Математические модели поведения производителей

     Пусть фирмы, как и ранее, производят однородную продукцию, зная линейную функцию рыночного  спроса (1). Пусть только одна фирма (условно -первая фирма) имеет преимущество в издержках над всеми конкурентами. Сохраним предпосылку, что у всех фирм на рынке предельные издержки постоянны и равны средним издержкам.

     При таких предпосылках введем обозначения. Пусть c_L - предельные и средние издержки первой фирмы (лидера); c_f - предельные и средние издержки каждой фирмы-последователя, где c_L<c_f . Пусть на рынке олигополии взаимодействуют одна фирма-лидер и п фирм-последователей, т.е. рыночный спрос обеспечивают (п+ 1) фирм:

        (3.11) 

     Последователи вынуждены признать преимущество фирмы-лидера, ибо при значительном возрастании  объема предложения рыночная цена может  опуститься ниже уровня средних издержек фирмы-последователя, оставаясь при  этом выше уровня средних издержек фирмы-лидера (c_L<p<c_f). Значит, увеличив масштабы производства, фирма-лидер при определенных условиях может получать положительную прибыль, в то время как ее конкуренты будут иметь убытки.

     Таким образом, каждый последователь осознает лидерство первой фирмы, рассматривает  уровень ее выпуска как заданный и решает задачу на максимум прибыли  при нулевых предполагаемых вариациях. Учитывая условие (3.11), функцию прибыли олигополиста (3.2)можно записать для фирмы-последователя в виде:

        (3.12) 

     Необходимое условие экстремума (3.3) примет вид:

        (3.13) 

     Обратим внимание на то, что в модели олигополии Стэкльберга последователь рассматривает уровень выпуска любого конкурента как постоянный, последователи ведут себя как олигополисты Курно.

     Используем  для фирм-последователей тот же алгоритм решения модели, который упростил решение задачи при анализе модели олигополии Курно. Все фирмы-последователи находятся в одинаковых условиях. Следовательно, при достижении равновесия будут предлагать на рынок равные объемы производства q_f. Условие (3.13)запишем в более удобном виде:

        (3.14)

     откуда  легко получить функцию реакции  любой фирмы-последователя:

        (3.15) 

     Фирма-лидер  информирована о поведении последователей. Она осознает, что каждый последователь  реагирует на изменение объема выпуска  фирмы-лидера в соответствии со своей  функцией реакции (3.15). Функция реакции определяет значение предполагаемой вариации:

        (3.16) 

      Учитывая возможную  реакцию последователей, первая фирма  решает задачу на максимум прибыли:

                 (3.17) 
 

     Необходимое условие экстремума примет вид:

        (3.18) 

     где в точке равновесия ,

     делав необходимые преобразования, получим функцию реакции фирмы-лидера:

        (3.19) 

     которая показывает, каким должен быть наилучший ответ на действия последователя.

     Если  на рынке олигополии Стэкльберга более одного последователя, то Предположим, что фирма-последователь уменьшит объем выпуска на единицу. Предполагаемая вариация указывает, что тогда фирма-лидер может поставлять на рынок объем товара, больший единицы. Тем самым увеличится доля рыночного спроса, удовлетворяемая с меньшими издержками производства.

     Решая систему уравнений (3.15), (3.19),можно рассчитать равновесные уровни выпуска фирмы-л ид ера и фирмы-последователя:

        (3.20) 

        (3.21) 

     В условиях равновесия олигополисты Стэкльберга удовлетворяют рыночный спрос в объеме

        (3.22) 

     при рыночной цене

        (3.23) 

     Посмотрим, что произойдет на рынке олигополии Стэкльберга при изменении двух параметров: числа фирм-последователей (п) и размера преимущества фирмы-лидера в издержках (c_f-c_L). Очевидно, сто рост обоих

     параметров  оказывает одинаковое влияние на объем предложения фирм на рынке  см. (3.20), (3.21).Объем предложения лидера увеличивается, а объем предложения каждого последователя уменьшается.

     Как следствие, должно произойти увеличение доли лидера на рынке. Однако, как показывает исследование, прослеживается достаточно сложная функциональная зависимость  доли лидера от числа фирм-последователей и размера преимущества лидера в издержках. Только в конечном итоге большое число конкурентов увеличивает значение преимущества лидера, и его доля на рынке начинает расти.

     Интересно, что с ростом числа последователей, когда коэффициент  стремится к единице, равновесная цена постепенно снижается и приближается к среднему арифметическому средних издержек лидера и последователя . Такой уровень цены превышает средние издержки лидера, но ниже средних издержек последователя. Конкурентоспособность последователей падает, их число должно уменьшиться. Преимущество лидера в издержках подтверждает обоснованность его притязаний на лидерство.

