Математические модели процессов

Содержание: 

Введение…………………………………………………………………………………..……..3

Основная  часть……………………………………………….………………………………….4

  1.1 Математические модели процессов…………………….………………………….4

2. Особенности симплексного метода…………………………………………….…12
3. Задача ………………….………………………………………………………...….16

Вывод…………………………………………………………………………………………....17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

          Актуальность проблемы.. Математические методы позволяют упорядочить  систему  экономической информации,  выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации  или ее корректировки. Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования  экономической информации, ориентированной  на  решение  определенной системы задач планирования и  управления.    Прогресс  в  информационном обеспечении планирования  и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.           Интенсификация и повышение точности экономических расчетов. Формализация экономических задач и применение ЭВМ  многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость,  позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве"ручной" технологии. Углубление количественного анализа экономических проблем. Благодаря  применению  метода  моделирования  значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа; изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная  оценка последствий изменения условий развития экономических объектов и т.п.

      Решение принципиально новых экономических задач.  Посредством математического моделирования  удается  решать  такие экономические задачи,  которые иными средствами решить практически невозможно,  например:  нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов.

    

      Задачи контрольной работы: 

1. Математические модели процессов

2. Особенности симплексного метода

3. Задача№20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.1  Математические модели процессов. 

     Математи́ческая моде́ль — это математическое представление реальности.

     Математическое  моделирование — процесс построения и изучения математических моделей.

     Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

     Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

     Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):

     1. находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

     2. способная замещать его в определенных отношениях;

     3 .дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте.

     По  учебнику Советова и Яковлева : «модель (лат. modulus — мера) — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» (с. 6) «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» (с. 6) «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»

     По  Самарскому и Михайлову , математическая модель — это «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д.» Существует в триадах «модель-алгоритм-программа». «Создав триаду „модель-алгоритм-программа“, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные „опыты“, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.»

     По  монографии Мышкиса : «Перейдем к  общему определению. Пусть мы собираемся исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта a с помощью математики (здесь термин объект понимается в наиболее широком смысле: объектом может служить не только то, что обычно именуется этим словом, но и любая ситуация, явление, процесс и т. д.). Для этого мы выбираем (как говорят, строим) „математический объект“ a' — систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т. д.,— исследование которого средствами математики и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах S. В этих условиях a' называется математической моделью объекта a относительно совокупности S его свойств.»

     По  Севостьянову А. Г. : «Математической  моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и  т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе.»

     Несколько менее общее определение математической модели, основанное на идеализации  «вход — выход — состояние», заимствованной из теории автоматов, даёт Wiktionary: «Абстрактное математическое представление процесса, устройства или теоретической идеи; оно использует набор переменных, чтобы представлять входы, выходы и внутренние состояния, а также множества уравнений и неравенств для описания их взаимодействия.»

     Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: «Уравнение, выражающее идею.» 

Классификация моделей

Классификация моделей 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Формальная  классификация моделей 

     Формальная  классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий :

     - Линейные или нелинейные модели;

     - Сосредоточенные или распределённые системы;

     - Детерминированные или стохастические;

     - Статические или динамические;

     - Дискретные или непрерывные .

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной  или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом —  распределённые модели и т. д. 

Классификация по способу представления  объекта 

     Наряду  с формальной классификацией, модели различаются по способу представления  объекта: 

-Структурные  или функциональные модели 

     Структурные модели представляют объект как систему  со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика».Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика». 

Содержательные  и формальные модели 

     Практически все авторы, описывающие процесс  математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная  конструкция, содержательная модель[. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики, биологии, экономики, социологии, психологии, и большинства других областей), создание содержательных моделей резко усложняется. 

Содержательная  классификация моделей 

     В работе Р. Пайерлса  дана классификация  математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках. В книге А. Н. Горбаня и Р. Г. Хлебопроса эта классификация проанализирована и расширена. Эта классификация сфокусирована, в первую очередь, на этапе построения содержательной модели. 

Тип 1: Гипотеза (такое могло бы быть) 

     Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». По Р. Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника (усовершенствованная Кеплером), модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.

     Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко  это сформулировал Ричард Фейнман:

     «У  нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда  не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть.»

     Если  модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным. 

Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы…) 

     Феноменологическая  модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными  или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

     Роль  модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут  повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.