Механика

    

 В релятивистской  динамике  значение кинетической энергии Ек определяется как разность  энергий движущегося Е и покоящегося Е0 тела:    
    

    (5.15)        

 При   уравнение (5.15) переходит в классическое выражение  
    

    

 Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение  между полной энергией и импульсом  тела:    
    

      (5.16)       

 Закон взаимосвязи  массы и энергии полностью  подтвержден экспериментами по  выделению  энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при  ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц. 
    

№30 Распределение молекул по скоростям. Распределение Максвелла

 
Распределение молекул по скоростям - функциональная зависимость относительного числа молекул газа от их скорости при тепловом движении.

Распределение Максвелла. Зафиксируем значения скоростей, которыми в данный момент обладают молекулы газа, а затем изобразим их в пространстве скоростей. Это обычное трехмерное пространство, но по осям которого отложены не пространственные координаты, а проекции скоростей на соответствующие направления (см. рис. 14.5). Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек в этом пространстве будет сферически симметричным и должна зависеть только от модуля скорости или величины v². Вероятность того, что молекулы имеют скорость в диапазоне от v до v + dv будет равна отношению числа молекул, обладающих данными скоростями dN_v, к общему числу молекул N:

dP_v = dN_v/N.     (14.23)

Исходя из определения  плотности вероятности, имеем:

dN_v/N = f(v)·dV = f(v)·4·p·v²dv,     (14.24) 
где dV - элемент объема в пространстве скоростей, равный объему шарового слоя (см. рис. 14.5).

Следовательно, вероятность  того, что молекулы имеют скорость в диапазоне от v до v + dv можно рассчитать с помощью выражения:

dP_v = F(v)·dv,     (14.25) 
где F(v) = f(v)·4·p·v²- функция распределения молекул по скоростям. 

 Максвелл, исходя  из предположения о независимости  распределения проекций скорости  от ее направления, получил  вид функции F(v), названной функцией распределения Максвелла (см. рис. 14.6).  (14.26)Вид функции Максвелла зависит от температуры и от массы молекул. Заметим, что показатель экспоненты равен отношению кинетической энергии молекулы к тепловой энергии (m·v²/2)/(k·T). 

Т.о. чем выше температура, тем более вероятным становится рост числа молекул с большими скоростями, чем больше масса молекулы, тем при большей температуре с соответствующей вероятностью молекула достигает заданной скорости. 

Площадь под кривой на рис. 14.6 равна вероятности того, что скорость молекулы при данной температуре имеет произвольное значение от нуля до бесконечности равна 1. Зная выражение для функции Максвелла, можно найти наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичные скорости.

.     (14.27)

Эти выражения  предлагаем вам получить самостоятельно. Среднее значение скорости молекул  газов при нормальных условиях составляют порядка 10³ м/с. Рис. 14.8. Экспериментальная проверка распределения молекул по скоростям. Одним из классических опытов, подтверждающих наличие распределения молекул по скоростям, является опыт Штерна. Схема опыта приведена на рис. 14.7.   

Установка состоит  из двух коаксиальных (имеющих одну ось симметрии) цилиндров между  которыми создавался вакуум. Вдоль оси цилиндров натянута платиновая нить, покрытая серебром. При пропускании через нее электрического тока атомы серебра испарялись. Во внутреннем цилиндре вырезалась щель через, которую атомы серебра проникали на поверхность внешнего цилиндра, оставляя на ней след в виде узкой вертикальной полоски. 

При приведении цилиндров  во вращение с постоянной угловой  скоростью w след, оставляемый молекулами серебра смещался и размывался (см. рис. 14.8). Действительно, на атомы серебра в неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающимися цилиндрами действует сила Кориолиса F_к

F_к = 2·m·[v·w].

Эта сила отклоняет  атомы серебра от прямолинейного распространения. Средняя величина смещения атомов Ds равна:

Ds = w·R·Dt = w²·R/<v>.     (14.28)

Измерив величину Ds из эксперимента, исходя из формулы (14.28), можно найти среднюю скорость движения молекул. Ее значение совпадает с теоретическим значением, полученным с помощью формулы Максвелла.

