Производные ценные бумаги и операции с ними

     Влияние изменения процентной ставки на стоимость  опциона не имеет однозначного направления. Если речь идет об опционе на покупку, то увеличение процентной ставки обычно является фактором увеличения премии, а для опциона на продажу – фактором уменьшения премии.

     Наиболее  общей формулой для расчета стоимости  опциона-колл является знаменитая формула  Блэка-Шоулза для расчета стоимости  опциона-колл, которая была разработана  в 1973 г. американскими профессорами Фишером Блэком и Майроном Шоулзом. Эта формула позволяет рассчитать теоретическую премию опциона-колл в случаях, когда цена актива в будущем может иметь множество значений (боде, чем два) и часть из них может быть ниже цены исполнения опциона, т.е. опцион может оканчиваться «без денег». В употребляемых нами символах она имеет такой вид:

 

С_к = Ц_а · N(d₁) – Ц_и : (1 + П)^т · N(d₂),                                   (3.7)

 

     где – С_к – стоимость опциона-колл на данный момент времени;

          Ц_а – текущая цена актива;

          Ц_и – цена исполнения опциона;

          П – безрисковая  процентная ставка;

          Т – временной  интервал;

N(d₁) и N(d₂) – вероятности, определяемые по таблице значений ряда нормального распределения вероятностей.

 
 

d₁ = [L_П (Ц_а : Ц_и) + (П + 0,5 · σ²) х Т] : [σ · νТ],                            (3.8)

d₂ = d₁ - σ νТ,                                                       (3.9)

 

где – σ – средний уровень колебания цены актива, лежащего в основе опциона, за промежуток времени Т;

L_П (Ц_а : Ц_и) – натуральный логарифм частного отделения текущей цены актива на цену исполнения опциона.

 

     Например. Рассчитаем по формуле Блэка-Шоулза стоимость (теоретическую премию) опциона-колл, т.е. опциона на покупку одной акции какой-то компании при следующих условиях: Ц_а = 100 руб., Ц_и = 115 руб., П = 1% в месяц, Т = 9 мес., σ = 5% в месяц.

     Сначала определим d₁ d₂:

 

d₁ = [L_П (Ц_а : Ц_и) + (П + 0,5 · σ²) х Т] : [σ · νТ];

                    = [L_п (0,8696) + (0,01 + 0,5 · 0,05²) · 9] : [0,05 · 3]

                    = [ – 0,13973 + 0,10125] : 0,15

                    = – 0,26;

 

d₂ = d₁ – σ · νТ

                                   = – 0?26 – 0?05 · 3

                                   = – 0,41

 

     Теперь  по таблице нормального распределения  находим вероятности:

 

N(d₁) = 0,3974,

N(d₂) = 0,3409/

 

     Наконец, можно подставить все значения необходимых показателей в формулу стоимости опциона:

 

С_к = Ц_а · N(d₁) – Ц_и : (1 + П)^т · N(d₂)

                         = 100 руб. · 0,3974 –  115 руб. : 1,01⁹ · 0,3409

                         = 39,74 руб. – 35,84 руб.

                         =3,9 руб.

 

     Казалось  бы, что стоимость опциона 3,9 руб. – это сравнительно небольшая сумма по отношению к цене акции в приведенном примере. Однако не надо забывать, что согласно принятым условиям цена акции может увеличиваться на 15 руб., т.е. на 15%, при месячном колебании в 5%, пока опцион не станет опционом «при деньгах». До тех пор пока цена акции не превысит 115 руб., покупатель колла не будет его исполнять, а значит, ему нет смысла платить высокую премию за опцион.

     Этот  пример хорошо иллюстрирует, что теоретическая премия опциона-колл будет значительно выше, если текущая цена акции превысила бы цену исполнения опциона. Например, если бы Ц_а равнялась 120 руб., то стоимость опциона составила бы:

С_к = 120 руб. · 0,3474 – 115 руб. : 1,01⁹ · 0,3409

                    = 47,69 руб. – 35,84 руб.

                    = 11,85 руб.

 

     т.е. премия увеличилась бы почти в 3 раза при росте рыночной цены акции в 1,2 раза. Экономически это объясняется тем, что вероятность того, что опцион был бы при деньгах, и при том будущая рыночная цена существенно превысила бы цену исполнения опциона, очень высока. А поэтому продавец опциона-колл за свой риск требовал бы более высокой премии.

     В целом влияние всех пяти факторов на опционную премию в зависимости  от вида опциона приведено в табл. (3.2).

 

Таблица 3.2.

 

     В табл. 3.2. показано влияние всех пяти ценообразующих премию опциона факторов для американского типа опциона. Для европейского типа опциона перечисленные факторы действуют аналогично, кроме фактора времени. Его влияние не имеет четкой закономерности и для любого вида опциона, будь то колл или пут, увеличение срока действия опциона может оказывать как положительное, так и отрицательное воздействие на опционную премию.

