Математические модели поведения производителей

     Равновесные уровни выпуска дуополистов Курно одинаковы в силу введенных предпосылок об однородности продукции и о равновесных условиях по издержкам производства. Они обеспечивают удовлетворение рыночного спроса в объеме

     

           (17) 

      при равновесной  цене

                 (18)

     что позволяет каждому дуополисту получить прибыль в размере

        (19) 

 

      2.2 Модель Чемберлина

     Аналитическая версия модели Э. Чемберлина основана на экономическом анализе рынка олигополии, сделанном в его монографии, опубликованной в 1956 г. В отличие от модели Курно в модели Чемберлина дуополист принимает во внимание тот факт, что уровень конкурента будет изменяться в ответ на его собственные действия. В результате дуополисты примут наиболее выгодные для себя решения, не вступая в открытый сговор.

     Рассмотрим  возможный алгоритм стратегических взаимодействий в дуополии Чемберлина. Предположим, что на первом шаге,для примера, первая фирма ведет себя на рынке как монополист. Решая задачу на максимум прибыли, она выбирает монопольный уровень выпуска:

        (20) 

      При этом она  получит монопольную прибыль

                 (21)

     при монопольной цене

        (22)

     На втором шагевторая фирма принимает решение исходя из функции остаточного спроса на свою продукцию и предполагая, что выпуск первой фирмы не изменится. Таким образом, вторая фирма фактически принимает решение как фирма-монополист, где уравнение функции остаточного спроса имеет вид:

        (23)Решая задачу  на максимум прибыли, она выбирает  уровень выпуска что составляет половину монопольного выпуска первой фирмы. В результате отраслевой выпуск составит

        (25) 

      при понижении  цены до

           (26) 

     Распределение прибыли будет не в пользу второй фирмы:

        (27) 

        (28) 

     Первая  фирма также окажется в проигрыше, поскольку вдвое уменьшит свою прибыль  по сравнению с монопольной.

     Уже на третьем шаге первая фирма осознает, что конкурент реагирует на её действия, и уменьшает свой выпуск на величину выпуска соперника, т.е. вдвое, ориентируясь на цель достижения монопольного выпуска отрасли при монопольной цене.

     На  четвертом шаге вторая фирма принимает условия, предложенные конкурентом, поскольку выгоднее продавать тот же объем выпуска, что и раньше, но по более высокой монопольной цене. Значит, вторая фирма оставит свой уровень выпуска без изменения. При этом дуополисты поделят рынок поровну:

     

                 (29)

     и получат одинаковую прибыль

        (30) 

     разделив  монопольную прибыль между собой.

     При введенных предпосылках об однородности продукции и о равных условиях по издержкам равновесие в модели Чемберлина соответствует решению задачи максимизации прибыли отдельного дуополиста при условии молчаливого раздела рынка между конкурентами.

     Функция спроса примет вид:

        (31)

     где q₁=q₂= q

     Функции прибыли дуополистов идентичны (как и условия по издержкам):

        (32) 

      Необходимое условие экстремума

           (33) 

     определит равновесные уровни выпуска фирм (29). Они будут соответствовать максимуму прибыли, что следует из достаточного условия экстремума:

        (34) 

     Таким образом, не вступая в прямой сговор, дуополисты Чемберлина могут установить на рынке монопольную цену.

 

      2.3 Модель Стэкльберга

     Решение проблемы асимметричной конкуренции  в условиях количественной олигополии было предложено Г. фон Стэкльбергом в 1934 г. Модель Стэкльберга анализирует стратегическое взаимодействие фирм по принципу «лидер-последователь».

     Если  фирма первой принимает решение  об уровне выпуска, то она считается  лидером по объему выпуска. Лидер  в модели Стэкльберга информирован о поведении последователя. Последователь осознает лидерство конкурента, рассматривая уровень выпуска лидера как заданный, и, следовательно, принимает решение об уровне своего выпуска при предпосылках модели Курно.

     Пусть для определенности в модели количественной дуополии первая фирма является лидером, а вторая - последователем. При введенных  предпосылках (1)- (3)решения модели для лидера и последователя не изменяется, если фирмы поменяются ролями.

