Прогнозирование на основе регрессионной модели

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющим характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики.

1. Линейная форма тренда:

= a + b*t,                                                   

где - уровни, освобожденные от колебаний, выровненные по прямой;

а - начальный уровень тренда в период, принятый за начало отсчета времени t;     

b – среднегодовой абсолютный прирост.

Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимопогашении отдельных особенностей отдельных факторов часто выражается примерно постоянной абсолютной скорости изменения.

2. Параболическая форма тренда:

    =a + b * t + c *

где с - квадратический параметр, равный половине ускорения. [9]

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов.

На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней yt плавно изменяющимися уровнями t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные приложение 3.[8]

Линейная форма тренда:

t=8595,467 + 856,467*t

где t - временной индекс.

   Интерпретация этого уравнения позволяет сказать, что средний выровненный начальный уровень, то есть на 1.07.07 год, доходы составляли  8595,467  млн. руб., при этом среднегодовой абсолютный прирост составлял  856,467   млн. руб.

Параболическая форма тренда :

t=5173,006 + 2567,685 * t – 155,565 *

    Анализируя это уравнение , можно говорить о том, что средний выровненный начальный уровень периода, то есть доходы на 1.04.2007 , составлял 5173,006  млн.руб., при этом среднегодовая абсолютная прибыль составляла 2567,685 млн.руб, а среднее ускорение роста доходов составило 155,565 млн.руб. Так как параметр b=2567,685,то есть он меньше нуля, а параметр с=356.380592, то есть больше нуля, то можно говорить о восходящей ветви параболы и о тенденции к ускоренному росту уровней, что можно проследить по графику (р и с. 4.).

Таблица 7 – Выравненные уровни динамического ряда

Период	, млн. руб.	Линейный	Параболический
		, млн.руб.	, млн.руб.
1	8653,1	9451,934	7585,126
2	9415,1	10308,401	9686,116
3	10735,6	11164,868	11475,976
4	12111,7	12021,335	12954,706
5	12706,6	12877,802	14122,311
6	16534,5	13734,269	14978,776
7	15662,2	14590,736	15524,121
8	17503,4	15447,203	15758,326
9	15430,4	16303,670	15681,406
10	14307,7	17160,137	15293,356
∑	133060,3	133060,355	133060,2

 

 

Анализируя графическое изображение динамического ряда и выравненных уровней динамического ряда (р и с. 4.), можно сказать о том, что параболический тренд наиболее точно отражает динамику изменения процентных доходов, как ускоренное изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного развития.

 

 

 

 

 

Р и с. 4 .Динамика доходов ОАО Банк «Промсвязьбанк»

Вариационный ряд характеризуется не только основной тенденцией, но и колеблемостью. Значение колеблемости позволяет выдвинуть гипотезы о причинах колебаний и путях влияний на них, на основе параметров колеблемости ее можно прогнозировать или учитывать как фактор ошибки прогноза, на основе параметров и прогнозирования колебаний можно считать резервы и страховой запас необходимый для преодоления негативных последствий колебаний. [10]

Рассмотрим силу колебаний через среднее квадратическое отклонение уровней от тренда S (t):

S(t) =

где n - число периодов;

р - число параметров в уравнении тренда.

и коэффициент колеблемости VS(t) (приложение 3):

VS(t) =

Как видно (таблица 8) параболическая форма тренда обладает меньшим отклонением уровней динамического ряда от тренда S(t)=1253,350, чем линейная - S(t) = 1723,882, что также можно проследить и по показателю относительной интенсивности колебаний VS(t) =  12,956 % - у линейной и VS(t) = 9,420% - у параболы.

Таблица 8 - Показатели колеблемости трендов.

 

Форма тренда	S(t), млн.руб.	VS(t),%
Линейная	1723,88158	12,95564176
Параболическая	1253,35018	9,41941497

 

   Исходя из вышеперечисленного, можно сказать, что основная тенденция изменения процентных доходов описывается уравнением:

t=5173,006 + 2567,685 * t – 155,565 *

4. Прогнозирование  доходов банка на основе трендовой  модели

Прогнозирование возможных значений признаков изучаемого объекта - одна из основных задач науки. В ее решении роль статистических методов очень значительна. Одним из них является расчет прогнозов на основе тренда. Методика статистического прогноза по тренду и колеблемости основана на их экстраполяции, т.е. на предположении, что параметры тренда и колебаний сохраняются до прогнозируемого периода. Такая экстраполяция справедлива, если система развивается эволюционно в достаточно стабильных условиях.

В отличие от прогноза на основе регрессионного уравнения прогноз по тренду учитывает факторы развития только в неявном виде, и это не позволяет «проигрывать» разные варианты прогнозов при разных возможных значениях факторов, влияющих на изучаемый признак. Зато прогноз по тренду охватывает все факторы, в то время как в регрессионную модель невозможно включить в явном виде более 10—20 факторов в самом лучшем случае. [9]

Теперь выясним, какой из трендов наиболее подходит для прогнозирования (таблица 10).

D-W = 2 * (1-ral),

где D — W - критерий Дарбина - Уотсона;

ral - коэффициент автокорреляции в остатках (приложение 3).

