уровень выпуска отдельной фирмы становится очень маленьким по сравнению с размерами рынка. Рынок олигополии Курно по всем параметрам превращается в рынок совершенной конкуренции, где фирмы не могут обеспечить себе положительную прибыль ( ).

     Если  не вводить предпосылки (2),(3),относительно издержек производства, то решение модели Курно в общем виде может быть затруднено. Важно то, что алгоритм решения останется прежним. Будут изменяться характеристики рыночного равновесия, но основные свойства сохранятся. Объемы выпуска олигополистов Курно будут в большинстве случаев различны, но цена останется выше предельных и средних издержек, и фирмы смогут обеспечить себе положительную прибыль.

     Однако  следует сделать существенную оговорку. Алгоритм поиска рыночного равновесия в модели олигополии Курно включает поиск решения системы из пуравнений с пнеизвестными, которая в большинстве случаев не будет линейной. Система уравнений далеко не всегда имеет решение. С другой стороны, она может иметь более одного решения.[5,78]

     Таким образом, возникает проблема существования  и единственности равновесного состояния  на рынке олигополии. Эта проблема в той или иной степени затрагивает  все модели олигополии по мере их усложнения. Кроме того, с усложнением моделей  возрастают трудности поиска равновесного решения. 
 

     3.2 Модель олигополии Бертрана

     Обобщение модели Бертрана для случая п фирм в отрасли фактически не изменяет основные характеристики равновесия на рынке. Логика процесса принятия решений при предпосылках (1)-(3)остается прежней.

     Таким образом, ценовая война будет  продолжаться до тех пор, пока цена не снизится до уровня предельных и  средних издержек. Олигополисты независимо друг от друга вынуждены будут установить одну и ту же цену ( ) обеспечивая рыночный спрос на уровне предложения на рынке совершенной конкуренции. Олигополисты Бертрана по-прежнему не смогут получить положительную прибыль и, следуя предпосылкам модели, в условиях равновесия разделяет рынок между собой. Доля предложения каждой фирмы на рынке составит п-ючасть рыночного спроса:

       (3.8) 
 

     Очевидно, что при одинаковом количестве фирм на рынке олигополист Бертрана в условиях равновесия предлагает на рынок больше продукции, чем олигополист Курно (достаточно сравнить (3.4)и (3.8)), а рыночный спрос удовлетворяется в большем объеме при более низкой цене.

     С увеличением числа фирм на рынке  изменяется только один параметр рыночного  равновесия: уменьшается доля предложения  каждой отдельной фирмы. В результате при значительном увеличении числа  фирм на рынке (при ) уровень выпуска отдельной фирмы становится слишком мал по сравнению с размерами рынка. В этом крайнем случае рынок олигополии Бертрана, как и рынок Курно, трансформируется в рынок совершенной конкуренции.

     Пусть две фирмы на рынке предлагают однородную продукцию, зная функцию  рыночного спроса (1), но имеют неравные условия по издержкам производства:

       (3.9) 

     где с₁, с₂ - положительные константы.

     Пусть для определенности c₁ меньше с₂. Таким образом, у обеих фирм предельные издержки по-прежнему равны средним, но у первой фирмы из уровень меньше (c₁<с₂).

     При данных предпосылках ценовая война  неизбежна. Предположим, что ценовая  война привела к понижению  цены до уровня средних издержек второй фирмы (c₂).Равновесие на рынке при такой цене не может быть достигнуто, поскольку первая фирма ещё способна получить выгоду от снижения цены.

     Допустим, что первая фирма назначит цену на уровне

        (3.10) 

     где .

     Верхняя граница изменения  существует, поскольку фирме невыгодно устанавливать цену ниже уровня средних и предельных издержек. Если цена, назначенная первой фирмой, выше её средних издержек (с₁), но ниже средних издержек фирмы-конкурента (с₂), то первая фирма сможет привлечь покупателей боле низкой ценой и получить положительную прибыль.

     Производственная  деятельность второй фирмы окажется убыточной. Продолжение ценовой  войны будет увеличивать убытки второй фирмы.

     Обобщая модель для случая nфирм в отрасли, можно сделать следующие выводы. При заданных условиях стратегического взаимодействия в выигрышной ситуации окажутся те фирмы, чей уровень средних и предельных издержек будет ниже. Следовательно, число фирм на рынке может сократиться.

     Равновесие  на рынке олигополии Бертрана также  не будет единственным и, в частности, может быть достигнуто, если одна или  несколько фирм смогут наладить безубыточное производство при одном и том  же уровне рыночной цены.

     3.3 Модель олигополии Стэкльберга

     При предпосылках (1) - (3)стратегическое взаимодействие по принципу «лидер-последователь» не выгодно для обеих фирм: характеристики равновесия во многом неудовлетворительны даже для лидера, и вряд ли кто-то из конкурентов захочет быть последователем. Обобщение модели дуополии Стэкльберга при таких предпосылках не поможет ответить на вопрос, почему из множества идентичных фирм только одна окажется лидером по объему выпуска.