     Задача  максимизации прибыли фирмы-последователя  аналогична ситуации принятия решений  в модели Курно см. (6), (8), (11), что определяет вид реакции второй фирмы, соответствующий условию (13):

     

           (35) 

     Последователь рассматривает уровень выпуска  лидера в качестве экзогенного параметра, т.е. принимает решение при нулевой  предполагаемой вариации:

     Итак, мы получили функцию, которая показывает, как фирма-последователь будет  определять уровень своего выпуска  в зависимости от выбора фирмы-лидера. Лидер осознает, что оказывает  влияние на принятие решений конкурента, и поэтому учитывает реакцию  последователя при решении задачи на максимум прибыли.

     Аналитическая версия модели Стэкльберга предполагает, что последователь реагирует на изменение объема выпуска фирмы-лидера в соответствии с линией реакции Курно, которая определяет значение предполагаемой вариации в рассматриваемой нами модели:

                          (36)

     Необходимое условие максимизации прибыли первой фирмы-лидера см. (5), (7) при такой предпосылке примет вид:

        (37) 

     Уравнение (37) задает линию реакции лидера по Стэкльбергу и может быть переписано в виде:

       

           (38)

     Зная, что фирма-последователь будет  выбирать уровень выпуска, фирма-лидер  отдает предпочтение такой комбинации уровней выпуска конкурентов, которая  обеспечит ей максимально возможную  прибыль.[1, 25]

     Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга можно получить в результате решения системы уравнений (35), (38):

       (39) 

        (40) 

     Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов Стэкльберга показывает, что частные производные второго порядка функций прибыли отрицательны:

        (41) 

        (42) 

     Значит, равновесные объемы выпуска q₁^*и q₂^* обеспечивают максимум прибыли как для лидера, так ж дня последователя при принятых, условиях их стратегического взаимодействия.

     Решение модели Стэкльберга можно найти, используя другой алгоритм.

     Поставив  функцию зависимости q₂от q₁из уравнения (35)в функцию прибыли фирмы-лидера (7), получим:

     

           (43) 

     Таким образом, лидер решает задачу максимизации прибыли на безусловный экстремум, где в процессе принятия решений  он осознает, что отраслевой выпуск составит q₁+q₂(q₁), т.е. учитывает реакцию последователя.

     Необходимое условие экстремума:

     

           (44) 

     позволяет однозначно определить наилучшее решение  фирмы-лидера (достаточное условие  экстремума подтверждает принятие наилучшего решения). Подставив найденный уровень выпуска первой фирмы в уравнение реакции (35)фирмы-последователя, получим равновесный уровень выпуска второй фирмы. Учитывая, что линия реакции представляет наилучший ответ на действия конкурента, равновесный уровень выпуска фирмы-последователя обеспечит ей максимум прибыли при заданных условиях взаимодействия.

     Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга обеспечивают удовлетворение рыночного спроса в объеме

     

           (45) 

     при равновесной цене

       (46) 

     При этом в соответствии с предпосылками  рассматриваемой модели лидер получает прибыль в размере

       (47) 

     что в два раза превышает уровень  прибыли последователя.

     2.4 Картельное соглашение

     Один  из примеров кооперированной олигополии - сговор между фирмами-конкурентами. Картель - это объединение олигополистов, вступающих в сговор с целью совместного принятия решения относительно уровня рыночной цены и объемов выпускаемой продукции. Образующие картель фирмы ведут себя на рынке как единый монополист, максимизируя совокупную прибыль отрасли.

     Рассмотрим  картель, максимизирующий прибыль при предпосылках (1)- (3).Задача максимизации прибыли для двух фирм заключается в выборе таких уровней выпуска продукции q₁ и q₂, которые бы максимизировали совокупную прибыль отрасли П, где

       (48) 

     Необходимое условие экстремума имеет вид:

       

                 (49) 

      Оно определяет систему двух одинаковых уравнений  с двумя неизвестными (q₁ и q₂), которая имеет бесконечно много решений. Любая комбинация объемов выпуска фирм (q₁,q₂), которая обеспечивает рыночный спрос в размере

           (50) 

     Удовлетворяет системе уравнений (49).

     Таким образом, необходимое условие экстремума задает лишь совокупный объем производства картеля. Достаточное условие экстремума с учетом вида функции (48)и знака вторых частных производных

       

           (51)