                                          A =                                           

Где - средняя ошибка аппроксимации (таблица 9)[10]

Таблица 9 - Расчет средней ошибки аппроксимации

	Линия	Парабола
1	0,092	0,123
2	0,095	0,029
3	0,040	0,069
4	0,007	0,069
5	0,013	0,111
6	0,169	0,094
7	0,068	0,009
8	0,117	0,099
9	0,057	0,016
10	0,199	0,069
	0,857	0,688
, %	8,57	6,88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 10 – Оценка пригодности уравнения к прогнозированию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 10 - Оценка пригодности уравнения к прогнозированию

 

 

Показатели			D	-W
			расчетный	табличный
Форма тренда	R2	ral		dL	dU	А,%
Линия	0,111109314	0,333330638	1,333338724	0,88	1,32	8,57
Парабола	0,000439972	-0,020 975511	2,041951022	0,88	1,32	6,88

 

 

Как видно из таблицы 9, коэффициент детерминации R2 , который отражает долю вариации, обусловленную воздействием случайных факторов, выше у линейной формы тренда и равен 11,11 %, следовательно, уравнение линейного  тренда точнее отражает процесс изменения процентных доходов.      По значению коэффициента автокорреляции в остатках линейный тренд наиболее пригоден для прогнозирования, так как он ниже и равен rа1=0,333330638. По критерию Дарбина - Уотсона можно определить пригодность уравнений к прогнозированию, так как оба критерия, рассчитанные и для параболы, и для линии выше верхней границы табличного интервала. Относительно средней ошибки аппроксимации можно сказать, что параболическая форма тренда более подходит для прогнозирования, так как для нее =6,88 %, что меньше 10%.

Выявление и характеристика трендов и моделей взаимосвязи создают базу для прогнозирования, то есть для определения ориентировочных размеров явлений в будущем. Для этого используют метод экстраполяции.

Экстраполяцию рядов динамики осуществляют различными способами, например, экстраполируют ряды динамики выравниванием по аналитическим формулам. Зная уравнение для теоретических уровней и подставляя в него значения t за пределами исследованного ряда, рассчитывают для t вероятностные t.

Но нужно иметь в виду, что экстраполяция в рядах динамики носит не только приближенный, но и условный характер. Поэтому ее следует рассматривать как предварительный этап в разработке прогнозов.

Точечный прогноз на 1.01.2010  по параболической форме тренда (приложение 3):

5173,006 + 2567,685 * 11 – 155,565 * млн. руб.

На практике результат экстраполяции прогнозируемых явлений обычно получают не точечными (дискретными), а интервальными оценками.

Для определения границ интервалов используют формулу:

± ta * S t • Q,

где ta - коэффициент доверия по распределению Стьюдента( α=0,05; v=n-p);

Syt = показатель колеблемости относительно тренда;

Q - поправочный коэффициент, учитывающий период упреждения.

 

                                 Q =                                      

где tl - номер прогнозируемого периода.

Q зависит от длины динамического ряда и от периода упреждения.  Интервальный прогноз на 1.01.2010 год по параболической форме тренда (приложение 3):

11621,374130 <у1.01.2010< 17567,0323388, млн. руб.

Итак, на основе исчисленного уравнения t=5173,006 + 2567,685 * t – 155,565 * экстраполяцией при t=11 определили ожидаемый процентный доход на 1.01.2010,  равный 14594,203  млн. руб. При этом с вероятностью, равной 0.95,можно утверждать, что процентный доход 1.01.2010 будет не менее11621,374130, но и не более  17567,0323388 млн.руб.

 

 

 

 

 

5. Корреляционно регрессионный  анализ

5.1.Парная регрессия

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь между двумя признаками — парная линейная корреляция.

Практическое ее значение в том, что есть системы, в которых среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяется один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного признака. Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:

у = а + b * х,                                                      

где у - среднее значение результативного признака у при определенном значении факторного признака х;

      α - свободный член  уравнения;

b - коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения. [9]

Определим тесноту связи между результативным признаком у (процентный доход) и факторными признаками:

XI – обязательные резервы;

Х2 – чистые вложения в ценные бумаги;

ХЗ – денежные средства;

Х4 – вклады физических лиц. (приложение 5)

Факторные признаки приведены в сопоставимый вид в приложении 4.

Таблица 11 - Коэффициенты простой парной корреляции (по Пирсону):                   (Коэффициент/Доверительная вероятность)

              wert  │   wert   │   wert   │   wert   │   wert   │

                    Y     │    X1    │    X2    │    X3    │    X4    │

                          │          │          │          │          │

                ──────────┼──────────┼──────────┼──────────┼──────────┼

       Y         1.00000  │ -.62401  │ 0.90611  │ 0.72672  │ 0.74079  │

                 1.00000  │ 0.94470  │ 0.99944  │ 0.98210  │ 0.98486  │

                ──────────┼──────────┼──────────┼──────────┼──────────┼

       X1        -.62401  │ 1.00000  │ -.50085  │ -.60663  │ -.44687  │

                 0.94470  │ 1.00000  │ 0.85177  │ 0.93344  │ 0.80342  │

                ──────────┼──────────┼──────────┼──────────┼──────────┼

       X2        0.90611  │ -.50085  │ 1.00000  │ 0.49890  │ 0.83950  │

                 0.99944  │ 0.85177  │ 1.00000  │ 0.84993  │ 0.99741  │

                ──────────┼──────────┼──────────┼──────────┼──────────┼

       X3        0.72672  │ -.60663  │ 0.49890  │ 1.00000  │ 0.27900  │

                 0.98210  │ 0.93344  │ 0.84993  │ 1.00000  │ 0.55026  │

                ──────────┼──────────┼──────────┼──────────┼──────────┼