     Из  всех пяти факторов, влияющих на стоимость  опциона, самый сложный, а в определенных ситуациях и главный – это  изменчивость, колебание цены исходного  актива. Фактический уровень колебания  цены актива можно рассчитать для  каждого текущего момента времени путем подстановки в формулы (3.8) – (3.9) фактических численных значений премий, цены актива, цены исполнения и процентной ставки. Полученные значения показателя колебания за прошедшие периоды позволяют прогнозировать их на будущее.

     Теперь  покажем, как можно вывести формулу теоретической цены опциона пут, задав ситуацию, при которой покупка акции сегодня и ее продажа через определенный срок в будущем не принесут инвестору ни прибыли, ни убытка.

     Пусть инвестор сегодня хочет купить акцию  по цене Ц_а. Для этого он берет часть денег в размере Х в ссуду, а остаток средств получает в виде разницы в ценах премий опционов-колл и –пут с одинаковыми датами и ценами исполнения, по которым он сможет продать свою акцию в будущем. Например, продает колл и получает премию С_к и одновременно покупает пут и платит премию С_п. При этом, естественно, должно хватить средств на покупку акции.

 

С_к – С_п = Ц_а – Х,                                                (3.10)

 

     Пусть срок исполнения опционов 1 год, а цена исполнения – Ц_и. Через год инвестор должен продать по опциону свою акцию, вернуть ссуду с процентами, т.е. исполнить обязательства по опционам и вернуть ссуду с процентами.

     Если  рыночная цена акции Ц_а1 будет меньше цены исполнения опционов Ц_и, то опцион-колл не будет исполнен, так как покупателю колла, проданного нашим инвестором, невыгодно покупать акцию по цене исполнения, которая выше, чем на рынке. В то же время инвестору выгодно исполнить опцион пут, т.е. продать свою акцию по цене исполнения, которая выше, чем рыночная цена. Следовательно, чтобы вернуть ссуду с процентами на покупку акции, взятую год назад, инвестор должен в данный момент продать эту акцию по опциону-пут по цене, которая равнялась бы размеру ссуды с процентами, или:

 

Ц_и = Х (1 + П)¹,                                                  (3.11)

 

     Если  рыночная цена акции Ц_а1 будет больше (или равна) цене исполнения опциона, то опцион-колл будет исполнен его покупателем, а инвестору придется продать свою акцию по цене исполнения опциона. Исполнение опциона-пут инвестору будет невыгодно, так как продавать свою акцию, во-первых, уже нельзя, ибо она реализована по опциону-колл, а во-вторых, невыгодно, так как на рынке эта же акция продается дороже, чем цена исполнения.

     Следовательно, чтобы инвестор вернул свою ссуду, цена исполнения опциона-колл при Ц_а1 > Ц_и должна опять быть равной размеру ссуды (см. формулу 3.11) или

 

Х = Ц_и / (1 + П)¹,

а в  общем случае

Х = Ц_и / (1 + П)^Т,                                           (3.12)

 

     где Т – время.

     Подставив равенство (3.12) в равенство (3.10), получим:

 

С_к – С_п = Ц_а – Ц_и / (1 + П)^Т,                                       (3.13)

или

С_п = С_к + Ц_и / (1 + П)^Т – Ц_а,                                      (3.14)

т.е. премия по опциону-пут равна премии по опциону-колл плюс цена исполнения опциона в будущем, приведенная к настоящему времени, минус цена акции в момент заключения опционов.

     Теперь, зная формулу теоретической цены опциона-колл, можно выразить аналогичным  образом и теоретическую цену опциона-пут:

 

С_п = Ц_аN(d₁) – Ц_и / (1 + П)^Т N(d₂) + Ц_и / (1 + П)^Т – Ц_а,              (3.15)

или

С_п = Ц_и / (1 + П)^Т (1 – N(d₂)) – Ц_а (1 – N(d₁)),                             (3.16)

 

     где С_п – теоретическая цена (премия) опциона-пут.

 

 

Глава 4. Стратегии торговли фьючерсными контрактами  и

биржевыми опционами

 

4.1. Основные виды биржевых стратегий:

хеджирование  и биржевая спекуляция

 

           На фьючерсных и  опционных рынках существуют два  основных типа стратегий торговли:

• хеджирование;
• спекуляция.

     Хеджирование имеет своей целью уменьшение рыночного риска неблагоприятного изменения цены какого-либо актива.

     Спекуляция имеет своей целью получение прибыли от игры на разнице в ценах биржевых активов в размере прямо пропорциональном уровню риска. В определенных ситуациях возможны спекулятивные сделки с небольшим уровнем риска.

     Соответственно  участники биржевой торговли, осуществляющие хеджирование, называются хеджерами; те, кто занимается биржевой спекуляцией, – спекулянтами; те, кто проводят арбитражные сделки, - арбитражерами.

     Конкретный  круг этих торговцев может включать все категории юридических и физических лиц. Более того, любой участник биржевого рынка может одновременно проводить операции всех перечисленных типов стратегий. Все определяется той целью, которую преследуют участники торгов, исходя из своих собственных интересов – фирмы или личных. На практике каждый спекулянт в той или иной мере подстраховывается путем хеджирования, а хеджер, естественно, никогда не против получить дополнительную прибыль при благоприятной для него динамике цен.