Более точно закон  распределения молекул по скоростям  был проверен в опыте Ламмерта. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

48. Смачивание. Капиллярные  явления 

Из практики известно, что капля воды растекается  на стекле и принимает форму, изображенную на рис. 98, в то время как ртуть  на той же поверхности превращается в несколько сплюснутую каплю (рис. 99). В первом случае говорят, что жидкость смачивает твердую поверхность, во втором — не смачивает ее. Смачивание зависит от характера сил, действующих между молекулами поверхностных слоев соприкасающихся сред. Для смачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами самой жидкости, и жидкость стремится увеличить поверхность соприкосновения с твердым телом. Для несмачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела меньше, чем между молекулами жидкости, и жидкость стремится уменьшить поверхность своего соприкосновения с твердым телом.

К линии  соприкосновения трех сред (точка  О есть ее пересечение с плоскостью чертежа) приложены три силы поверхностного натяжения, которые направлены по касательной внутрь поверхности соприкосновения соответствующих двух сред (рис. 98 и 99). Эти силы, отнесенные к единице длины линии соприкосновения, равны соответствующим поверхностным

 

114

натяжениям s₁₂, s₁₃, s₂₃. Угол q между касательными к поверхности жидкости и твердого тела называется краевым углом. Условием равновесия капли (рис. 98) является равенство нулю суммы проекций сил поверхностного натяжения на направление касательной к поверхности твердого тела, т. е.

-s₁₃+s₁₂+s₂₃cosq=0,

откуда

cosq=(s₁₃-s₁₂)/s₂₃. (67.1)

Из условия (67.1) вытекает, что краевой угол может быть острым или тупым в зависимости от значений s₁₃ и s₁₂. Если s₁₃>s₁₂, то cosq>0 и угол q — острый (рис. 98), т.е. жидкость смачивает твердую поверхность. Если s₁₃<s₁₂, то cosq<0 и угол q — тупой (рис. 99), т. е. жидкость не смачивает твердую поверхность.

Краевой угол удовлетворяет условию (67.1), если

|s₁₃-s₁₂|/s₂₃<1. (67.2)

Если условие (67.2) не выполняется, то капля жидкости 2 ни при каких значениях 6 не может находиться в равновесии. Если s₁₃>s₁₂+s₂₃, то жидкость растекается по поверхности твердого тела, покрывая его тонкой пленкой (например, керосин на поверхности стекла),— имеет место полное смачивание (в данном случае q=0). Если s₁₂>s₁₃+s₂₃, то жидкость стягивается в шаровую каплю, в пределе имея с ней лишь одну точку соприкосновения (например, капля воды на поверхности парафина),— имеет место полное несмачивание (в данном случае q=p).

Смачивание  и несмачивание являются понятиями относительными, т. е. жидкость, смачивающая одну твердую поверхность, не смачивает другую. Например, вода смачивает стекло, но не смачивает парафин; ртуть не смачивает стекло, но смачивает чистые поверхности металлов.

Капиллярные явления

Если поместить  узкую трубку (капилляр) одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости — мениск— имеет вогнутую форму, если не смачивает — выпуклую (рис. 101).

Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное  избыточное давление, определяемое по формуле (68.2). Наличие этого давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, так как под плоской поверхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное избыточное давление приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h, при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление) rgh уравновешивается избыточным давлением Dр, т. е.

2s/R=rgh,

где r — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.

Если m — радиус капилляра, q — краевой угол, то из рис. 101 следует, что (2scosq)/r=rgh, откуда

h=(2scosq)/(rgr). (69.1)

В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а несмачивающая — опускается, из фор-

 

мулы (69.1) при q<p/2 (cosq>0) получим положительные значения Л, а при 0>p/2 (cosq<0) —отрицательные. Из выражения (69.1) видно также, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (6 = 0) вода (r=1000 кг/м³, s=0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается на высоту h»3 м.