     Теперь  рассмотрим частный случай модели, когда все фирмы имеют равные

     условия по издержкам производства (c_L=c_f=c). Основные параметры рыночного равновесия можно получить из формул (3.20) - (3.23):

        (3.24) 

        (3.25) 

        (3.26) 

        (3.27) 

     Очевидно, что объем предложения фирмы-лидера не зависит от числа последователей. Объем предложения фирмы-последователя  в (n + 1) раз меньше, чем у лидера, и постепенно сокращается с увеличением числа последователей.

     При достаточно большом числе последователей (когда ) объем предложения олигополистов Стэкльберга приближается к объему предложения в условиях совершенной конкуренции ,а цена фактически падает до уровня средних и предельных издержек.

     При этом все существеннее становится различие в уровне выпуска лидера и последователя. Доля последователя в совокупном объеме предложения на рынке  становится бесконечно мала по сравнению с размерами рынка. Доля лидера тоже постепенно снижается, но в конечном итоге не будет ниже, чем половина объема предложения на рынке.

     3.4 Сговор и картели

     Анализ  моделей картеля становится многограннее, если отказаться от предпосылки о  равенстве издержек производства у  картелированных фирм. Основные проблемы, возникающие при этом в процессе образования и фукционирования картеля, можно по-прежнему выявить, рассматривая только двух олигополистов, поскольку результаты исследования легко обобщаются для случая п фирм в отрасли.

     Пусть две фирмы предлагают однородный продукт, зная линейную функцию рыночного  спроса (1). Пусть они решили вступить в картельное соглашение с условием максимизации совокупной прибыли отрасли:

       (3.28) 
 

     где , - функции издержек в зависимости от объема выпуска каждой фирмы, причем .

     Необходимое условие экстремума примет вид:

        (3.29) 
 
 

     При решении системы уравнений (3.29)видно, что для любой комбинации равновесных значений объемов выпуска фирм их предельные издержки будут равны между собой: . С одной стороны, по виду функций (3.29)ясно, что равенство предельных издержек выполняется в условиях равновесия при любом количестве фирм в отрасли. С другой стороны, оно будет выполняться вне зависимости от вида функции спроса на продукцию отрасли.

     Для функции p=p(Q),где , частные производные по объемам выпуска конкурентов будут равны между собой , поскольку при нулевых предполагаемых вариациях при очевидно, что .

     Таким образом, в условиях равновесия для  любого i

        (3.30) 

     При организации картеля фирмы заинтересованы в максимизации совокупной прибыли  отрасли, а не только своей прибыли. Поэтому они учитывают влияние  снижения цены, как на уровень своего собственного выпуска, так и на объем  выпуска конкурентов. В результате предельный доход от производства дополнительной единицы товара (в правой части  равенства (3.30)) будет одинаковым для любой фирмы картеля, а предельные издержки фирм будут равны между собой.

     В точке равновесия картеля из пфирм условие (3.31) примет вид:(3.31)

        (3.31) 

     Оценим  направление изменения прибыли, например, первого олигополиста. Частная производная прибыли первого олигополиста по переменной, характеризующей его объемы выпуска, положительна:

        (3.32) 
 

     поскольку функция рыночного проса убывает  . Это означает, что он может увеличить объем получаемой прибыли, расширив масштабы производства. В аналогичной ситуации находятся другие олигополисты.

     Стратегия одностороннего увеличения производства выгодна для любой фирмы картеля. Причем любая фирма захочет быть первой, пока ее не опередили конкуренты. Таким образом, искушение нарушить картельное соглашение велико при любой  структуре функций спроса и издержек, а также при любом числе  фирм в отрасли. Олигополисты должны иметь стимул, чтобы не нарушать соглашение. 

 

     

Заключение

     В данной курсовой работе представлена тема «Модели поведения производителей».

     В работе раскрыты показатели стратегического  взаимодействия на рынке. Существенную роль имеют три элемента ценообразования: условия по спросу, условия по издержкам  производства и предположения о  максимизации прибыли. Модели имеют  структуру эндогенных и экзогенных переменных. Стратегическое поведение  каждой модели на рынке изменяется в зависимости от характеристики продукта (его однородности или дифференцированности) и от наличия потенциальной конкуренции.

     Сравнительный анализ, проведенный в данной курсовой работе, выявляет их основные особенности, преимущества и недостатки, помогает оценить перспективы и направления  их усовершенствования. 

 

Список  использованной литературы

1. Фомин Г.П. Математические методы и модели коммерческой деятельности /Г.П Фомин—Букинист 2001.
2. Бурков В.К., Ириков В.К. Модели и методы управления организационных систем / В.КБурков – Москва 1994.
3. Жданов С.А. Экономические модели и методы в управлении / С.А.Жданов –Москва 1998.
4. Светов Б.А., Яковлев С.А.Моделирование системы / Б.А.Светов,С.АЯковлев – Москва 1995.